空间角的计算(luo)

课题：空间的角

一、主要知识及主要方法：

1.三垂线定理(课本)：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

2.三垂线的逆定理(课本)：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.

3. 空间角的计算步骤 一作、二证、三算.

4.异面直线所成角：⑴范围：(]0,90︒︒；⑵计算方法:

①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、

b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccos a b

a b

；③补体法； ④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.

5.直线与平面所成的角：①定义：（课本）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围

[]0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平

面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：⑴直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性

质； ⑵平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面⑶通过等体积法求出斜

线任一点到平面的距离d ，计算这点与斜足之间的线段长l ，则sin ⑷应用结论：如右图所示，PO α⊥，O 为垂足，A 为斜足，

AB αÔ，AP 与平面α所成的角为1θ，2BAO θ∠=，∠则12cos cos cos θ

θθ=. （模型1） ()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ

arcsin

l n l n

=. 6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为

[]0,π.②确定二面角的方法：⑴定义法；⑵三垂线定理及

其逆定理法；⑶垂面法；⑷射影面积法：cos S S θ=

射影多边形原多边形

，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面

性质恢复二面角的棱，然后再用方法⑴、⑵计算大小；

()5向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如左图，则二面

角l αβ-- 的平面角αarccos

a b a b

=；其方向如右图，则二面角l α

β--的平面角

α=arccos

a b a b

π-（同等异补）

法二、设1n ,2n 是二面角l α

β--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，

另一个指向外侧（同等异补），则二面角l αβ--的平面角α12

arccos n n =

n l

l

α

β

a b

β

b

α

1n

A 1二、利用平移求异面直线所成角

例1（1）S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝

2

π

，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．

（2）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1

的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．

（3）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。

（4）如图1—28的正方体中，E 是A ′D (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小；

(3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值；

(4)求直线AE 和BA

（5）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

B M A

N C S

B '

(

图

1

－

28

) A '

A B C '

D '

C D F

E

三、利用模型求异面直线所成角：

例2利用模型1求（1）如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，

且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角。

（2）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面

ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余

弦值为（ ） （A

）

4 （B

）4 （C

）4

(D) 34

（3）如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形， ∠BAD=90

°，AD//BC

，

AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D 。求异面直线AE 与CD 所成的角的大小。

例3模型2：定理：四面体ADBCD 两相对棱AC 、BD 间的夹角为θ，

则有

证明： ()

C

A D A C A A

B

C A

D A A B C A D B D

A A

B D B COS D B D B

C A

D B ∙+∙=∙+=∙∴+==∙

而θ

2

222

2222

22222CD AB BC AD CD AC AD BC AC AB --+=

-++

-+-=

所以有：

练习：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。 P

E

D

F

A B

C

A B

C

D

M