三角函数的单调性与最值
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3
图象关于原点对称 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx(xR)
图象关于y轴对称 y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
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5 6 x
5、正弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3
2
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-
o 2
-1
2
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5 2
x
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7 2
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x
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…
0
…
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sinx -1
0
1
… 0
…
y=sinx (xR)
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
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5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
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- o
-1
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5 6 x
1、正弦、余弦函数的定义域是什么？
y=sinx
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
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5 6 x
y=cosx
y
1
-4 -3
Baidu Nhomakorabea-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
定义域都是 R
2、正弦、余弦函数的值域是什么？ Y
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
6、正弦、余弦函数的最值情况如何？
y=sinx
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数当且仅当 x 当且仅当 x
时取得最大值1 时取得最大值1
例2、利用三角函数的单调性， 比较下列各组数的大小：
(1) sin( )与sin( );
18
10
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
5
4
例3、求下列函数的单调性
(1) y sin(1 x ), x R
23
(2) y sin(1 x ), x [2 ,2 ]
23
(2) y sin(2x ), x [ , ]
y=cosx
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
余弦函数当且仅当 x
2
3
4
5 6 x
时取得最大值 1
当且仅当 x
时取得最大值 1
例1、下列函数有最大值、最小 值吗？如果有，请写出取最大 值、最小值时的自变量x 的集合， 并说出最大值、最小值分别是 什么。
(1) y cos x 1, x R
(2) y 3sin 2x, x R
y sinx 1
0
2
2
1
Y
y cosx 1
3 2
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X
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4
2
X
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值域都是 [-1，1]，即|sin x|≤1,|cos x|≤1。
3、
周期函数
如果存在不为 0 的实数T，使得对 定义域内的任意一个x，函数y=f(x) 都 满足：
f(x+T)=f(x), 这种函数称为周期函数，T 称为这 个函数的周期。
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
余弦函数的单调性y
1
-3 5 -2 3
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o 2
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-1
x -
…
2
…
cosx -1
0
x
3
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4
0… 2 …
最小正周期
正弦函数是周期函数，
2k (k Z且k 0) 都是它的周期，
最小正周期是 2
余弦函数是周期函数，
2k (k Z且k 0) 都是它的周期，
最小正周期是 2
4、正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= -sinx(xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
图象关于原点对称 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx(xR)
图象关于y轴对称 y
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-4 -3
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- o
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y=cosx (xR) 是偶函数
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5 6 x
5、正弦函数的单调性 y
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y=sinx (xR)
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y=cosx (xR)
y
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1、正弦、余弦函数的定义域是什么？
y=sinx
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y=cosx
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定义域都是 R
2、正弦、余弦函数的值域是什么？ Y
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y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
6、正弦、余弦函数的最值情况如何？
y=sinx
y
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-4 -3
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- o
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5 6 x
正弦函数当且仅当 x 当且仅当 x
时取得最大值1 时取得最大值1
例2、利用三角函数的单调性， 比较下列各组数的大小：
(1) sin( )与sin( );
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(2) cos( 23 )与cos( 17 )
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例3、求下列函数的单调性
(1) y sin(1 x ), x R
23
(2) y sin(1 x ), x [2 ,2 ]
23
(2) y sin(2x ), x [ , ]
y=cosx
y
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- o
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余弦函数当且仅当 x
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时取得最大值 1
当且仅当 x
时取得最大值 1
例1、下列函数有最大值、最小 值吗？如果有，请写出取最大 值、最小值时的自变量x 的集合， 并说出最大值、最小值分别是 什么。
(1) y cos x 1, x R
(2) y 3sin 2x, x R
y sinx 1
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y cosx 1
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值域都是 [-1，1]，即|sin x|≤1,|cos x|≤1。
3、
周期函数
如果存在不为 0 的实数T，使得对 定义域内的任意一个x，函数y=f(x) 都 满足：
f(x+T)=f(x), 这种函数称为周期函数，T 称为这 个函数的周期。
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-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
余弦函数的单调性y
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-3 5 -2 3
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cosx -1
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0… 2 …
最小正周期
正弦函数是周期函数，
2k (k Z且k 0) 都是它的周期，
最小正周期是 2
余弦函数是周期函数，
2k (k Z且k 0) 都是它的周期，
最小正周期是 2
4、正弦、余弦函数的奇偶性
y
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sin(-x)= -sinx(xR)
y=sinx (xR) 是奇函数