第三章 稳态误差分析

R( s)
1 s
2
E ( s)
s ( s 1)( 2s 1) K (0.5s 1) s s( s 1)( 2s 1) 1
2

1
2
ess lim sE ( s) lim s.
s 0 s 0
s ( s 1)( 2s 1) K (0.5s 1) s
K2s s ( s 4) K1 K 2
D( s )
E ( s) R( s) Y ( s ) s ( s 4) s ( s 4) K1 K 2 R( s) K2s s ( s 4) K1 K 2 D( s)
24
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ess lim sE ( s )
1 s
2
，稳态误差为：
s( s 2n ) . s s
2
s 0
lim [
s 0
s( s 2n ) n
2
]
2
n
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[例2]某控制系统的方块图如图所示。试求在输入信号为 r (t ) 1(t )
时系统的稳态误差。
R (s)
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4
误差和稳态误差定义
对单位反馈系统，给定作 用 r (t ) 即为输出量的希望 值， r ( t ) c 0 ( t ) ，偏差等 于误差。 ss e ss
C0 (s)
N (s)
(s)
R (s) B (s)
E (s)
G1 ( s )
+
(a )
8
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稳态误差的计算
④ 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差
ess lim e(t ) lim sE ( s ) lim
t s 0
sR ( s )
s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
lim
b (t )
之差。即
e (t ) r (t ) b (t )
系统稳态偏差：当t→∞时的系统偏差，用 e ss 表示。即
e ss lim e ( t )
t
由系统输入端定义的方法，它等于系统的输入信号与主 反馈信号之差。这种方法定义的误差，在实际系统中是可以 测量的，因而具有一定的物理意义。
ss lim ( t )
t
由系统输出端定义，它定义为系统输出量的希望值与输 出量的实际值之差。这种方法定义的误差，在性能指标提法 中经常用到，但在实际系统中有时无法测量，因而只有数学 意义。
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系统偏差：系统的输入
r (t )
和主反馈信号
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2
误差和稳态误差定义
一、误差及稳态误差的定义
稳态误差指一个稳定的系统在给定输入或扰动作用下，经历过 渡过程进入稳态后的误差。 系统误差：输出量的希望值
c 0 ( t )和实际值 c (t )
之差。即
(t ) c 0 (t ) c (t )
系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用 ss 表示。即
sG2 ( s ) H ( s ) N ( s )
s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
终值定理要求有理函数sE(s)在S右半平面和虚轴上解析， 或者说sE(s)的极点均在S左半平面，即只有稳定的系统，才可 计算稳态误差。
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偏差和误差之间存在一定的关系：
E ( s ) R ( s ) B ( s ) H ( s ) C 0 ( s ) H ( s ) C ( s ) H ( s ) ( s )
得： E (s) H (s)
(s)
这里 R ( s ) H ( s ) C 0 ( s ) 是基于控制系统在理想工作情况下 E ( s ) 0 得到的。
,
H ( s) 1
求系统输入单位阶跃信号和单位斜坡信号时的稳态误差。
R (s) B (s)
E (s)
G (s)
C (s)
H (s)
解：系统误差传递函数为
E ( s) R( s )
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1 1 G( s) H ( s)

s( s 2n ) s( s 2n ) n
干扰引起的稳态误差为:
sH ( s ) ess lim e(t ) lim sE ( s ) lim N ( s ) t s 0 s 0 1 G( s) H ( s)
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一般方法的步骤: ①判定系统的稳定性（对于稳定系统求ess才有意义）；
②按误差定义求出系统误差传递函数 E ( s)或 NE ( s) ；
③利用终值定理计算稳态误差 ess lim s[ E ( s) R( s) NE ( s) N ( s)] s 0
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[例1] 已知
G(s)
n
2
s ( s 2n )
B (s)
E (s)
K (s 2) s ( s 3)
1 s 1
C (s)
-
解：系统的闭环传递函数为
( s)
K ( s 2)( s 1) s ( s 3)( s 1) K ( s 2)
闭环传特征方程为
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s 2s ( K 3) s 2 K 0
1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
7
稳态误差的计算
② 扰动作用下的偏差传递函数(作用在前向通道)
C (s )
N (s )
G 2 (s)
B(s )
H (s)
1
E (s)
+
G1 ( s )
NE ( s ) E (s) N (s) G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
③ 给定和扰动同时作用下的偏差表达式
E ( s) E ( s) R( s) NE ( s) N ( s)
1 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) R( s ) G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) N ( s)
D (s)
R (s)
E (s)
+
K1
K2 s(s 4)
Y (s)
-
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解： （1） Y ( s)
K1 K 2 s ( s 4) K1 K 2 R( s ) K2 s ( s 4) K1 K 2 D( s )
E ( s) R( s) Y ( s ) s ( s 4) s ( s 4) K1 K 2 R( s) K2 s ( s 4) K1 K 2 D( s )


1 K
由稳定的条件知：
e ss
1 6
不能满足
e ss 0 . 1
的要求。
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19
K=10
K=6
r(t)=t K=1
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d [例4] 系统如图所示，已知 r (t ) 4 6t ， (t ) 1(t )，试求 （1）系统的稳态误差； （2）要想减小扰动 d (t ) 产生的误差，应提高哪一个比例系数； （3）若将积分因子移到扰动作用点之前，系统稳态误差如何 变化。
9
⑤ 扰动作用下的偏差传递函数(作用在反馈回路)
R (s)
B (s)
E (s)
C (s) G (s)
H (s)
+
N (s)
假定输入信号为零,系统等效方块图为:
N (s )
H (s)
E (s)
1
+
G (s)
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扰动输出与扰动信号的关系为:
E ( s) N ( s) H ( s) 1 G( s) H ( s)
[例3] 系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时， 求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差 小于0.1吗？
R (s)
K ( 0 . 5 s 1) s ( s 1 )( 2 s 1 )
-
C (s)
解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳 系统特征方程为 2 s 3 3 s 2 (1 0 . 5 K ) s K 0
G 2 (s)
C (s)
-
对非单位反馈系统，给定 作用 r (t )只是希望输出的 代表值， r ( t ) c 0 ( t )，偏 差不等于误差。 ss e ss
C0 (s)
N (s)
(s)
R (s) B (s)
E (s)
G1 ( s )
+
H (s)
G 2 (s)
C (s)
(b )
]

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24 K1 K 2
（2）若减小扰动产生的误差，应增大放大环节系数K1，当K1 增大时ess减小。
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（3）
D (s)
R (s)
E (s)
+
K2
Y (s)
-
K1
1 s
s 4
Y ( s)
K1 K 2 s ( s 4) K1 K 2
R( s )
s 0
lim s[
s 0
s ( s 4) s ( s 4) K1 K 2 0
(
4 s

6 s
2
)
K2s
1
s ( s 4) K1 K 2 s
误差和稳态误差定义
第六节 稳态误差分析
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1
引言
稳态误差是衡量控制系统精度的指标，用来说 明稳态响应性能的优劣。控制系统的输出应尽量准 确的跟随参考输入的变化，同时尽量不受扰动的影 响，它仅对稳定的系统才有意义。稳态误差不仅与 系统的类型（传递函数）有关，而且与输入信号有 关。
由劳斯判据知稳定的条件为： 0
K 6
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E ( s)
E ( s) R( s )

1 1 G( s) H ( s)

s ( s 1)( 2s 1) s( s 1)( 2s 1) K (0.5s 1) s( s 1)( 2s 1)
稳态误差的计算
二、稳态误差的计算
N (s)
R (s)
E (s)
B (s)
-
G1 ( s )
+
H (s)
C (s)
G 2 (s)
① 给定作用下的偏差传递函数
R(s )
E (s )
B(s )
C (s )
H (s)
E ( s) R( s)
G 2 (s)
1
G1 ( s )
E ( s)
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3 2
15
s s s s
3
1 2 2 ( K 3) 2 K 2
K 3 2K 0
2
1
0
因为 2( K 3) 2 K 不成立，所以系统不稳定。无论K为何值及 何种输入，输出将趋向一个无穷量而不存在稳态值，也谈不 上稳态误差。
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稳态误差的计算
输入信号引起的 误差
扰动信号引起的 误差
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ess lim sE ( s )
s 0
lim s[
s 0
s ( s 4) s ( s 4) K1 K 2 1 K1
(
4 s

6 s
2
)
K2
1
s ( s 4) K1 K 2 s
C0 (s)
N (s)
(s)
R (s)
1 H (s)
R1 ( s )
E1 ( s )
E (s)
C0
-

H (s)
G1 ( s )
+
G 2 (s)
C (s)
我们将偏差 E ( s ) 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说 的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。
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2
13
若输入单位阶跃信号时， R( s)
ess lim sR ( s) 1 G( s) H ( s)
1 s
，稳态误差为：
s( s 2n ) s . ]0 s
s 0
lim [
s 0
s( s 2n ) n
2
若输入单位斜坡信号时，R( s)
ess lim sR ( s) 1 G( s) H ( s)