2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答

2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答

海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭

第一天

第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:

∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.

证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.

证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则

∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,

取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP

∴A, O, P, D共圆.

∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO

∴OD平分∠PDA.

同理, OC平分∠PCB.

而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.

故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.

证毕.

第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有

2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyc

a b c d a b c d a ++++++<∑ (*)

注意到332()36cyc cyc sym cyc

a a a

b ab

c =++∑∑∑∑, 及

32222cyc

a a

b ad a a ++≥∑

2232222222cyc

a b ab b bc bd b a ++++≥∑

2222233333cyc

a c

b

c ac c

d c a +++≥∑

2

2234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑

∴ (*)成立. 故原不等式成立.

第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:

• 两堆小石子有相同的总重量;

• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.

证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.

即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.

设0n n ≤成立, 则01n n =+时:

若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.

下设无这样的结构.

若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.

下设无三重边.

显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.

在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.

对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.

结论成立.

回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.

第二天

第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.

解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)

∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.

注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k

-条链.

若21

k n n

≥-+, 则A最多由n－1条链.

由抽屉原理, 其中至少有一条链上有

2

2

1

n

n

n

⎡⎤

=+

⎢⎥

-

⎢⎥

个点, 设

为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.

另一方面, 2

k n n

=-时, 记2n个车站高度排序为2

1,2,...n (从低到高)

令A的2n n

-辆缆车为2

(1)

i n i i n n

→+≤≤-

令B的2n n

-辆缆车为2

1(11,|)

i i i n n i

→+≤≤-/

易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.

2 min 1

k n n

∴=-+.