2019届高三数学数列求和.ppt

法.
常见的拆项公式有：
(1) 1 1 [ 1 1 ] anan1 d an an1 其中数列{an}为等差数列;
(2) 1 1 [ 1 1 ] anan1an2 2d anan1 an1an2 其中数列{an}为等差数列;
(3) 1 1 ( a b); a b ab
练习：求数列｛an｝的前n项和
一般数列的求和
引例
求和：2 24 27 210
23n10 (n N )
答案： 2 (8n4 1) 7
数列求和的常用方法：
方法Ⅰ 公式法求和
1、 等 差 数 列 的 求 和 公 式
Sn
n (a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
2、 等 比 数 列 的 求 和 公 式
Sn
na1
a1 (1
qn )
1 q
(q 1) (q 1)
n
3、
k 1 2 3 n
n(n 1) ;
k 1
2
n k 2 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)；
k 1
6
n
k 1
k3
13
23
33
源自文库
n3
n(n 2
1) 2
问题
有的数列不是等差数列也不是等比 数列，那如何求它的前n项的和？
变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数
列相加。
练习：已知 f (x) 1
2x
2，求：f (5) f (4) ..... f (6)
方法Ⅴ 裂项相消法求和
1.若数列an的前n项和Sn n2,则
11 1
.
a1a2 a2a3
anan1
方法解读：把数列的通项拆成两项差，即数列
的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时 一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾 若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消
Sn a1 a2 a3 an
方法Ⅱ 分组求和法
例、数列1×4，2×5，3×6，…，n×(n+3)，…
则它的前n项和Sn=
.
方法解读：将一个数列拆成若干个易求和的简单数列 （等差数列、等比数列、常数数列等），然后分别求和。
练习：
(1)( x
1) y
(x2
1 y2
)
(xn
1 yn
)( xy
0).
1 (1)an n 1 n
(2)an
(2n1
2n 1)(2n
1)
方法Ⅳ 错位相减法： 等比数列求和公式的推导
例.求和 Sn 1 2 • 21 3 • 22 .......... n • 2n1
方法解读：如果一个数列的各项是由一个等差 数列与一个等比数列对应项乘积组成，即 cn=anbn, 此时求{cn}前n项和可采用错位相减法.
(2) 1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22+…+2n-1)
方法Ⅲ 倒序相加法求和 等差数列求和公式的推导
例.设
4x f (x) 4x 2
,
（1）求证：f (x) f (1 x) 1
（2）s
f
( 1 ) 2011
f
( 2 ) ... 2011
f
( 2010) 2011
方法解读：将数列的倒数第k项（k=1,2,3,…）
S100 12 22 32 42 52 62 992 1002
Sn 1 2 3 4 5 6 (1)n1 n
小结：数列求和的基本方法
首先，注意分析判断是否是等差数列或是等比数列， 是否可拆成等差列、等比数列之和或之差或之积。
再决定： 公式求和法：利用等差、等比数列前n项公式 分组求和法：转化为等差数列与等比数列和（或差） 倒序相加法：把数列正写和倒写再相加 错位相减法：通项是等差数列与等比数列的积 裂项相消法：通项是分式结构，分母、因式成等差
练习：
（1） Sn 1 2x 3x2 nxn1, (x 0)
（2）
Sn
1 2
3 4
5 8
2n 1 2n
方法Ⅵ 并项法求和
例.求和 S100 1 2 3 4 99 100
方法解读：将数列相邻的两项（或若干项）并成一项 （或一组）得到一个新且更容易求和的数列。
练习： 求和
数列关系，可以把通项写成两项之差 并项法：将数列相邻的两项（或若干项）并成一项
（或一组）
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