最新圆的参数方程64442
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圆的参数方程-数学圆的参数方程
圆的参数方程
湖南省永顺县第一中学
授课人： 罗振明
复习：
1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？
(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。
2.三角函数的定义？
角终边上任意一点 （x, y),设 OP r, 则 P x y y cos , sin , tan r r x
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin 2 cos 3, y sin 1 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x cos 3, （为参数） y sin 1.
它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。
得出结论：
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
探究过程请同学们课后完成
(θ为参数)
例2 已知点P(x,y)是圆 x2 y最值时的应用；
1.写出下列圆的参数方程: x = 3cosθ y = 3sinθ (1)圆心在原点,半径为 3:______________;
x =-2+cosθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. y =-3+sinθ x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 ,则其标准 y =5sinθ-1 方程为:_________________. (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
湖南省永顺县第一中学
授课人： 罗振明
复习：
1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？
(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。
2.三角函数的定义？
角终边上任意一点 （x, y),设 OP r, 则 P x y y cos , sin , tan r r x
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin 2 cos 3, y sin 1 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x cos 3, （为参数） y sin 1.
它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。
得出结论：
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
探究过程请同学们课后完成
(θ为参数)
例2 已知点P(x,y)是圆 x2 y最值时的应用；
1.写出下列圆的参数方程: x = 3cosθ y = 3sinθ (1)圆心在原点,半径为 3:______________;
x =-2+cosθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. y =-3+sinθ x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 ,则其标准 y =5sinθ-1 方程为:_________________. (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
圆的参数方程全面版
(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设 法点 M的坐标 (x,y)为 因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的 设坐 点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
圆的参数方程
略解： 设 ABC 的重心G(x,y) ……. 1 x [a a cos a cos( 1200 )] x 3 则 A 1 y [0 a sin a sin( 1200 )] 3 3x a a cos a cos( 1200 ) ① 即 ② 3 y a sin a sin( 1200 )
(2)若点M ( 1 2 2, 3 2 2)在圆上，求点M 所对应的参数 的值；
x 3 cos 例2：参数方程 (1)与 θ 0 , 2 y 3 sin x 3 sin
θ 0,2 (2)是否表示同一曲线 y 3 cos
解:对于(1)中θ∈［0，2π） x=3cosθ∈[-3，3]；y=3sinθ∈[-3，3] 且消去参数后，化为 x2+y2=9
x 3 sin θ∈ [0，2π) y 3 cos
也化为 x2+y2=9
所以两者都表示同一个圆。
说明
参数方程的本质是将曲线上任意一点 P（x,y)的坐标表示成参数的函数，而定 义域是函数的要素之一，定义域对函数 的值域有重要的制约作用。
因此，例1说明了要重视参数方程中对 参数的限制条件；例2说明如果消去参 数后得到的普通方程形式相同，且方程 中x,y的取值范围也相同，那么这两个参 数方程表示的是同一曲线。
0t
2
也是圆O的参数方程，t是参数。
参数方程的定义：在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点 P 的坐标 x、y都是 某个变数t的函数 , 即
x f t y g t
并且对于 t 的每一个允许值，由方 程组所确定的点 P 都在这条曲线上，那 么方程组就叫做这条曲线的参数方程， 联系x, y之间关系的变数 t，叫做参变 数，简称参数。
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
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[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
逆 时针旋
OM
的位置时，OM0 转过的角度．
(3)若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程 为
x＝x ＋Rcos θ 0 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π) ．
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[例1]
ห้องสมุดไป่ตู้
圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，
以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程． [思路点拨]
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
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[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
半径速圆周运动的时间 ．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半 径为 r
圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
圆心为O1(a, b) ，
b
P ry
半径为r 的圆的参数方程
v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：判 断 点A(2,0), B( 2, 3 2 ), C(1,3)是 否 在 曲 线
2
x
y
2 cos (为 参 数,0 3 sin
2
)上, 若 在 曲 线 上,求
出 它 对 应 的 参 数 值.
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
圆的参数方程与椭圆的参数方程
y
b
r
sin
0,2
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数）
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数）
0,2
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
例3
已知椭圆
x2 100
y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4
P
的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =3+cosθ y =sinθ
∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
P M
O
Ax
例:如图，已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标是（12，0）。当点P在圆上运 动时，线段PA的中点M的轨迹是什么y ？
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
[解]
根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
如图所示，
设圆心为 O′，连 O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ.
x＝r＋rcos ∴ y＝rsin 2φ.
2φ，
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(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件， 否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成
x＝r＋rcos y＝rsin φ.
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
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[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
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x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
人教A版高中数学选修4-4课件 圆的参数方程课件2
＝|BD|＝4，P 为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
栏
目
链
分析：本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 接
平面直角坐标系，将P点坐标用圆的参数方程的形式表示
出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子
来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的中点 为原点建立平面直角坐标系(如下图)．
栏 目 链 接
因为|AB|＝10，
所以圆的参数方程为xy＝＝55scions
θ， θ
(θ 为参数)．
栏 目 链
接
因为|AC|＝|BD|＝4.
所以 C，D 两点的坐标为 C(－1,0)，D(1,0)．
因为点 P 在圆上，
所以可设点 P 的坐标为(5cos θ，5sin θ)．
栏
所以|PC|＋|PD|＝ 5cos θ＋12＋5sin θ2＋
目 链
接
5cos θ－12＋5sin θ2
＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ
＝ ( 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ)2
＝ 52＋2 262－100cos2θ.
栏
目
当 cos θ＝π2时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26.
链 接
所以|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
x＝rcos t， y＝rsin t
(t 为参数)．
栏
目
我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为 r 的圆的参
链 接
数方程．
圆的圆心为 O1(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为：
x＝a＋rcos t， y＝b＋rsin t
圆的参数方程
3
例3. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M A x
1、已知在 ABC中，C 2、已知在 ABC中，C
3
, 求 sin A sin B的取值范围 , c 3 , 求a b的取值范围
3
3、已知在 ABC中，角A、B、C所对的边长分别 为a、b、c向量m (a 2 b 2 c 2 , ab), n (sinC , cos C ), 且m n, 求角C的大小
圆的参数方程
例2.填空： x 5 cos (0 2 ) 已知圆O的参数方程是 y 5 sin 5 （ 1 ）如果圆上点 P所对应的参数 , 则点P的
5 5 3 ( , ）； ) 坐标是（ 2 2
3
5 5 3 （2 ）如果圆上点 Q的坐标是（ ， ），则点Q所对应 2 2 2 的参数等于（ ） .
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r,与x轴正 半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标。
y
P(x,y) r
θ O
P0 x
x =rcosθ 方程组 叫做 y =rsinθ
圆心为原点、半径为r的 圆的参数方程
[0,2 ) 若要表示整个圆， 的最小的取值范围是？
2 2
2 =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例3. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M A x
1、已知在 ABC中，C 2、已知在 ABC中，C
3
, 求 sin A sin B的取值范围 , c 3 , 求a b的取值范围
3
3、已知在 ABC中，角A、B、C所对的边长分别 为a、b、c向量m (a 2 b 2 c 2 , ab), n (sinC , cos C ), 且m n, 求角C的大小
圆的参数方程
例2.填空： x 5 cos (0 2 ) 已知圆O的参数方程是 y 5 sin 5 （ 1 ）如果圆上点 P所对应的参数 , 则点P的
5 5 3 ( , ）； ) 坐标是（ 2 2
3
5 5 3 （2 ）如果圆上点 Q的坐标是（ ， ），则点Q所对应 2 2 2 的参数等于（ ） .
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r,与x轴正 半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标。
y
P(x,y) r
θ O
P0 x
x =rcosθ 方程组 叫做 y =rsinθ
圆心为原点、半径为r的 圆的参数方程
[0,2 ) 若要表示整个圆， 的最小的取值范围是？
2 2
2 =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
返回
法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
半径为 r
为参数)．其中参数
t 的物理意义是： 质点做匀速圆周运动的时间 ．
返回
(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半 径为 r
x＝rcos θ 的圆的参数方程为y＝rsin θ (θ
为参数)．其中参数 θ
的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 转到
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
返回
[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
φ，
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
返回
1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为 y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
返回
2．已知点 P(2,0)，点 Q
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
逆 时针旋
OM
的位置时，OM0 转过的角度．
(3)若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程 为
x＝x ＋Rcos θ 0 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π) ．
返回
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
[例1]
圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，
以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程． [思路点拨]
φ，
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
返回
1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为 y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
返回
2．已知点 P(2,0)，点 Q
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
返回
3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
返回
4．已知圆
x＝cos θ， C y＝－1＋sin
θ
与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，
求实数 a 的取值范围．
x＝cos θ， 解：法一：∵ y＝－1＋sin
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
|PQ|的最大值是____________.
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x
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圆的参数方程
湖南省永顺县第一中学 授课人： 罗振明
复习：
1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？
(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。
2.三角函数的定义？
角 终边上任 P（ 意 x,y)一 ,设O 点Pr,则
co sx,siny,tany
r
r
x
3.参数方程的定义？
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 co 6 sco 3 ,s y 2 si n 2 si 1 n
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xycsions13（ ., 为参数）
它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。
______________________________
x+y的最小值。
解：圆 x 2 y 2 2 x 2 3 y 0 可化为 （ x 1)2 ( y 3 )2 4
其参数方程为
x
1
2
cos
, ( 为参数）
y 3 2 sin .
则 P （ 1 2 cos ， 3 2 sin ）
x y 1 2 cos 3 2 sin
• (1)参数方程可以用来求轨迹问题. • (2)参数方程可以用来求最值. • (3)掌握圆参数方程和普通方程的互换.
思考：圆的参数方程有什么特点？
______________________________ ____________________
______________________________ ____________________
3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的
x =1+2cosθ 参数方程为__y__=_-_3__+_2_s_i_n_θ__.
______________________________ ____________________
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ (θ为参数)
解: 设P（x,y）, ∵点P在∠P0OP的终边上,
根据三角函数的定义得 sin y,cosx.
r
r
x rcos, y rsin. (1)
P (rco s,rsin).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。
其中参数θ表示OP0到O___P__所___成____旋___转____角___，_____0___ 2 。
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 c o 6 s c o 3 s ,y 2 s i n s in
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xycsions.3（ , 为参数）它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆
注意：轨迹是指点运动所成的图形； 轨迹方程是指表示___动__点___所___成___图___形___所___满___足__的__ 代数等式
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个 变数t的函数，即
x y
f (t)(t为参数） g(t)______________________________
____________________
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交
点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠ห้องสมุดไป่ตู้0 OP =θ,求P点的坐标。
探求：求圆心为O1(a,b)、半径为r 的圆的参数方程
1.⊙O1与⊙O有什么联系？ ⊙O1是由⊙O按向量O O 1 =(a,b)平移后得到。
结论：
2.⊙O1上任一点P (x,y)与其对应点 P1 (x1,y1)的 坐标有什么联系？
由平移公式得：
x y
x1 y1
a, b.
而
x1 y1
r r
____________________
变式 已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点B是平面
上的定点 ,坐标为(12,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点
M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csions.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
cos , sin .
x arcos, y brsin.
圆心为O1(a,b)、半径为r
的圆的参数方程为
x a r cos, y b r sin.
（其中θ为参数）
______________________________
____________________
____________________
得出结论： 圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ (θ为参数)
探究过程请同学们课后完成
______________________________ ____________________
例2 已知点P(x,y)是圆 x2y22x23y0上的一个动点,求:
(1)圆心在原点,半径为 3:____y_=___3_s_i_n_θ__; x =-2+cosθ
(2)圆心为(-2,-3),半径为1: __y__=_-_3_+_s_i_n_θ___.
2.若圆的参数方程为
x y
=5cosθ+1 =5sinθ-1
,则其标准
方程为:_(_x_-_1_)_2_+_(_y_+_1_)_2_=_2_5_.
____________________
例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点A是x 轴
上的定点 ,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点
M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csions.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
3122sin ()
4
当 si n 4 ) ( 1 时 (x y ) ， m in 3 1 22
说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；
______________________________ ____________________
1.写出下列圆的参数方程: x = 3 cosθ
湖南省永顺县第一中学 授课人： 罗振明
复习：
1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？
(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。
2.三角函数的定义？
角 终边上任 P（ 意 x,y)一 ,设O 点Pr,则
co sx,siny,tany
r
r
x
3.参数方程的定义？
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 co 6 sco 3 ,s y 2 si n 2 si 1 n
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xycsions13（ ., 为参数）
它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。
______________________________
x+y的最小值。
解：圆 x 2 y 2 2 x 2 3 y 0 可化为 （ x 1)2 ( y 3 )2 4
其参数方程为
x
1
2
cos
, ( 为参数）
y 3 2 sin .
则 P （ 1 2 cos ， 3 2 sin ）
x y 1 2 cos 3 2 sin
• (1)参数方程可以用来求轨迹问题. • (2)参数方程可以用来求最值. • (3)掌握圆参数方程和普通方程的互换.
思考：圆的参数方程有什么特点？
______________________________ ____________________
______________________________ ____________________
3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的
x =1+2cosθ 参数方程为__y__=_-_3__+_2_s_i_n_θ__.
______________________________ ____________________
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ (θ为参数)
解: 设P（x,y）, ∵点P在∠P0OP的终边上,
根据三角函数的定义得 sin y,cosx.
r
r
x rcos, y rsin. (1)
P (rco s,rsin).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。
其中参数θ表示OP0到O___P__所___成____旋___转____角___，_____0___ 2 。
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 c o 6 s c o 3 s ,y 2 s i n s in
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xycsions.3（ , 为参数）它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆
注意：轨迹是指点运动所成的图形； 轨迹方程是指表示___动__点___所___成___图___形___所___满___足__的__ 代数等式
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个 变数t的函数，即
x y
f (t)(t为参数） g(t)______________________________
____________________
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交
点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠ห้องสมุดไป่ตู้0 OP =θ,求P点的坐标。
探求：求圆心为O1(a,b)、半径为r 的圆的参数方程
1.⊙O1与⊙O有什么联系？ ⊙O1是由⊙O按向量O O 1 =(a,b)平移后得到。
结论：
2.⊙O1上任一点P (x,y)与其对应点 P1 (x1,y1)的 坐标有什么联系？
由平移公式得：
x y
x1 y1
a, b.
而
x1 y1
r r
____________________
变式 已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点B是平面
上的定点 ,坐标为(12,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点
M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csions.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
cos , sin .
x arcos, y brsin.
圆心为O1(a,b)、半径为r
的圆的参数方程为
x a r cos, y b r sin.
（其中θ为参数）
______________________________
____________________
____________________
得出结论： 圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ (θ为参数)
探究过程请同学们课后完成
______________________________ ____________________
例2 已知点P(x,y)是圆 x2y22x23y0上的一个动点,求:
(1)圆心在原点,半径为 3:____y_=___3_s_i_n_θ__; x =-2+cosθ
(2)圆心为(-2,-3),半径为1: __y__=_-_3_+_s_i_n_θ___.
2.若圆的参数方程为
x y
=5cosθ+1 =5sinθ-1
,则其标准
方程为:_(_x_-_1_)_2_+_(_y_+_1_)_2_=_2_5_.
____________________
例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点A是x 轴
上的定点 ,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点
M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csions.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
3122sin ()
4
当 si n 4 ) ( 1 时 (x y ) ， m in 3 1 22
说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；
______________________________ ____________________
1.写出下列圆的参数方程: x = 3 cosθ