计算固体力学课程作业
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计算固体力学课程作业
专 业 固 体 力 学 学 号 1131301009 姓 名 尹亚川
作业1：
（一）、0=+f H ϕ，其中10=f ，)1(108ϕe H +=
（1） 试用直接迭代法，Newton-Raphson 方法，修正Newton-Raphson 方法，拟
Newton-Raphson 方法进行求解并进行比较。 （2） 用Euler-Newton 法计算，f 分2级
求解：
（1）直接迭代法： 0=+f H ϕ
（1）
)(00ϕH H =
（2）
于是得近似解
)()(101f H -=-ϕ
（3）
重复这一过程，以第i 次近似解求出第i +1次近似解的迭代公式为
)(i i H H ϕ=
（4） )()(11f H i i -=-+ϕ
（5）
直到
i i ϕϕϕ-=∆+1
（6）
变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
取10=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为5次，-0.9996645=ϕ。
取00=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为4次，-0.9996644=ϕ。
取10-=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为2次，-0.9996642=ϕ。 （1） Newton-Raphson 方法 0=+f H ϕ
（7） 0)()(≠+=-≡=f H R F i i i i i ϕϕϕψψ
（8）
i
i i
T i T K K ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂≡=ϕ
ψϕ)( （9）
)()()(1
1f H K K i i i T i i T i +=-=∆--ϕψϕ
（10） i
i i
T H K ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ϕϕϕ
ψ （11）
i i i ϕϕϕ∆+=+1
（12）
当i ϕ∆变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
取10=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为11次，-0.99966411=ϕ。
取00=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为4次，-0.9996644=ϕ。
取10-=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为1次，-0.9996641=ϕ。 （2） 修正的Newton-Raphson 方法
将Newton-Raphsom 法迭代公式中的i T K 改用初始矩阵)(00
ϕT T K K =，就是
修正的Newton-Raphsom 法。仅第一步迭代需要完全求解一个线性方程组，并将
T
K 存贮起来，以后的每一步迭代都采用公式
)()()(1
010f H K K i i T i T i +=-=∆--ϕψϕ
（13）
当i ϕ∆变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
取10=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为122244次，-0.986216122244=ϕ。
取00=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为21次，-0.99966321=ϕ。
取10-=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。
可得迭代次数为1次，-0.9996641=ϕ。 （3） 拟Newton-Raphson 方法
K 的修正要满足一下的拟牛顿方程
)()()(111i i i i i K ϕψϕψϕϕ-=-+++
（14）
对于单变量情况，上式中的1+i K 是导数()i ϕϕϕψ=∂∂的近似表达式，实际上就是割线劲度矩阵。 )()()(100100f H K K i i +=-=∆--ϕψϕ
（15） 001ϕϕϕ∆+=
（16） 0
10
10101
1)(ψψϕϕψψϕ--=-∆=-K
（17） )()(11111f H K +=∆-ϕϕ （18）
i
i i
i i i i K
ψ
ψϕϕψϕ--=∆∆=++-+111
1)( （19）
当i ϕ∆变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
取10=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为11次，-0.99966411=ϕ。
取00=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为4次，-0.9996644=ϕ。
取10-=ϕ，令0000005.0<∆ϕ，运用matlab 进行编程求解（代码见附录）。可得迭代次数为1次，-0.9996641=ϕ。
根据结果可知，在精度取0000005.0<∆ϕ时，Newton 法和拟Newton 法迭代次数基本一致，收敛速度较快，而修正的Newton 法迭代次数较多，收敛速度较慢。不过，Newton 法和拟Newton 法计算量较大，而修正Newton 法计算量较小。并且，直接迭代法在解决这种简单问题时迭代次数也较少，收敛速度较快。若本题不考虑迭代次数，而对精度要求较高，建议采用Newton 法和拟Newton 法；