人教B版第一册过关斩将第二章平面解析几何2.1坐标法
新教材高中数学第2章平面解析几何2-1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
x1＋x2
y1＋y2
(2)x＝ 02 _____2____，y＝ 03 ______2______.
知识点三 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代
数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
1．对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点 A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB| ＝ x1－x22＋y1－y22. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推 广. (3)若 B 点为原点，则|AB|＝|OA|＝ x21＋y21.
x1＋x2 _____|x_2_－__x_1_| ____；x＝ 02 ______2______.
知识点二 平面直角坐标系中的基本公式
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段 AB 的中点．
(1)|AB|＝|A→B|＝ 01 ___x_2_－__x1__2＋___y_2_－__y_1_2；
例 1 已知数轴上三点 A(－1)，B(5)，C(x)． (1)当|AB|＋|BC|＝8 时，求 x； (2)若 B 是 AC 的中点，求 x. [解] (1)由 A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|. 当|AB|＋|BC|＝8 时，有 6＋|x－5|＝8，解得 x＝3 或 x＝7.
(4)若 A，B 两点在 x 轴上，或在与 x 轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－ x1|.
(5)若 A，B 两点在 y 轴上，或在与 y 轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－ y1|.
注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． (6)在数轴上，点 A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为 d(A， B)＝|x1－x2|.若 A，B，C 是数轴上任意三点，则 d(A，B)≤d(A，C)＋d(B， C)． 2．中点公式的两个应用 (1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可 求第三个量． (2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．
人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第2章 平面解析几何 2.1 坐标法
第二章平面解析几何2.1 坐标法课后训练巩固提升1.已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点P的坐标(x,y)满足的条件是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5解析:由已知,得|PA|=|PB|,即√(x-1)2+(y-2)2=√(x-3)2+(y-1)2,故4x-2y=5.答案:B2.已知在y轴上存在一点P到点A(1,2),B(3,7)的距离相等,则该点的纵坐标为( )A.4.5B.2C.5.3D.2.5解析:设P(0,y),由已知得|PA|=|PB|,则√12+(2-y)2=√32+(7-y)2,得y=5.3.故选C.答案:C3.已知点A,B 的坐标分别为(1,1),(4,3),点P 在x 轴上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.20B.12C.5D.4解析:依题意,A(1,1)关于x 轴的对称点为A'(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值为|A'B|=√(4-1)2+(3+1)2=5.答案:C4.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5,则a 的值为( )A.4B.4或-2C.-2D.-4或2答案:B5.已知点M 到的坐标为 .答案:(2,10)或(-10,10)6.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取得最小值时,实数a 的值是 .解析:由已知,得|AB|=√[2a -1-(a -4)]2+[5-(a +1)]2=√2(a -12)2+492,故当a=12时,|AB|取得最小值.答案:127.已知△BCD的顶点为B(4,-2),C(6,0),D(2,4),则边BD上的中线CN的长为.解析:(方法一)由题意可知,N为BD的中点,则N(3,1),故|CN|=√(3-6)2-(1-0)2=√10.(方法二)∵B(4,-2),C(6,0),D(2,4),∴|BC|=√(4-6)2+(-2-0)2=2√2,|CD|=√(6-2)2+(0-4)2=4√2,|BD|=√(4-2)2+(-2-4)2=2√10.∵|BC|2+|CD|2=|BD|2,∴△BCD为直角三角形.∵CN为Rt△BCD斜边上的中线,∴|CN|=12|BD|=√10.答案:√108.已知点A(3,-2),B(1,4),线段AC的中点M在y轴上,线段BC的中点N 在x轴上.求:(1)点C的坐标;(2)△ABC的面积.解:(1)设C((x+32,y-22),N(x+12,y+42).由题意可知{x+32=0,y+42=0,解得{x=-3,y=-4.故点C的坐标为(-3,-4).(2)由(1)知,|AC|=√(-3-3)2+(-4+2)2=2√10,|BC|=√(-3-1)2+(-4-4)2=4√5, |AB|=√(1-3)2+(4+2)2=2√10.因为|AC|2+|AB|2=|BC|2,所以∠BAC=90°,所以S△ABC=12|AB||AC|=20.9.已知以点A(-3,y)与点B(x,2)为端点的线段的中点C在x轴上,O为原点.(1)若|OC|=1,求点B的坐标;(2)当|AC|取最小值时,求点B的坐标.解:由题意可知,点C的坐标为(x-32,y+22).因为点C在x轴上,所以y=-2,所以A(-3,-2),C x-32,0.(1)因为|OC|=1,所以|x-32|=1,解得x=5或x=1.故点B的坐标为(5,2)或(1,2).(2)因为|AC|=√(x-32+3)2+(0+2)2=√(x+32)2+4,所以当x=-3时,|AC|取最小值2,此时点B的坐标为(-3,2).。
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第二章 平面解析几何 圆的方程及其应用
一、单选题二、多选题人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第二章 平面解析几何 专题强化练5 圆的方程及其应用1.在平面直角坐标系中，圆C 与圆外切，且与直线相切，则圆C 的面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或3. 曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）A ．的最大值为B ．的最小值为三、填空题四、解答题C ．的最大值为D ．的最小值为5. 已知圆M 的圆心在x 轴上，且在直线的右侧，若圆M 截直线所得的弦长为，且与直线相切，则圆M 的标准方程为_________．6. 点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是___________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a的值为____________．8.过点引直线与曲线相交于、两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率为_________．9.已知点，圆：.（1）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程.10. 已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过（2,0）点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.11. 已知圆C的圆心在x轴上，且与直线相切于点．（1）求圆C的方程；（2）经过点作斜率不为0的直线l与圆C相交于A，B两点，若直线的斜率之和等于8，求直线l的方程．。
人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法
人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第二章平面解析几何2.1坐标法一、单选题1. 给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．42. 数轴上点P，M，N的坐标分别为-2，8，-6，则在①；②；③中，正确的表示有( )A．0个B．1个C．2个D．3个3. 已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（）.A．0B ．C ．D ．4. 数轴上点，，的坐标分别为3，，，则等于（）.A．B．4C．D．125. A，B为数轴上的两点，点B的坐标为-5，，则点A的坐标为( )A．-11B．-1或11C．-1D．1或-116. 已知数轴上不同的两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离，则点A的坐标为( )A．8B．-2C．-8D．8或-2 7. 已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（）.A．B．C．D．8. 设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于（）A．5B．C．D．9. 已知点，，，且，则的值是（）A．B．C．D．10. 光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线从到的距离为（）A．B．C．D．11. 的三个顶点的坐标分别为，则边上的中线长为（）二、填空题三、解答题A ．B ．C ．D ．12. 已知三点，则的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形13. 数轴上一点P (x )，它到A (-8)的距离是它到B (-4)距离的3倍，则x =______.14. 若数轴上有四点A ，B ，C ，D ，且A (-7)，B (x )，C (0)，D (9)，满足，则x =______.15. 若动点P 的坐标为则动点P 到原点的距离的最小值是______.16. 已知，则四边形的形状为________.17. 求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：(1)；(2)；(3).。
高二上学期数学人教B版选择性必修第一册第二章《平面解析几何》2.1坐标法教学课件
归纳总结
1.坐标法（几何与代数的转化）
数学思想方法
2.数形结合 3.转化与化归
课下作业：
• 例 1.已知 A(1，2)，B(3，4)，C(5,0)是△ABC的三个顶点，求这个 三角形 AB边上中线的长.
• 变式训练： • 1.已知点 A(4,12),在 x轴上的点 P与点 A的距离等于 13,求点 P的坐
2
新知探究
2.平面直角坐标系中的基本公式 (1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式:
|AB|=|AB|= (x2-x1)2 + (y2-y1)2 .
(2)平面直角坐标系内的中点坐标公式
设平面内两点
A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为
M(x,y),则
x=x
1
+x2 2
3. 已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为？
解析:如图,作点(1,3)关于 x 轴的对称点 A'(1,-3), 连接 A'B 交 x 轴于点 P.可知|A'B|即为|AP|+|PB|的最小值,
而|A'B|= (5-1)2 + (2 + 3)2 = 41. 故|AP|+|PB|的最小值为 41.
即 AC2 BD2 2(AB2 AD2)
结论：平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和
方法总结
坐标法：在解决一些平面上的几何问题时，经常在平面上建立坐标系，以
坐标系为桥梁，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形的 性质，这种方法称为坐标法.
第一步：建立恰当的直角坐标系(避繁就简)，设出点坐标. 第二步：列式，通过代数运算与变换，对数、代数式、方程等之间的关系进行讨论， 解决代数问题 第三步：化简证明，把代数运算结果“翻译”成几何关系。
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
课堂检测·素养达标
1．已知点(x，y)到原点的距离等于 1，则实数 x，y 满足的条件是( )
A．x2－y2＝1
B．x2－y2＝0
C． x2＋y2 ＝1
D． x2＋y2 ＝0
【解析】选 C.因为点(x，y)到原点的距离等于 1， 所以 （x－0）2＋（y－0）2 ＝1，即 x2＋y2 ＝1.
2．直线 y＝x 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1，5，则|PQ|等于( ) A．4 B．4 2 C．2 D．2 2
△ABD 和△BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝ |CD|. 【证明】如图，以 B 为坐标原点，直线 AC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，
设△ ABD 和△ BCE 的边长分别为 a，c， 则 A(－a，0)，C(c，0)， D－2a， 23a ，E2c， 23c ， 则|AE|＝ 2c－（－a）2＋ 23c－02 ＝ a2＋ac＋c2 ， |CD|＝ －2a－c2＋ 23a－02 ＝ a2＋ac＋c2 ， 所以|AE|＝|CD|.
1．△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形 AB 边上的中线长为( ) A． 26 B． 65 C． 29 D． 13
【解析】选 A.AB 的中点 D 的坐标为(－1，－1)， 所以|CD|＝ （－1－4）2＋[－1－（－2）]2 ＝ 26 .
2．已知 A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则||ACBC|| 的值为( )
【解析】选 B.由题意知 P(1，1)，Q(5，5)， 所以|PQ|＝ 2（5－1）2 ＝4 2 .
3．已知点 A(－1，2)，点 B(2，6)，则线段 AB 的长为________．
高中数学2-1坐标法新人教B版选择性必修第一册
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 数轴上的基本公式
1．数轴上两点间的距离公式：已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB
x2－x1
|x2－x1|
＝________，d(A，B)＝________.
2．数轴上两点间的中点坐标公式：已知数轴上两点A(x
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；
(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对
称轴作为坐标轴．
2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？
[提示] 不影响．
3．解决问题的思路是什么？
[提示] 几何证明问题⇒坐标法⇒借助代数运算证明
例4 △ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标
1)，B(x2)，
1 + 2
设点M(x)是线段AB的中点，则有x＝________．
2
知识点二 平面直角坐标系中的两点间距离公式及中点公式
1.已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)
2 − 1 2 + 2 − 1 2
＝|AB|＝______________________
法证明|AE|＝|CD|.
证明：如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角
坐标系，
设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，
则A(－a，0)，C(c，0)，
D
a
3
− ， a
2
2
则|AE|＝
＝ a2 + ac
|CD|＝
c
3
，E ， c ，
2
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.1 坐标法
证明:如图,作AO⊥BC,垂足为O,以O为原点,BC所在直线为x轴,OA所在直
线为y轴,建立平面直角坐标系.
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b<d<c).
∵|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,
∴b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),
(2)在平面直角坐标系中,两点之间的距离公式对任意两点都适用.(
(3)坐标法就是建立平面直角坐标系,用代数知识解决几何问题的方法.(
(4)不建立平面直角坐标系也可以利用坐标法解决问题.( × )
)
)
合作探究 释疑解惑
探究一
两点之间的距离公式的应用
【例1】 已知点A(-3,4),B(2,
3),试在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|.
(19,3).
中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角
线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,找出“中点关系”,再用中点
坐标公式求解.
【变式训练2】 在△ABC中,已知A(0,2),B(-1,-1),C(2,2),求边AC上中线的长.
解:设 AC 的中点为 D,则 D(1,2),
是
.
8-6
解析:由已知,得 x= 2 =1,y=2×7-10=4.
答案:1,4
5.已知等腰梯形ABCD,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AC|=|BD|.
证明:如图,以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴,AB的中点O为坐标
原点建立平面直角坐标系,设梯形下底长|AB|=2a,上底长|CD|=2b,高为h,则
∵D 为 AB 的中点,∴D 2 , 2 ,
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.1坐标法训练含解析新人教B版选择性必修第一
第二章平面解析几何2.1 坐标法 课后篇巩固提升必备知识基础练1.数轴上的三点M ,N ,P 的坐标分别为3,-1,-5,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.-4B.4C.12D.-12⃗⃗ +PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1-3=-4. 2.数轴上点P (x ),A (-8),B (-4),若|PA|=2|PB|,则x 等于( ) A.0 B.-163C.163D.0或-163|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,解得x=0或-163.3.点P (2,-1)关于点M (3,4)的对称点Q 的坐标为 ( )A.(1,5)B.(4,9)C.(5,3)D.(9,4)Q 的坐标为(x ,y ),由中点坐标公式,得{3=2+x2,4=-1+y 2,所以{x =4,y =9,故点Q 的坐标为(4,9).4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是( ) A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3)(x ,y ),然后分情况讨论.(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x 2,-2+22=4+y 2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8); (3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D .5.在数轴上有点A (1),若点A 负向移动3个单位长度到达点B ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与以B 为起点,终点坐标为 的向量是相等向量.3 -5A (1)负向移动3个单位长度到达B 点,所以B 点坐标为-2,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-3,若以B 为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.6.已知A ,B ,C 三点在数轴上,且点B 的坐标为3,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则点C 的坐标为 .4或0或6或10,设A ,C 的坐标分别为x A ,x C ,则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3-x A =5或|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x A -3=5,∴x A =-2或x A =8, ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=x C -x A =x C -(-2)=2,或|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x C -x A =x C -8=2,或|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x A -x C =-2-x C =2,或|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x A -x C =8-x C =2,解得x C =0或x C =10或x C =-4或x C =6.7.已知四边形ABCD 的顶点A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),E ,F 分别为边AB ,BC 的中点,求CE ,DE ,AF ,DF 的长度.AB 的中点为E (x ,y ),则x=-4+22=-1,y=3+52=4,则|CE|=√(-1-6)2+(4-3)2=5√2, |DE|=√[-1-(-3)]2+(4-0)2=2√5. 即CE ,DE 的长度分别为5√2,2√5. 设线段BC 的中点为F (m ,n ), 则m=2+62=4,n=5+32=4,则|AF|=√[4-(-4)]2+(4-3)2=√65, |DF|=√[4-(-3)]2+(4-0)2=√65, 即AF ,DF 的长度都为√65. 8.如图所示,△ABD 和△BCE 是在直线AC 同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.B 为原点,以直线AC 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ,c ,则有A (-a ,0),C (c ,0),D (-a 2,√32a),E (c 2,√32c). 于是|AE|=√(c 2+a )2+(√32c -0)2=√c 24+ac +a 2+34c 2=√a 2+ac +c 2,|CD|=√(c +a 2)2+(0-√32a)2=√c 2+ac +a 24+34a 2=√a 2+ac +c 2,所以|AE|=|CD|.关键能力提升练9.当数轴上的三个点A ,B ,O 互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |同时成立的情况有( )A.1种B.2种C.3种D.4种⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立,而要使|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |成立,则点A 应在点O 和点B 中间,共有2种可能. 10.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60 km,AE=CD=30 km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中P 1,P 2,P 3,P 4是AC 的五等分点,则转播台应建在( ) A.P 1处 B.P 2处C.P 3处D.P 4处A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则P 4(6,6),P 3(12,12),P 2(18,18),P 1(24,24).设转播台的坐标为P (x ,y ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x 2+y 2+(x-60)2+y 2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x 2+(y-30)2=5x 2-(120+120)x+5y 2-(120+120)y+2×602+4×302,故当x=24,且y=24时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P 应在P 1处. 11.使得|x-3|+|x+1|≥a 恒成立的a 的取值范围为 .-∞,4]y=|x-3|+|x+1|,因为函数y=|x-3|+|x+1|的最小值为4,即y ≥4,所以使|x-3|+|x+1|≥a 恒成立a 的取值范围为(-∞,4].12.已知x ,y ∈(0,1),则√x 2+y 2+√x 2+(y -1)2+√(x -1)2+y 2+√(x -1)2+(y -1)2的最小值是 .√2x ,y ∈(0,1),∴√x 2+y 2+√x 2+(y -1)2+√(x -1)2+y 2+√(x -1)2+(y -1)2表示以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x ,y )到四个顶点距离的和,根据两点之间线段最短,可得当(x ,y )为正方形对角线的交点,即x=y=12时,√x 2+y 2+√x 2+(y -1)2+√(x -1)2+y 2+√(x -1)2+(y -1)2的最小值为2√2.13.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标.A (-1,-2),B (3,1),C (0,2),第四个顶点D 的坐标为(x ,y ),(1)若四边形ABCD 是平行四边形,则由中点坐标公式得{x+32=-1+02,y+12=-2+22,解得{x =-4,y =-1,∴点D 的坐标为(-4,-1);(2)若四边形ABDC 是平行四边形,则由中点坐标公式得{x -12=3+02,y -22=1+22,解得{x =4,y =5,∴点D 的坐标为(4,5);(3)若四边形ACBD 是平行四边形,则由中点坐标公式得{-1+32=x+02,-2+12=y+22,解得{x =2,y =-3,∴点D 的坐标为(2,-3).综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3). 14.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).线段AB的中点E的坐标是a-c2,b 2.线段AC的中点F的坐标是a+c2,b2,则|EF|=√(a-c2-a+c2)2+(b2-b2)2=c.因为|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|.又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.15.河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.设|OP|=x,则由△OA'P∽△DBP,得x400-x =300600.解得x=4003,故水电站P应建在C,D之间距离点C4003m的地方.学科素养拔高练16.已知点A(-1,2),B(1,3),在直线y=2x上求一点P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并写出P点坐标.P点的坐标为(x,y),由于点P在直线y=2x上,所以y=2x.|PA|=√(x+1)2+(y-2)2=√(x+1)2+(2x-2)2=√x2+2x+1+4x2-8x+4=√5x2-6x+5,|PB|=√(x-1)2+(y-3)2=√(x-1)2+(2x-3)2=√x 2-2x +1+4x 2-12x +9 =√5x 2-14x +10,所以|PA|2+|PB|2=5x 2-6x+5+5x 2-14x+10=10x 2-20x+15=10(x-1)2+5,因此,当x=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值为5,y=2×1=2,所以所求P 点的坐标为(1,2). 17.如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,P 为三角形内一点,且S △PAB =S △PBC =S △PCA .求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.,以CA 所在的直线为x 轴,点C 为原点建立平面直角坐标系,设C (0,0),A (3a ,0),B (0,3b ),P (x ,y ).∵S △PCA =S △PCB =S △PAB , ∴S △PCA =13S △ABC .即12×3ay=13×12×3a ·3b ,∴y=b.又S △PBC =13S △ABC ,即12×3bx=13×12×3a ·3b ,∴x=a.∴适合条件的点P 的坐标为(a ,b ).此时,|PA|2=(3a-a )2+b 2=4a 2+b 2,|PB|2=(3b-b )2+a 2=a 2+4b 2,|PC|2=a 2+b 2, |PA|2+|PB|2=5(a 2+b 2)=5|PC|2,∴结论成立.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.2.1 直线的倾斜角与斜率
取值范围.
【变式训练】 已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交,点M,N的坐标分
别是(2,-3),(-3,-2).
(1)求直线PM与PN的斜率;
(2)求直线l的斜率kl的取值范围.
解:(1)由题意可知,直线 PM 的斜率
-3-1
kPM= =-4,直线
2-1
PN 的斜率
-2-1
kPN=
-3-1
当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°;
当x1≠x2,且y1≠y2时,可以构造以AB为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或在坐标
2 -1
轴上的直角三角形,如图①和图②所示,此时 tan θ=
,而且,这个式子在x1≠x2
2 -1
且y1=y2时也成立.
图①
图②
(3)直线的倾斜角与斜率的关系
探究三
直线的方向向量和法向量
【例3】 已知P(-4,2),Q(-1,6)是直线l上的两点.
(1)求直线l的一个方向向量和一个法向量;
(2)求直线l的倾斜角.
分析: 就是直线l的一个方向向量,与 垂直的非零向量都是直线l的法
向量,可根据k=taຫໍສະໝຸດ θ求倾斜角θ.解:(1)∵P(-4,2),Q(-1,6),
∴向量 =(3,4)是l的一个方向向量.
∴向量a=(-4,3)是l的一个法向量.
6-2
4
4
(2)设直线 l 的倾斜角为 θ,则 k=tan θ=
= ,∴θ=arctan .
-1-(-4) 3
3
1.若P(x1,y1),Q(x2,y2)是直线l上两点,则a=(x2-x1,y2-y1)就是直线l的一个方向
A.α+45°
人教B版选择性必修第一册 第二章 2.1 坐标法(wd无答案)
人教B版选择性必修第一册第二章 2.1 坐标法(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（）A．5B．C．1D．(★) 2. 点关于点的对称点 Q的坐标为（）A．B．C．D．(★) 3. 设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于（）A．5B．C．D．(★) 4. 已知的三个顶点分别为，则的周长是（）A．B．C．D．(★★) 5. 设，在 x轴上有一点，使得，则 x等于（）A．0B．6C．0或6D．0或(★★) 6. 已知，，，则四边形的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．菱形D．正方形(★★) 7. 已知、，点 M在 x轴上，则的最小值是（）A．B．C．D．(★) 8. 光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线从到的距离为（）A．B．C．D．(★) 9. 函数的最小值等于（）A．8B．2C．3D．5(★★★) 10. 若，，则（）A．B．C．D．不能确定，与有关二、填空题(★) 11. 在中，设，，若的中点都在坐标轴上，则 C点坐标为_______.(★★) 12. 已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是_________. (★★) 13. 已知三角形的三个顶点分别为，则边上的中线的长为______.(★★) 14. 等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．(★★) 15. 函数的最小值是______．三、解答题(★) 16. 已知.（1）求证：是直角三角形；（2）求的外心的坐标.(★) 17. 已知，试问在 x轴上能否找到一点 P，使为直角？(★★) 18. 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.(★★★) 19. 在中，是边上的中线，求证：.(★★★) 20. 已知正三角形的边长为 a，在平面上求点 P，使.最小，并求出最小值.(★★)21. 如图，在中，，P为三角形内一点，且.求证：.(★★★) 22. 已知，求证，并求使等号成立的条件.。
人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法
第二章2.1 坐标法A 级必备知识基础练1.[探究点一]已知A,B 都是数轴上的点,A(3),B(-2),则3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为( ) A.17B.1C.-1D.-172.[探究点二(角度2)]已知点P(1,2),Q(3,0),则线段PQ 的中点为( ) A.(4,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(1,2)3.[探究点二(角度2)]点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q 的坐标为( ) A.(1,5)B.(4,9)C.(5,3)D.(9,4)4.[探究点二(角度2)]已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点坐标不是( ) A.(9,-4)B.(1,8)C.(-3,0)D.(1,-3)5.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则实数b 的取值范围是 .6.[探究点二]已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC 中,BC 边上的中线长为 .7.[探究点三]用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.B级关键能力提升练8.已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为( )A.√2B.2C.4D.2√29.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射以后过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为( )A.5√2B.2√5C.5√10D.10√510.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为.11.在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为.12.[北师大版教材例题]如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4).(1)试判断△ABC的形状;(2)设点D为BC的中点,求BC边上中线的长.13.河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?2.1 坐标法1.B 由题意,可得向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为3,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-2,所以向量3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B.2.B 因为P(1,2),Q(3,0),所以PQ 的中点的横坐标为1+32=2,纵坐标为2+02=1,所以线段PQ 的中点为(2,1).故选B.3.B 设点Q 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得{3=2+x2,4=-1+y 2,所以{x =4,y =9,故点Q 的坐标为(4,9).4.D 设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论. (1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x 2,-2+22=4+y 2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D. 5.(-∞,-√21]∪[√21,+∞) 根据两点的距离公式得点(2,b)到原点的距离d=√(2-0)2+(b -0)2≥5,即4+b 2≥25,所以b 2≥21,解得b≤-√21或b≥√21.6.√10 BC 中点坐标为(-1,2),所以BC 边上中线长为√(2+1)2+(1-2)2=√10.7.证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).线段AB的中点E的坐标是(a-c2,b2),线段AC的中点F的坐标是(a+c2,b2),则|EF|=√(a-c2-a+c2)2+(b2-b2)2=c.因为|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|.又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 8.B ∵P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),∴|PQ|=√(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=√cos2α+cos2β-2cosαcosβ+sin2α+sin2β-2sinαsinβ= √(cos2α+sin2α)+(cos2β+sin2β)-2(cosαcosβ+sinαsinβ) =√2-2cos(α-β).∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].故选B.9.C 如图,点A(-3,5)关于x轴的对称点为C(-3,-5),则光线从A到B经过的路程为CB的长度,即|CB|=√(-3-2)2+(-5-10)2=5√10.故选C.10.(-∞,4]在数轴上,设点A(x),B(3),C(-1),则|x-3|+|x+1|=|AB|+|AC|的最小值为|BC|=4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为(-∞,4].11.5 如图,设点A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),则AR=A'R,所以AR+BR=A'R+BR≥A'B,所以动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为A'B的长.因为|A'B|=√32+42=5,所以x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为5.12.解(1)根据两点间的距离公式,得|AB|=√(1-4)2+(2-3)2=√10,|BC|=√(3-1)2+(-4-2)2=2√10,|CA|=√(4-3)2+[3-(-4)]2=5√2,因为(√10)2+(2√10)2=(5√2)2,即|AB|2+|BC|2=|CA|2,所以△ABC是直角三角形.(2)因为BC的中点D的横坐标x=1+32=2,纵坐标y=2+(-4)2=-1,所以BC边上中线的长|AD|=√(2-4)2+(-1-3)2=2√5.13.解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.设|OP|=x,则由△OA'P∽△DBP,得x400-x =300600.解得的地方.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第二章平面解析几何2.1坐标法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知线段AB 的中点为坐标原点，且(,2),(3,)A x B y ，则x y +等于（ ） A ．5 B ．1- C ．1 D ．5- 2．点(2,1)P -关于点(3,4)M 的对称点Q 的坐标为（ ）A ．(1,5)B ．(4,9)C ．(5,3)D ．(9,4)3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是(21)P -，，则AB 等于（ ）A ．5B ．C ．D ． 4．已知ABC 的三个顶点分别为(2,3),(1,0),(2,0)A B C -，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6+5．设(3,4)A ，在x 轴上有一点(,0)P x ，使得5PA =，则x 等于（ ）A ．0B ．6C ．0或6D ．0或6- 6．已知(1,2)A ，(1,1)B -，(0,1)C -，(2,0)D 则四边形ABCD 的形状为（ ） A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形 7．已知(3,8)A -、(2,2)B ，点M 在x 轴上，则||||MA MB +的最小值是（ ）A B ．C D 8．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数()|3||5|f x x x =-++的最小值等于（ ）A ．8B ．2C ．3D ．510．若,,,a b c d R ∈，M N =则（ ） A ．M N ≥ B ．M N C ．M N ≤ D ．不能确定，与a b c d ,,,有关二、填空题11．在ABC 中，设(3,7)A ，(2,5)B -，若,AC BC 的中点都在坐标轴上，则C 点坐标为_______.12．已知点A(5,2a －1)，B(a ＋1，a －4)，若|AB|取得最小值，则实数a 的值是_________. 13．已知三角形的三个顶点分别为(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为______.14．等腰△ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．15．函数()f x =______．三、解答题16．已知(6,1),(0,7),(2,3)A B C ---.（1）求证：ABC 是直角三角形；（2）求ABC 的外心的坐标.17．已知(1,2),(4,2)A B -，试问在x 轴上能否找到一点P ，使APB ∠为直角？ 18．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 19．在ABC 中，AO 是BC 边上的中线，求证：()2222||||2||||AB AC AO OC +=+.20．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求点P ，使222||||||PA PB PC ++.最小，并求出最小值.21．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，P 为三角形内一点，且PAB PBC PCA SS S ==.求证：222||||5||PA PB PC +=.22．已知01,01x y <<<<+22，并求使等号成立的条件.参考答案1．D【分析】直接根据中点坐标公式可得3,2x y =-=-，即可得答案；【详解】30,220,2x y +⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩3,2x y =-=-，故5x y +=-. 故选：D.【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题.2．B【分析】根据中点坐标公式可得选项．【详解】设点Q 的坐标为(,)x y ，由中点坐标公式，得23,214,2x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩所以4,9,x y =⎧⎨=⎩故点Q 的坐标为(4,9). 故选：B ．【点睛】本题考查求点关于点的对称点，关键在于熟练运用中点坐标公式，属于基础题． 3．C【解析】设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝==故答案为C ．点睛：本题主要考查了两点间距离公式的应用，中点坐标公式的应用；要求线段长度先要找到线段两端的端点的坐标，再根据两点点距离公式求得即可．这个公式在用时注意要开方，这是常考的题型，也是易错的点．4．C【分析】根据两点间的距离公式可求得三角形三边的长度，从而可得选项．【详解】由题意知||AB ==||3AC ==，||3BC ==，故ABC 的周长为||||||6AB AC BC ++=+.故选：C ．【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题．5．C【分析】直接根据两点间距离公式列式求解即可.【详解】由5PA =5=，即22(3)(40)25x -+-=，化简为：260x x -=，解得6x =或0x =.故选：C .【点睛】本题考查两点间距离公式，考查计算能力，属于基础题.6．D【分析】由两点间的距离公式分别计算出四边形ABCD 的四条边的长度和两条对角线的长度，进而作出判断即可.【详解】由两点间的距离公式可得:AB ==BC ==CD ==DA ==所以AB BC CD DA ===，又AC ==BD == 所以AC BD =，故四边形ABCD 是正方形.故选：D .【点睛】本题考查两间点距离公式的应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于常考题.7．B【分析】先求得点A 关于x 轴的对称点A '的坐标，由两点之间线段最短，可得选项．【详解】如图，点A 关于x 轴的对称点为(3,8)A '--，则当点M 为A B '与x 轴的交点时，||||MA MB +取得最小值，即min (|||)MA MB A B '+===∣故选：B ．【点睛】本题考查点关于线的对称点和两点间的距离公式的应用之最短距离，属于基础题． 8．C【解析】点()3,5A -关于x 轴的对称点为()'3,5A --，则光线从A 到B 的路程即'A B 的长，'A B ==A 到B 的路程为 C.9．A【分析】 利用数轴上绝对值的几何意义，可得|3||5|x x -++表示点(,0)P x 到(3,0)M 与(5,0)N -的距离的和，即可得答案；【详解】|3||5|x x -++表示点(,0)P x 到(3,0)M 与(5,0)N -的距离的和，∴当P 在线段MN 上时，|3||5|x x -++取得最小值|3(5)8--=∣.故选：A.【点睛】本题考查数轴上绝对值的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.10．C【解析】因为M 表示点()(),,,a b c d到原点距离差的绝对值，N =()(),,,a b c d 之间的距离，根据三角形两边之差小于第三边（三点共线时相等），可得M N ≤，故选C.11．(2,7)-或(3,5)--【分析】设(,)C a b ，则AC 的中点为37,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，BC 的中点为25,22a b -++⎛⎫ ⎪⎝⎭.从而得到 70,2202b a +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或30,250,2a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即可得答案； 【详解】设(,)C a b ，则AC 的中点为37,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，BC 的中点为25,22a b -++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由题意知，AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，或AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在x 轴上，70,2202b a +⎧=⎪⎪∴⎨-+⎪=⎪⎩或30,250,2a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2,7a b =⎧∴⎨=-⎩或3,5.a b =-⎧⎨=-⎩故点C 的坐标为(2,7)-或(3,5)--.故答案为：(2,7)-或(3,5)--.【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意两种情况的讨论.12．【解析】，所以当a ＝时，|AB|取得最小值．考点：两点间的距离.13【分析】先根据B C 、的坐标求得中点的坐标，进而利用两点间的距离公式求得AM 的长.【详解】设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ，则1026,24(4)0,2x y +⎧==⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩即M 的坐标为(6,0)，所以||AM ==【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，要求学生熟练掌握14．【分析】 等腰三角形的性质可知，线段AD 为底边上的高，由底线的一半、高和一条腰构成直角三角形，利用勾股定理即可求得腰长.【详解】线段AD 为底边上的高，AD =，=【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、两点间距离与勾股定理，由题意求出各线段长，由勾股定理即可求得腰长.15【分析】把式子248x x -+进行配方，再把两个根式写成两点间距离公式的形式,根据式子()f x 的最小值.【详解】()f x ==问题就可以转化为在直角坐标系中，在横轴上找到一点(,0)A x ,使得该点到(0,1),(2,2)B C -两点的距离最小,如下图所示：根据平面内,两点间线段最短,显然直线BC 与横轴的交点就是到(0,1),(2,2)B C -两点的距离最小的点,即BC【点睛】本题考查了求函数的最小值问题,利用函数解析式的几何意义是解题的关键.16．（1）证明见解析；（2）(3,3)-.【分析】（1）利用两点间的距离公式求三角形三条边的长度，再利用勾股定理证明；（2）根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可得答案；【详解】（1）证明：222||(06)(71)100AB =-+--=，222||(20)(37)20BC =--+-+=，222||(26)(31)80AC =--+--=.因为222||||||AB BC AC =+，所以90︒∠=C ，故ABC 为直角三角形.（2）由（1）可知ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为6017,22+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(3,3)-. 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.17．存在点(0,0)P 或(5,0)P 满足题意.【分析】假设在x 轴上能找到点(,0)P x ，由两点间的距离公式和勾股定理建立方程，解之可得答案．【详解】假设在x 轴上能找到点(,0)P x ，使APB ∠为直角，则222||||||AP BP AB +=， 即22(1)4(4)425x x -++-+=，化简得250x x -=，解得0x =或5x =， 所以在x 轴上存在点(0,0)P 或(5,0)P ，使APB ∠为直角.【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题．18．证明见解析.【分析】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，设(,0)B c ，(,)C m n ，分别求出AB 和DE 的值进而得出结果.【详解】证明如图所示，在ABC 中，D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，设(,0)B c ，(,)C m n ，则AB c =，又由中点坐标公式， 可得,22m n D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,22c m n E +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以=222c m m c DE +-=， 所以1||||2DE AB =， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.【点睛】本题考查坐标法的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．证明见解析.【分析】证明以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,0),(,0),(,)B a C a A m n -，其中0a >，根据两点间的距离公式可得证．【详解】证明以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图，则(0,0)O ，设(,0),(,0),(,)B a C a A m n -，其中0a >，则()222222222||||()()2AB AC m a n m a n m n a +=+++-+=++，22222||||AO OC m n a +=++，故()2222||||2||||AB AC AO OC +=+.【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，属于中档题．20．最小值2a ，0,6P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】以AB 的中点为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，用两点间距离公式表示222||||||PA PB PC ++=22233x y a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭求解. 【详解】记AB 的中点为O ，以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则,0,,0,22a a A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 设(,)P x y ，则222222222||||||222a a PA PB PC x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2222225333346x y a x y a a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以当0,6x y ==时，222||||||PA PB PC ++有最小值2a ，此时0,6P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查平面内两点间距离公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 21．证明见解析.【分析】如图，以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0)C ，设(3,0),(0,3),(,)A a B b P x y .利用面积相等可得P 的坐标为(,)a b .再代入两点间的距离公式，即可证明结论；【详解】如图，以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0)C ，设(3,0),(0,3),(,)A a B b P x y .因为PCA PBC PAB S S S ==，所以13PCA ABC S S =，即111333232ay a b ⨯=⨯⨯⨯，所以y b =. 13PBC ABC S S =，即111333232bx a b ⨯=⨯⨯⨯，所以x a =. 所以符合条件的点P 的坐标为(,)a b .此时，22222||(3)4PA a a b a b =-+=+， 22222||(3)4PB a b b a b =+-=+，222||PC a b =+，所以()22222||||55||PA PB a bPC +=+=， 故结论成立.【点睛】本题考查坐标法和两点间距离公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.22．证明见解析；取等号时12x y ==. 【分析】表示点(,)x y 到点(0,0)(,)x y 到点(0,1)的距(,)x y 到点(1,0)表示点(,)x y 到点(1,1)的距离，利用三角不等式可证||||||||||||PO PB PA PC OB AC ++++；【详解】 如图所示，设(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(,)O A B C P x y ，显然四边形OABC 是正方形. 由于01,01x y <<<<，所以点P 是正方形内部的任意一点，如图，则||PO =||PB =，||PA =||PC =由平面几何知识可知：||||||PO PB OB +，||||||PA PC AC +， 因此||||||||||||PO PB PA PC OB AC ++++，又||||OB AC ==22+， 当且仅当||||||,||||||PO PB OB PA PC AC +=+=时取等号，此时点P 既在OB 上，又在AC 上，即P 为正方形OABC 的中心，故12x y ==. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两点间距离公式的应用.。