初三数学九上圆所有知识点总结和常考题型练习题

圆知识点
、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2
3
、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 、
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）
3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

四、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1 :（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论, 即：
①AB是直径②AB_CD ③CE=DE ④弧BC二弧BD ⑤弧AC二弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在Θ O 中，I AB // CD
.∙.弧AC =弧BD
五、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相
等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中
的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：① AOB "DOE :② AB=DE ；
③OC =OF :④弧BA二弧BD
六、圆周角定理I
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

1
、
点在圆内― d ：
：
—点C在圆内;
2
、
点在圆上― d = r—点B在圆上;
3
、
点在圆外— d r—点A在圆外;
1、直线与圆相离— d ∙ r = 尢父点；
2
、
直线与圆相切— d = r—有一个交点;
3
、
直线与圆相交— d ：—有两个交点;
、点与圆的位置关系
三、直线与圆的位置关系
O
A
D
E
O
D
C
A
O
B
A
八、切线的性质与判定定理
(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直
半径，二者缺一不可
即：∙∙∙ MN _OA 且MN 过半径OA 外端
••• MN 是Θ O 的切线
(2) 性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

九、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等， 这点和圆心
的连线平分两条切线的夹角。

即：∙∙∙ PA 、PB 是的两条切线
• PA= PB
PO 平分 BPA
十、圆内正多边形的计算 (1) 正三角形
在Θ O 中厶ABC 是正三角形，有关计算在
Rt = BOD 中进行:
OD:BD:OB=1: 3:2；
即：∙.∙ . AoB 和.ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∙∙∙ . AOB =2. ACB 2、圆周角定理的推论：
推论1 :同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 等弧； 即：在Θ O 中，∙∙∙ . C 、. D 都是所对的圆周角 • / C ED 相等的圆周角所对的弧是
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所 对的弦是直径。

即：在Θ O 中，∙∙∙ AB 是直径 ∙ . C =90 或∙∙∙ . C =90 ∙ AB 是直径 那么这个三角形是直角三角形。

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半， 即：在△ ABC 中，
∙∙∙ OC =OA =OB •••△
ABC 是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
斜边的一半的逆定理。

七、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补， 外角等于它的内对角。

即:在Θ O 中， •••四边形ABCD 是内接四边形 • . C BAD =180 . B D =180 .DAE =/C
.C =90 在直角三角形中斜边上的中线等于 R
C
O
B
B
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，OE : AE :0A =1:1: 2
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行，AB :0B:OA =1^ 3:2.
十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：I=匚R；
180
2
（2）扇形面积公式：S=匸R 1IR
360 2
n :圆心角R :扇形多对应的圆的半径I :扇形弧长S :扇形面
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图（选学）
S表=S M 2S底=2二rh 2二r2
B
A∈
底面圆周长
D1
母线长
C1
（2）圆锥侧面展开图（选学）
（1）
S
表=S M ' S底 =二Rr •二r $
十二、圆与圆的位置关系（选学）外
离（图1）= 无交点外切（图2）=有
一个交点相交（图3）=有两个交点
内切（图4）=有一个交点
二d R r ；
二 d = R r ；
二R 一r ：： d ：：
R r ；
二 d = R _r ；
R
圆练习
一.选择题
1. 在Θ 0中，弦AB<CD,OE OF分别是0 到AB和CD的距离，则（
A. OE>OF
B. OE=OF
C. OE<OF
D.无法确定
2. 如图,AB是Θ O的直径，CD是弦，若AB=10 cm,CD=8 Cm ,则A、B两点到直线CD的距离之和为（）
A. 12 Cm
B. 10 Cm
3. 下列命题正确的是（
A.相等的圆心角所对的弧是等弧
C.任何一个三角形只有一个外接圆
4. 如图，圆内接四边形ABCD中,
A. 2对
5 .如图，
（）
A. 3个
AC
B.等圆周角对等弧
D.过任意三点可以确定一个圆
BD交于E点，且BC=DC则图中共有相似三角形（
B. 4对
C. 6对
D. 8对
弦AB// CD,E为弧CD上一点，
B. 4 个
C.5个
D. 6个
AE平分∙CEB ,则图中与∙AEC相等（不包括∙AE C ）的角共有
6.两个扇形的面积相等,
B. 2:1
C. 4:1
D.
其圆心角分别为
1：2
7.—段铁路弯成圆弧形，圆弧的半径是
道，那么弯道所对的圆心角的度数为（
A. 4.4 °
B. 44°
C. 2.2 °
D.
〉、：，且'二殳一，则两个扇形的弧长之比t1:t2 = （）A. 1:2
2 km, —列火车以每小时28 km的速度行驶，经过10 S通过弯）
22°
&在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（
A. - 3
B. 2 3
C. 3∙3
D. 4 3
9.如图4, AD、BC是Θ O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿0→C→ D→ O的路线匀速运动,
设∠ APB=y （单位：度），那么y与点P运动的时间X（单位：秒）的关系图是（)
,则这个三角形外接圆的半径为
别为5,12,13
2. 一条弦把圆分成2:3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为__________________________
3. 如图,A、B、C是Θ O上顺次三点，若NOAB=44°,^y ^ACB = ______________________
4. ____________________________________________________________________________ 如图△ ABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4 cm, ∠ A=30 ° ,则AC= _________________________________ .
5. ______________________________________________ 如图，N A o B=Ioo °,则圆周角NAC B= .
6. _____________________________________________________________ 已知扇形周长为14cm,面积为12
cm2,则扇形的半径为______________________________________________________ c m.
7. 如图，以正方形ABCD的边AD BG CD为直径画半圆，阴影部分的面积记为m,空白部分的面积记为n，
则m与n的关系为 ________________ .
&若O 0是厶ABC的外接圆，ODL BC于D,且N BOD =48：则N BAC= ________________________ .
9.如图，正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q,连结DQ .给
PQ 3 ] 3
出如下结论：①DQ= 1;②----------- =—;③PDQ=—；④cos∠ ADQ=—.其中正确结论是_________________________
BQ 28 5
三、解答题
1.如图27-13 ,某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8 m时最大水深0.2 m,当水面上升0.2 m
时水面宽多少？
2. 已知圆环内直径为a Cm ,外直径为b Cm ,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条
锁链，那
么，这条锁链拉直后的长度为多少?
3. 如图，一只狗用皮带系在10× 10的正方形狗窝
的一角上，皮带长为
积是多少？
14,在狗窝外面狗能活动的范围面（填写序
号）
4. 如图，在△ ABC中，AB=AC D是BC中点，AE平分∠ BAD
交BC于点E,点O是AB上一点，OO 过A、E两点，交AD于点G交AB于点F.
(1) 求证：BC与OO相切；
(2) 当∠ BAC=120时，求∠ EFG 的度数.
5. 如图，OO的半径为1 ,点P是OO上一点，弦AB垂直平分线段OP点D是弧APB上任一点(与端点A
B不重合)，DEL AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作O D,分别过点A、B作OD的切
线，两条切线相
交于点C.
(1)求弦AB的长；
(2)判断∠ ACB是否为定值，若是，求出∠ ACB的大小；否则，请说明理由;
S
(3)记厶ABC的面积为S,若DE2= 43,求△ ABC的周长.
6. 如图，已知A、B是O O与X轴的两个交点，O O的半径为1, 线PA、
PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点.
(1)判断直线PE与O O的位置关系并说明理由；
(2)求线段CD长的最小值；
(3)_____________________________________________ 若E点的纵
坐标为m,则m的范围为________________________________ .
C
P D
A B
E
O。