多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率

P {Y0X1 }P {X1 ,Y0} 0.030 , P {X1 } 0.045
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
p i j p i • p • j,( i 1 , 2 ;j 1 , 2 , 3 )
特别有
p12 p1•p•2111
9 39
2, 9
又 1, 得 1.
3
9
例2 设(X,Y)的概率密度为
x e(xy), p(x,y)
0,
对一切x, y, 均有：
(2若 ) X与 Y相互,求 独 与 立 的.值
解 将(X,Y)的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p•j P{Yyj}1 2
2 1 9
1 9
3 pi•P {Xxi}
1
1
18
3
1
3
1 18
2
3
(1)由分布律的性质知 0,0,2 1,
3
故 与 应满足 : 的 0 , 条 0且 件 1 是 .
3
现在如果限制 Y 取值从 1.5米到 1.6米, 在这个限制下求 X 的 分布 .
定义 设(X,Y)是二维离散型随机 ,对变于量固定
的j, 若P{Y yj}0, 则称
P{ X
xi
Y
yj }
P{X xi ,Y P{Y yj}
yj }
pij p•j
,
为在Y yj条件下随机变 X的 量条件分布. 律 对于固定i, 的 若P{X xi }0, 则称
P { X x i , Y y j } P { X x i } P { Y y j } 于是
P { X 1 , Y 2 } P { X 1 } P { Y 2 }
0 .3 0 .60.18,
二、离散型随机变量的条件分 布
问题
考虑一大,群 从人 其中随机挑选,分一别个人 用X和Y记此人的体重,则 和X身 和Y高都是随 机变,量 他们都有自己.的分布
P{Y yj
X
xi
}
P{X xi,Y P{X xi}
yj
}
pij , pi•
为在 Xxi条件下随机Y变的量条件分布 . 律 其i,中 j1,2, .
例1 在一汽车工厂 ,一中辆汽车有两道工由序机是 器人完成.的 其一是紧3固只螺栓, 其二是焊2接处 焊点.以X表示由机器人紧固栓的紧螺固得不良的 目,以Y表示由机器人焊接良的焊不点的数.据目积累 的资料(知X,Y)具有分布:律
第二节 多维随机变量 及其分布(3)
一、随机变量的相互独立性
二、离散型随机变量的条件分布
三、连续型随机变量的条件分布
四、小结
一、随机变量的相互独立性
联合分布
边缘分布
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义2.6
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y, 有
P ( X x ,Y y ) P ( X x ) P ( Y y )
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
p (x,y)p X(x)p Y(y)
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX(x),pY(y)分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020
P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
解 由于X 与Y 相互独立,
所 p (x ,以 y ) p X (x )p Y (y )
又pX(x)
1 e , (x 2 σ a 2)2 2σ
x ;
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X1 3 PX 0.3 0.7
Y2 4 PY 0.6 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解 因为X与Y 相互独立, 所以
p(x, y),(X,Y) 关于Y 的边缘概率密度为pY ( y).若
对于固定的y,
pY (
y)
0,
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B两个r.v，若对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .