人教版九年级上数学精品系列垂直于弦的直径PPT
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24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.
O
A
PB
课堂总结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
解：如图，用⌒AB表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半径为Rm.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与⌒AB交于点C，连 结OA，则D是AB的中点，C是A⌒B的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，
∴ AD= AB=18.5m，
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
★涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆
·O
心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常
常通过连半径或作弦心距构造直角三角形， A C
B
利用垂径定理和勾股定理求解.
C
★弓形中重要数量关系
ah
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系：
A
•
3.当然, 各要素 交代清 楚了并 不是故 事就精 彩了。 故事不 能叙述 太简单, 看了开 头就能 猜出结 局;也 不能平 铺直叙 、平淡 无奇,否 则无法 引起读 者的阅 读兴趣 。
•
4.黄山的 云可真 白啊， 白得就 像一匹 白纱缎 ，又犹 如刚下 的白雪 ，那么 洁净， 那么润 泽，别 有一番 神采。 黄山的 云真静 啊，静 得让你 感觉不 到它在 飘动， 看上去 会使你 陶醉。
·O
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证⌒：A⌒C＝BD.
C A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
∴A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M（垂直平分
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则 AB= 16 cm.
解析：连结OA.
∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8（cm）.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
OD=OC-CD=（R-7.23）m.
A
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
C
D
B
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
练一练：如图a、b, 一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆
的半径为7cm，则弓形的高为＿2＿cm＿或_1_2_c_m＿.
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
证明猜想
① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=B⌒D
Hale Waihona Puke Baidu
举例证明其中一种组合方法.
C
已知: 求证：
O
AE
B
D
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
思考：
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请 举出反例.
特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. A
C
·O B
D
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
•
5.黄山的 云真长 啊，长 得无法 用眼睛 望到边 际，只 让你感 觉到它 是那样 浩瀚， 像一张 大幕把 天地都 罩起来 了。
•
6.伏在岩 石上侧 耳倾听 ，耳朵 里彷佛 有一种 不可捉 摸的声 音，极 远的又 是极近 的，极 洪大旳 又是极 细小的 ，像春 蝉在咀 嚼桑叶 ，像野 马在草 原上驰 骋，像 山泉在 流动， 像大海 在澎湃 。
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
例2 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝
2cm，求半径OC的长.
解：连结OA.
E
∵ CE⊥AB于D，
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm) .
22
设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.
根据勾股定理，得
x2=42+(x-2)2，解得x=5.
4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两
条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，
AE =12AC ,AD =12AB , C
∴四边形ADOE为矩形.
又∵AC=AB， ∴ AE=AD，
2
D
rd
B
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
实际应用
例4 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥 拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保 留小数点后一位）.
·O
E B
D
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
★垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧.
★推导格式 CD是直径， AE=BE
CD⊥AB,
⌒AC=⌒BC, ⌒ AD=B⌒D
Ｃ
Ｏ
证明举例 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）A⌒C与B⌒C相等吗？ AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？C （1）连结AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
A
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C， A⌒D =B⌒D.
弦的直径平分弦所对的弧）， ∴ A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M， ∴A⌒C＝B⌒D.
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
M D B
.O
N
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程
•
1.小彼得 是一个 商人的 儿子。 有时他 得到他 爸爸做 生意的 商店里 去瞧瞧 。商店 里每天 都有一 些收款 和付款 的账单 要经办 ，彼得 经常被 派去把 这些账 单送往 邮局寄 走。
•
2.写故事 一定要 有头有 尾,完整 地叙述 一件事 。要想 将故事 叙述完 整具体 ，各要 素必须 交代清 楚，揭 示故事 发展变 化的原 因和内 在联系 ，才能 使读者 对整个 故事有 全面完 整的印 象。
•
7.“微云 一抹遥 峰，冷 溶溶， 恰与个 人清晓 画眉同 。”纳 兰容若 的这几 句词， 将这泼 墨写意 般的景 色，描 绘得淋 漓尽致 。
感谢观看，欢迎指导！
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理的几个基本图形
C A
O
O
A
EB
D
A
DB
E
B D O
A C
O CB
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作OE⊥AB，垂足为点E，
O.
则AE＝BE，CE＝DE.
A CED B
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.
O
A
PB
课堂总结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
解：如图，用⌒AB表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半径为Rm.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与⌒AB交于点C，连 结OA，则D是AB的中点，C是A⌒B的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，
∴ AD= AB=18.5m，
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
★涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆
·O
心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常
常通过连半径或作弦心距构造直角三角形， A C
B
利用垂径定理和勾股定理求解.
C
★弓形中重要数量关系
ah
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系：
A
•
3.当然, 各要素 交代清 楚了并 不是故 事就精 彩了。 故事不 能叙述 太简单, 看了开 头就能 猜出结 局;也 不能平 铺直叙 、平淡 无奇,否 则无法 引起读 者的阅 读兴趣 。
•
4.黄山的 云可真 白啊， 白得就 像一匹 白纱缎 ，又犹 如刚下 的白雪 ，那么 洁净， 那么润 泽，别 有一番 神采。 黄山的 云真静 啊，静 得让你 感觉不 到它在 飘动， 看上去 会使你 陶醉。
·O
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证⌒：A⌒C＝BD.
C A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
∴A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M（垂直平分
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则 AB= 16 cm.
解析：连结OA.
∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8（cm）.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
OD=OC-CD=（R-7.23）m.
A
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
C
D
B
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
练一练：如图a、b, 一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆
的半径为7cm，则弓形的高为＿2＿cm＿或_1_2_c_m＿.
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
证明猜想
① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=B⌒D
Hale Waihona Puke Baidu
举例证明其中一种组合方法.
C
已知: 求证：
O
AE
B
D
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
思考：
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请 举出反例.
特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. A
C
·O B
D
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
•
5.黄山的 云真长 啊，长 得无法 用眼睛 望到边 际，只 让你感 觉到它 是那样 浩瀚， 像一张 大幕把 天地都 罩起来 了。
•
6.伏在岩 石上侧 耳倾听 ，耳朵 里彷佛 有一种 不可捉 摸的声 音，极 远的又 是极近 的，极 洪大旳 又是极 细小的 ，像春 蝉在咀 嚼桑叶 ，像野 马在草 原上驰 骋，像 山泉在 流动， 像大海 在澎湃 。
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
例2 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝
2cm，求半径OC的长.
解：连结OA.
E
∵ CE⊥AB于D，
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm) .
22
设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.
根据勾股定理，得
x2=42+(x-2)2，解得x=5.
4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两
条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，
AE =12AC ,AD =12AB , C
∴四边形ADOE为矩形.
又∵AC=AB， ∴ AE=AD，
2
D
rd
B
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
实际应用
例4 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥 拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保 留小数点后一位）.
·O
E B
D
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
★垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧.
★推导格式 CD是直径， AE=BE
CD⊥AB,
⌒AC=⌒BC, ⌒ AD=B⌒D
Ｃ
Ｏ
证明举例 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）A⌒C与B⌒C相等吗？ AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？C （1）连结AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
A
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C， A⌒D =B⌒D.
弦的直径平分弦所对的弧）， ∴ A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M， ∴A⌒C＝B⌒D.
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
M D B
.O
N
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程
•
1.小彼得 是一个 商人的 儿子。 有时他 得到他 爸爸做 生意的 商店里 去瞧瞧 。商店 里每天 都有一 些收款 和付款 的账单 要经办 ，彼得 经常被 派去把 这些账 单送往 邮局寄 走。
•
2.写故事 一定要 有头有 尾,完整 地叙述 一件事 。要想 将故事 叙述完 整具体 ，各要 素必须 交代清 楚，揭 示故事 发展变 化的原 因和内 在联系 ，才能 使读者 对整个 故事有 全面完 整的印 象。
•
7.“微云 一抹遥 峰，冷 溶溶， 恰与个 人清晓 画眉同 。”纳 兰容若 的这几 句词， 将这泼 墨写意 般的景 色，描 绘得淋 漓尽致 。
感谢观看，欢迎指导！
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理的几个基本图形
C A
O
O
A
EB
D
A
DB
E
B D O
A C
O CB
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作OE⊥AB，垂足为点E，
O.
则AE＝BE，CE＝DE.
A CED B
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.