导数压轴-利用函数单调性证明数列型不等式

利用导数来证明不等式，通常应从需要证明的结论入手。

一．如果所需证明不等式其中一边是数列求和的形式，但不能直接求和，那么证明大概分为以下几步：

1. 将不等号两侧都化为求和形式，如果是乘积的并且出现e 的指数次幂的考虑取对数

2. 将左右两侧的求和形式化为

n

n

a b

<∑∑的形式，找到n a 和n b 的通项公式

3. 将n 换成x （或其它x 的表达式），利用导数证明n n a b <

例1. 已知函数21()ln (0)2f x ax x x =->,证明：111

....ln 2ln 1

n n n -++>+ 对话与解答:

首先不等式左边已经是求和的形式

11....ln 2ln n ++

一共1n -项,右边的1

1

n n -+可变为1111

...111n n n n -++++++

个

，这样我们刚好把左右两边变为相同项数(1n -项)的两个不同的数

列,接下来写出通项公式，其中1ln k a k

=，1

1k b n =+.下一步应该比较两边通项大小，要证

明原不等式，即证

1ln k 1()1k n n >≤+,且**

,k N n N ∈∈，而11ln ln k n >

,可通过证明1ln n

11n >

+来得到结果，要证1ln n 1

1

n >+，即证1ln 0n n +->,设()1ln f x x x =+-,其中0x >,通过求导找()f x 最小值：1

'()1f x x

=-,当10x >>时，'()0f x <,()f x 单调递减,

当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增。

()(1)0f x f ∴≥>在0x >恒成立，

1ln 0n n ∴+-> ∴1ln n 1

1

n >

+ ∴

1111

....ln 2ln ln 1

n n n n n --++>>

+,证毕

例2. 设m 为整数，且对于任意正整数n ，21

11

(1)...(1)2

22

n

m ++

+<,求m 的最小值。 第七课：利用函数单调性证明数列型不等式

对话与解答：首先，本题需要证明的不等式左边是乘积的形式，所以我们考虑将左侧转化为求和的形式，即两边取对数，得到左边不等式通项为1

ln(1)2

n +

,观察该不等式右侧为常数m ，不能简单地比较两边通项，但我们通过左侧通项联想到不等式ln(1)x x +<,从而令12n

x =得到11

ln(1)

22n n

+<，再对两边分别求和得到：

221111111

ln(1ln(1...ln(1 (112222222)

n n n ++++++<+++=-<

故2111

(1)(1)3222n

e +++<< 而23111(1)(1)22

22

++

+> m ∴的最小值为3

总结与反思：

上面几题我们通过直接构造来得到答案，但有时我们不要贸然直接构造函数求解，因为需要证明不等式这一问往往是导数题目的第三问，应该先观察是否能用到前几问的地方，如果能，这一问的解答会方便很多。很多时候前几问会求在某种条件下参数的取值范围，这时在最后一问证明不等式时可以将前面求出的参数的范围的边界值带入原函数，很有可能可以得到证明不等式的关键结论。

例3. 已知函数()f x kx =,ln ()x

g x x

= （1）求函数ln ()x

g x x

=

的单调区间。 （2）若不等式()()f x g x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证:

444

ln 2ln 3ln 1

...232n n e

+++< 对话与解答：（1）函数ln ()x

g x x

=

的单调增区间为(0,)e ,单调减区间为(,)e +∞. （2）通过构造新函数求导得到：1

2k e

≥

，具体过程略。

（3）首先观察可知，不等式左边为数列和式，通项为4

ln n n

a n =,此时我们需要观察前两个问题，看看是否有能用的结论，第一问求出ln ()x g x x =的单调区间，对于处理4ln n n

a n

=来说没有什么作用；第二问求出ln x kx x ≥

当1

2k e

≥时，在区间(0,)+∞上恒成立，考虑取12k e =

得到：不等式2ln 12x x e ≤在区间(0,)+∞上恒成立，然而4ln n n

a n =，所以将不等式

变形为

42ln 11

2x x e x

≤⋅,然后对不等式左右求和： 444222

ln 2ln 3ln 1111

...(...23223n n e n +++≤+++ 对比需要证明的不等式，即需证明

222

111

...123n +++<,通过简单的放缩即可得到结论：2221111111

......11231223(1)n n n n

+++<+++=-<⨯⨯-

例4. 已知函数()ln f x tx t x =-- （1）若函数()f x 在[1+)∞，上为增函数 ,求实数t 的取值范围；

（2）当2n ≥且*

n N ∈时，证明：

111

...ln ln 2ln 3ln n n

+++>. 对话与解答：（1）实数t 的取值范围为[1,)+∞.

（2）首先，根据第一问的结论，将1t =带入原函数得到：()1ln f x x x =--在[1,)+∞上为增函数，()(1)0f x f ≥=,即1ln x x -≥,当且仅当1x =时取等号。

下面分析原不等式，要证的不等式左边是数列求和的形式，通项为1

ln n a n

=,而上面的结论有ln 1x x ≤-,变形有：11,(1)ln 1x x x ≥>-,令(2)x n n =≥,则有11

ln 1

n n ≥

-,那么我们可以构造新的数列1

1

n b n =-,以n b 作为连接不等式左右的桥梁来证明不等式。接下来对不等式右边变形：

23ln ln ln ...ln 121n n n =+++-（一个常见的拆分，要记住）,只需证明1ln

11

n

n n >-- 在1ln x x -≥中取ln 2n

a <,已知当1x >时，

1ln

11

n

n n >--,