第8章 矩阵特征值计算

第八章 矩阵特征值计算

1 特征值性质和估计

工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。

1.1 特征值问题及性质

设矩阵n n ⨯∈A R （或n n ⨯C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使

λ=Ax x (1.1)

其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。 求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程

()det()0p I λλ=-=A (1.2)

的根。因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能

是迭代法。反之，有时为了求多项式

111()n n n n q a a a λλλλ--=++++L

的零点，可以把()q λ看成矩阵

123101010n a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L O O 的特征多项式（除(1)n -因子不计）。这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。

矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。

在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。

定理1 设n n R ⨯∈A ，则

(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特

征值；

(2) 设12,,,n λλλL 是A 的特征值，()p x 是一多项

式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλL 。特别地，k A 的特征值是12,,,k k k n λλλL 。

定理２ (1)设n n R ⨯∈A 可对角化，即存在非奇异矩阵P 使

121n P P λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭A O 的充分必要条件是A 具有几个线性无关的特征向量。

(2) 如果A 有m 个()m n ≤不同的特征值12,,,m λλλL ，则对应的特征向量12,,,m x x x L 线性无关。

定理３ 设n n R ⨯∈A 为对称矩阵，则

(1) A 的特征值均为实数。

(2) A 有n 个线性无关的特征向量。

(3) 存在一个正交矩阵P 使

12T n P P λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭A O 且(1,2,,)i i n λ=L 为A 的特征值，而12(,,,)n =P u u u L 的列向量j u 为A 对应于j λ的特征向量。

定理４ 设n n R ⨯∈A 为对称矩阵（其特征值依次记为12n λλλ≥≥≥L ），则 (1) 1(,)(,)

n x x x x λλ≤≤A （对任何非零向量n R ∈x ）。 (2) 100

(,)(,)max ,min (,)(,)n n n x R x R x x x x x x x x x x λλ∈∈≠≠==A A (1.3) 记(,)(),0(,)

x x R x x x x =≠A ，称为矩阵A 的瑞利(Rayleigh)商。

证明 只证(1), (2)留作习题。由于A 为实对称矩阵，可将12,,,n λλλL 对应的特征向量12,,,n x x x L 正交规范化，则有(,)i j ij δ=x x 。设0≠x 为n R 中任一向量，则有

1n i i i α==∑x x ，21/221()0n

i i α==≠∑x

于是

2211(,)(,)n n

i i i i i x x x x αλα===∑∑A 从而(1)成立。结论(1)说明瑞利商必位于n λ和1λ之间。

1．2特征值估计与扰动

定义1 设()ij n n a ⨯=A 。令 (1) 1(1,2,)n

i ij j j i r a i n =≠==∑L ；

(2)

集合{},i ii i D z z a r z C =-≤∈。

称复平面上以ii a 为圆心，以i r 为半径的所有圆盘

为A 的格什戈林(Gershgorin)圆盘

定理５（格什戈林圆盘定理）(1) 设()ij n n a ⨯=A ，则A 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中

1,1,2,n

ii i ij j j i a r a i n λ=≠-≤==∑L (1。4)

或者说，A 的特征值都在复平面上n 个圆盘的并集中。

(2) 如果A 有m 个圆盘组成一个连通的并集S ，且S 与其余n m -个圆盘是严格分离，则S 中恰有A 的m 个特征值，其中重特征根按其重数重复计算。

特别地，如果A 的一个圆盘i D 是与其他圆盘

分离的（即孤立圆盘），则i D 中只包含A 的一个特征值。

证明 只给出(1)的证明。设λ为A 的任一特征值，x 是相应的特征向量，即λ=Ax x 。

记1max k i i n

x x ∞≤≤==x ，考虑x x λ=A 的第k 个方程，即 1n kj j k j a

x x λ==∑，或()kk k kj j j k

a x a x λ≠-=∑ 于是

kk k kj j k

kj j k j k a x a x x a λ≠≠-≤≤∑∑

即

kk kj k j k

a a r λ≠-≤=∑。

这说明，

A 的每一个特征值必位于A 的一个圆盘中，并且相应的特征值λ一定位于第k 个圆盘中（其中k 是对应特征向量x 绝对值最大的分量的下标）。

利用相似矩阵性质，有时可以获得A 的特征值进一步的估计，即选取非奇异对角矩阵