高中数学复习：逻辑推理及数学运算

高中数学复习：逻辑推理及数学运算

逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.具体表现：(1)发现和提出命题；(2)掌握推理的基本形式和规则；(3)探索和表述论证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与交流.

【例3】 (多选题)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( )

A.a 2＋b 2≥12

B.2a －b >12

C.log 2a ＋log 2b ≥－2

D.a ＋b ≤ 2

解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12

时，等号成立，即有ab ≤14.

对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12

，故A 正确； 对于B ，2a －b ＝22a －1＝12

×22a ， 因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12

，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214

＝－2，故C 错误； 对于D ，由(a ＋b )2

＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2，得a ＋b ≤2，故D 正确. 综上可知，正确的选项为ABD.

答案 ABD

【训练3】 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良

好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.

答案 D

数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.具体表现：(1)理解运算对象；(2)掌握运算法则；(3)探究运算思想；(4)设计运算程序.

【例4】 已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝__________. 解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2

θ

＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35

. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4

＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13. 答案 －35 13

【训练4】 如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).

(1)证明：动点D 在定直线上；

(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值.

证明 (1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，

直线AO 的方程为y ＝y 1

x 1

x ；BD 的方程为x ＝x 2.

解得交点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，

y 1x 2x 1 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，

则有y ＝y 1x 1x 2x 21

＝－8y 14y 1＝－2， 因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上.

(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2

＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，

即x 2－4ax －4b ＝0，

由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，

化简整理得b ＝－a 2.

故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.

分别令y ＝2、y ＝－2得N 1、N 2的坐标为 N 1(2a ＋a ，2)，N 2(－2a

＋a ，－2)， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝(2a －a )2＋42－(2a

＋a )2＝8， 即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.