圆的培优专题含解答精编版

最新资料推荐圆的培优
专题1 ------ 与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度
DAC1、如图，△ ABC 内有一点D，DA = DB =。

，若=DAB1
100BDC = ) BAC = .( 则=BDC ________ 2
100 50 ).，则(BAD = 、如图，2AE = BE = DE = BC = DC ,若C =
20 30 =，，则=AD，BDCCBD = 3、如图，四边形ABCD 中，AB = AC
+ + 60 BAD = . () BAD == BAC
题第3 第1题第2题
解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！60□ ，D4、如图，EABCD中，点为AB、BC的垂直平分线的交点，若= .(=AEC2120B
=2) D =贝寸AEC = ---------------
70 ADC == OB = OC,, ABC 是四边形5、如图，OABCD 内一点，OA = 150) ADC —360 贝U DAO + DCO = .(所求==—AOC -----------------------------
9025. ADB = , ADC == ，则ABC =中，6、如图，四边形ABCD ACB ------------------- () ABC = ADC = 25
3020 ,=,
CAD = 40100
D
第题第 4 第题 5 6题.
题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到解题策略：第6ACBD共圆1
............................................. 最新资料推荐................................... 运用圆周角
和圆心角相互转化求角度二ABAB . = O的直径，C为的中点，D为半圆上一点，
则ADC、如图，7AB为O _________ . OA过的中点E并垂直于OA，贝U ABC = 8如
图，AB为O O的直径，CD ___________ ACBC 3. ，则二ABC 9、如图，AB为O O 的直径，—
8、309; 、22.5解题策略：以
50 . 上, BAC = ，贝U ADC = O10、如图，AB为O的直径，点C、D在O O ____________
=，弦11、如图，O O的半径为1AB =，弦AC _________________
30 CD AC ，P=，过圆心、
如图，12PAB、PCD是O O的两条割线，PABO，若X =.（设，即可展开解决问题）ADC 则
BDC = ---------------
题第12 11 10 第题第题
解题策略：在连接半径时，时常会伴随岀现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
题第9第8题第7题
、110；、；1040 ; 11、15012 答案：7、45 ;
J f3 2.=，贝0 BOC
弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!
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垂径定理有关的计算圆的培优专题
BED 上，若, 点E 在O OAB ,垂足为C , 交O O 于点D1、如图，AB 是O O 的弦，OD 30.
O 的半径为 O _______ = 90, • AB = 2AC ，且，略解：•/ ODACOAB
=BED30601
4,则弦AB =的长是，
BED , • = AOC = 2
AB =，因此=30 = , OC OA = 2,贝U AC . ABOA = 5,= 6,贝U BC = 2、如图，弦 AB 垂直于O O 的直径 CD , 1 AB=3 BE 略解：•••直径 CD =弦 AB ，二 AE_
• OE = 5
22
1039 3
••• BC
题第3题
52 . 6，则 OP
如图，O 3O 的半径为 弦，ABABCD ，垂足为 P ,= 8, CD = OD. CD ，连接, OEO 作OBAB ，OF 略解：如图，过点 1卩
52，且 OB = OD = 3 =
贝U BE = AB4 , DF
22
4 53 9 =，贝U CE
AZ
?
10 内接于O ABCO ，D 是O O 上一点，，贝U DCA = BC =，5、如图，正△ ------ OCD ODC 略解：如图，连接 OC , OD ，则= ODC = •••△ ABC 为等边三角形，则 45OCA =
25 = OCD 是等腰三角形，则 OC
••• 2C 过OB ，B
长线交O O 于点，贝U CD = 2
=略解：如图，连接 OC ,贝U OC AB 60
=,•= OC 的中点，贝U 30AB ，又OCE
2222
112(25) 4 (25) 3 OF OE ==,
22
15 2 (11) OP 是矩形，则二
在O 00A = 8AB = 12A = B =
又ABCD ，则四边形 OEPF 60 ，
则O O 的半径为，
，内，如果4、如图,
34 OD =，=，因此，=
ADOBODO 略解：如图，过点作 AB ，连接，则= AB4BD8 一 2
8.
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15
CD =
OCDOCE = 30 =，
60AB , AEC = CE6、如图,
O O 的直径AB = 4, C 为上一点,
的中点，E 为OB 的延
CD
I''
：；
丨 22
73)(44
=OB 3
C 为 AEC1
332 2CF = CF =,A CD = O 如图，过点作 OF CD ，贝U OF = OC = 1 , - 2
处，A 地测得台风中心在城正西方向 300千米的B7、如图，茲 710 60的 并以每小时
BF 千米的速度沿北偏东方向移
.千米范围内是受台风影响的区域动，距台风中心
200
A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求
问： 岀受影响的时间？
BFCAC ，交于点解：如图，过点A 作1 150,因此200A 地会受到这次台风影响； = '• =ABF30AC ，则二 AB_ 2 EBF200 如图，以A 为圆心千米为半径作O A 交于D 、两点，连 接 AD ， 广 227100 150 200 DE 则二 22CD =，厂厂 10710 1007 所以受影响的时间为
（时）4
圆的培优
专题 3 ----- 圆与全等三角形
.O 于D ，求CDAC 、如图，O O 的直径AB = 10,弦
=6，的长ACB 的平分线交O 1DE CB 的延长线上截取 BE = AC ,连接解：如图，连接AB ，BD ，
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=BCD ，二
•/ ACD = AD BE = EBD 又, CAD = AC ) EBD ( SAS CAD
BDE
6 ACBC • — = CDBD — BC = = 5
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为O O 上三点，，AM 为，点 M 于上一点，CE4、如图，点 A 、B 、.
BD ADC
• CD = DE ,
ACB = 90ADBAB 为O O 的直径，则=T
22
90
8 610 CDE ,即 BDE =; 90BC • ADC = + = CDB = CDB
27 CD =是等腰直
角三角形且 CE = 14, /
•••△ CDE 延长线上一点，且是半圆的中点,
D 分别是CB 及
AB2、如图, AB 是O O 的直径，C<
2.
,求 BD , 若 CM 是等腰直角三角形
的长= MA = MD ，即△ ABCC = 90解：如图,
MAD
连接 AC ，贝U AC = BC ,
AD ，则=NMA 过点M 作MN //
22
则厶CMN 也是等腰直角三角形，则 MNCM
• 135ANC =, MBD
MAD 又 MAD ==NMA = MD , • ) AAS AMN BMD
• BD = MN I'I AN 3. C 为=上一点，NC 为O 3、如图，ABO
的直径，点N 是半圆的中
占 八占 八、
AC 的值求BC —
BN ，则△ ABN 是等腰直角三角形 •/ CAN = DBN , ACAN = BN ，二
AN 解：如图，连接，DN AC =,连接 在BC 上截取BD BD
)(SASBDN ACN
CNADNB = DN • CN =,,
CNDCND =+ CNA 是等腰直角三角形 AND = ADN + DNB
26 = CD = NC , •
BC BC AC EC
BM 的长=3,求 AE = 5 , ME CM. , BM ，连接 CN 解：如图，在 AM 上截取 AN = BC AC B A ，二 AC •/= BC ,又=
(SAS ) •••△ ACN BCM AM CE /• CN = CM ，又 ,
•- NE = ME = 32
=••• BM = ANAE — NE =
PDCD , CD 交O O 于 A ，若.
PD
BE = CD = 3+1 = 4 , PE
1 Rt △ ADP ( HL ),贝 U AE = = AD 连接 AP ，贝U Rt △ AEP 幻 5
8. == 10, MN 是 6、如图，ABO 的直径，MN 是弦，AE 于 MNE , BF ,
B
A =// BF , • AEMN , BFMN ，贝U AE 解：T 如图，延长 EO 交 BF 于点，G BO ,AO 则=AOE = BOGOG ，贝U AAS ) OE = BOG AOE □△( 4
过点 O 作 OHMN , FG = ,= 2OHHN
22
34 5 6.
AE — OH , = ON ，则连接 ON5 = BG ，则==FG 6
C CPB ，二解：如图，连接 BP 、CP 」BP = C
D PD
E , 又 过点P 作PE 于点AB CDP
=BEP
(AAS )
•••△ BEPCDP
==AE+BEAB
MN 于 FAB.
BAC AC = 3，AD = 15、如图，在O O 中，P 为，的中点, 的长求AB
BF — AE 的值
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圆与勾
股定理4圆的培优专题
60AB BNC 是二的中点，，1、如图，O O 是厶BCN 的外接圆，弦AC ,点BCNBN. 求 的
DAC = = + ADB + 90 又 ACBD ，贝U EDBADB BCDE CD BE EDB ，贝U,
AC = BD 是等腰直角三角形 • AD = DE ，即 △ ADE — I
22
=4AD =，即O O • AE 的半径为 45 ，CAD = D3、如图，AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点，为 CB 延长线上一点，且
F.
AB ，DF 于点 CEAB 于点
E
BC
BNA =，则AB 为直径，••• 90解：如图, 连接AB 是等腰直角三角形， 则BN = AN ， 贝忆ABN
连接AN
60 =• BN ==，
63BN = BC ,即可求解） （方法 2,过点 B 作 BD • AB ， • CN =一 BC ------------------ 32
22.，求O ACOBD ，且AC = BD ，若AD 半径=2、如图，O O 的弦
解：如图，作
直径AE ，连接 DE ，贝U ADE = 90
• DAC = DE ACCDAD BC ，•，则 AB ;又 BNCBAC 2
P
AC. = 4，求 EFCE = ; ( 2)若 DF = 2 , EF (1)求证： 45 1CAD 的直径，二，)证：丁 AB 为O O ( DC = 则厶ACD 是等腰直角三角形，即 AC ECB =CAE 又 CEAB ，贝U
(ACE
DCGAAS )，贝U CG = = CE 「.A
22
13264 .
2 ()略解：CD = AC = 7
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CE AC . ，CD
交AE 于点F , 4、如图，AB 为O O 的直径，CDAB 于点D ;= CF (1)求证：AF
(2)若O OAC ，连接1 )证：如图，延长 CD 交O O 于点
•••直径 AB CF
1 AE=4
连接BC 于M ，交CD5、如图，在O O 中，直径 CD 于弦AB 于E AN ;
.ON ，= 1，求O ( 2 )若 ABO =的半径 BC G
的延长线于点作 是矩形，90
CG 垂直DF 如图，过点 C 又 CEAB ， CAE CDG ==11 =
AEC = DGC = DFAB ，则四边形 CEFG
••• EFCG ，CEDG ，贝U ECBEF
EH = AE ( 2)解：如图，连接 OC 交于点 H ，贝U OCAHAE ，-
3,贝U CH =
• OH XX = 4 设 HF =—，贝U CF = AF
33222 x)(4 2 XX ，•= 则，即HF
-2211 EF =
22
34 52 = 5—=
2 AD. NAM ,，
,)证：••• CDAMAB (1 90 •- BC + = CNM = C +
AN
• CNMB
CNM B
ANDD
又,=
• = D = ADAND ，即
的长，的半径为 5AE = 8,求EF G (CE AG AC ，则 CG CAE = = ACG ，贝U •-
(1)求证:
222
垂直弦的问题5圆的培优专题
AC ，证：如图，连接
AOD = 180.
AOD +=
• BOC 222 . + BD4R2、在O O 中，弦 ABCD 于点E ,若O O 的半径为 R ，求证:
CM 如图，作直径 AM ，连接
ACM = ACD + 90
贝U DCM =
• DCMCAB =，DM BC • BD CM
BD •- CM = 222 =T ACCM + AM
22 AB ，则 AE =( 2)解：•••直径 CD 弦 ED
NE == AD ，贝U
又 AN xIx = NE = ED 如图，连接 OA ，设 OE =，则
1x 2 == ODOA •••，.
222
lx 1)2)(2x (2 x
•••,则
OA 的半径二。

O = 8
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圆中两
AC = ACD 证: AB = CD ，贝U 90CAB +
ACD = CD ，贝U 90CAB +
•/ AB BAC BOC = 22ACD 又
+ BD4R
• AC BD.为MEACAB3、在O O中，弦的中点，求证CD于点E，若点MF ME
222
•/ AB 的中点 CD ，且点 M 为AC • ME 斜边上的中线 Rt △ AEC 为ME
• AM = BFE BD.
BEF AEM 90 + AC
又BC ,
• BEFB == 9090，即
FDAC FD
AC =，则/• 1AC =
/• ON — 2 M. ONACBD 于 N , OM 于 5、在O O 中,
弦 ABBDCD 于点 E ,若 AC = , // (1)求证：MEON ;
.为菱形
(2)求证：四边形 OMENF (1)如图,
延长 于点，并延长交 BD 证：如图，连接
贝U DFBDBD , 又 ON , OF OB =
/• ON II FD , 又 1DF = /• ON - 2 AB AB ,
又 连接AF ，贝U AFCDCD
II ••• AF 2 , BF ，连接
1 AC. BD 于 N ,
DF 证：如图，作直径
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求证：4、在O O 中，弦 ABONCD 于点E ,若ON
匸
E
、
ME 交OD 于点证： AC ,则点M 为
AC •/ OM 的中点 ACE 的斜边上中线为 Rt •/ AB △ CD ，贝U ME
••• AM = EM , BEF = • AEMA =
+ 90 又=BCC , = A BFE = BEF = 9090，贝U
•+ B BD ，又 ON • MFBD
ON //••• MF
,NE ，同理可证 OM // 1 ( 2)由()知 MF // ON 是平行四边形•四边形 OMEN ON =，• OMBD •/ AC = 为菱形•四边形
OMEN 10
角（外角）平分线6圆的培优专题
圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形一
90 .，= 1、如图，O O ABC 的外接圆，弦 CD 平分ACBACB
CE = CB 是等腰直角三角形，则 CA + =
CDECA+CB
120.
的值，求 ACB = CD2、如图，O O ABC 的外接圆，弦平分 ACB ， --------------------------- CDBD ，= BC ,连DE ，ADCA 解：如图，在的延长线上截取
AE
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圆与内
CBCA + 求证
:
BD ， DE ， 分 AD BC •/ CD 平
AD 证：如图，在 CA 的延长线上截取 AE = BC ,连 BD = ACB ，• = 又, DAE = AEDBC )( SAS
DAE DBC ，又 • CD = DE45ACD
2CD.
2CD.
BD AD = ACB ，二 CD
•平分 BC = DBC , 又 AEDAE = ) DBC ( SAS
:. △ DAE
=
••• CD = DE ，又 60ACD
CDE 是等边三角形 •••△ CA+CB1
CE = CA + BC ，即 =CD ••= _______________ CD 0(1,1)xy .的值 0BM3、如图，过 O 、，求的动
圆O OA 交+轴、轴于点 A 、B i
X y BM 轴，MFAM 、M 解：如图，过点作 ME 轴，连1 由M (, 1)知：四边形 OFME 是
正方形
MAE ，FM4OE
••= OF =，EM =，又二 MBFBF BFM
AEM □△( AAS )=，贝0 AE
8.
+ = + • OAOBAEOE =- OF + BF
11
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圆中的外角
问题往往与线段的差有关二
90 . ACBACQ ，ABC4、如图，O O ABC 的外接圆，弦 CP 平分△的外角
=
I ； I
PB P 2PC.求证：(1)— B = ; (2) AC
PAB PCQ 证：(1)如图，连接 AP ，则=
PCA PCQ = PABPCA
又，则=
PBPA
PB
PA =
( 2)连接 BP ,由(1)得，
PBC PADPD ,又=上截取 AD = BC ，连
在 AC PC
PADPBC ( SAS =，贝U PD ) •••△ 2PC. CD = AC — BC
又=PCD45 =，贝U
••• PCD 是等腰直角三角形，• 120. ACB ,、如图，O 50 ABC 的外接圆，弦 CP 平分△
ABC 的外角=ACQAC — BC.
的值求
________ PCDP 、BPBD 解：如图，在 BC 上截取=AC ，连 AP PBA •/= PCB = PCQ DBP
••• AP = BP ,又 CAP = DP SAS
:, △ CAP ◎△ DBP (),则=CP
ACB , :, PCD 又==12030
PA — PB.
的值 求 ___________ POAP 上截取 BC =解：如图，在BP 4)(4,0)(0,4 =，则OAA ,B = OB OBC = 又 OAP
SAS ) (：•△ OAP OBCPA — PBP C R ] 2 =，且=：•
OCOPCOP = AOB90，则=
= ____________ POPO 12
与切线
有关的角度计算圆的培优专题 7
切线与一个圆
45 20 80 120 13070； 2、6； 3、5； 4、1 答案：、
20.
35. APB
O 、经过A 、BO 三点，点
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AC — BCCD
3 =
这P 为、
CAD = AD 、如图，切O O 于A , BC 为直径，若 ACB = ，贝U 1 ------------------------ =,PB 过圆心，B 在O O 上，若 ABP = ，贝U P2、如图，AP 切O O 于 ---------------- =CO 的切线，为 上一点，若 BCA = ，贝U APB3、如图，PA 、PB 为O ____________
50ACB.第题
30 BDABC =交于的切线,
AC 的延长线与过点
1、如图，在O 0的内接△ ACB 中,
3// .
（C 1，B =） 0C ,贝U CD
点D ，若O 0的半径为3 --------------------- 75 BAC =的延长线交于
在O B 交于08、如图，O 和O OA 、两点，且点 00上，若2112
100BD = AB 夕卜切于09、如图，O 和O OD ，过点D ，若AOD 上任一点，C,为优弧212
50 140
则 DCB =
.答案D 、； 408、7：、9 （过点作两圆的切线） -------------- 13
与切线
有关的长度计算8圆的培优专题
AB C 为上一点，、PB 为O O 的切线，4、如图，PA 150.
APB 若=BCA =，则 ABC 的内切圆的的圆心，若 5、如图，点 O 是厶 80. BAC =，贝U BOC =
AB ，PD 平分6、如图，PA 切O O 于A ，若PA = 题第5
（设元，列方程） .APB 交AB 于D ，贝U ADP =
切线与两个圆二 AC AB 、7、如图，两同心圆的圆心为
0,大圆的弦110DE 的度数为E ，
小圆的， 分别切小圆于 D 、
110 C = D =，则
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6题
第BC .
则大圆的的度数为
2 45 )
第4题
第2题
第3题题
第1
DB 的延长线于 M ，交AB 于E ,过C 作O O 的切线交 AB4、如图，为O O 的直径，弦 DS
45 7532
=） ADC =
, . M =（ CD ，贝U CD = = 若 AB4 , -----------------------
O E ,O 交O OAD 于BD 于D , 5、如图，等边△ ABC 内接于O ADO , BD 切O O 于B ,
） AE
=1
.（
的半径为1,则AE =
90 的，若O OD 、E 、= F 与，BC = 5, O OABC6、如图，△ ABC 中，的三边相切于 C 30）=.
（C 的周长为
2 半径为，则△ ABC ------------------------ 90 D ，与BC 相切于16,点O 在 AB 上, O 7、如图，△ ABC 中，C = O12 , AC = , BC = X 10）=, BD =.（示：过 D 作 DEAB , 设CD = DE =连接
AD ，贝U BD
D,, 2、如图△ ABC 内接于O O , AB = BC ,过点 A 的切线与 OC 贝H AD =
__________
(ADCD == 3,
75
,,ACB 3、如图，O OBCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于 ACDCD
（=，贝9 的值为
=ABC _________ DBDB ____________
AE D.的中点，CDC 为于BEAB1、如图，为O O 的直径， 的位置关系，并说明理由；
(1)
判断DC 与O O
.的长3,0 O 的半径为5,求DE ( 2)若DC = 的切线，理由如下：(1) DC 是O O 解： 0CB
CBD = ABC = 如图，连接 OC , BC ，贝U
BE CD
II BD ，又 ••• OC 的半径 OC 为O O ••OCCD ， 又
的切线 DC 是O O
• EF 是矩形， 且BE =
(2)如图， 过O 作OF ,则四边形 BDOFDC
题第 题第
解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程
14
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圆的切
线与垂径定理9圆的培优专题
2245 31
EF =，二二EF = BFDE == DF —BC 的切线AC交AC的延长线于E，O是2、如图, AB为O O的直径，DO的中点，DEF.的延长线于点BF交AD
............................................ 最新资料推荐 .................................................. BDE.
DA 的直
径，AE 平分CD 于E , 03、如图，四边形 ABCD 内接于O, BD 是O O 的切线；是O O ( 1)
A
買
的长 2, DE = 1,求 CD = (2)若 AE OAD ADO ，则=ADE =( 1)证：如图，连接 OA CD
• OA II CD , 又 AE 的半径AE ，又OA 为O O
• OA • AE 是O O 的切线
OFEA 是矩形=2DF
(2)解：如图，过点 O 作OF ，且四边形 CD ，贝U CD2 = OF = AE • EF = OA = OD ,
x1x 设 DF ==，贝U OD = EF 2221)x 2 (x 1.5x ，二 3 2x = CD = 2CF • F. DF ，于 DEF 、如图，4AE 是O O 的直径，DF 切O O 于 B ,
AC
• OD II AE , 又
为O O 的切
线
• OD 半径 DE , 又 OD
• DE 为O O
5 == OG 二 = DE3 , DE = OD ( 2)解：如图，过点 O 作OGAC ,贝U OGDE 是矩形，即/
(1)求证：DE 为O O 的切线；
.DF 的长 0 的半径为 5,求 (2)若 DE = 3, O ODA == (1)证：显然，OADCAD DE , J~ 2222
10353 3 4 9
,•'•+ AE
• AG == 54 = 9，则
22
1010) 10 (3
10
I ：：丨卜 2222 x x1010)x (10) (x3
=DF 设
，贝0 BF == DF , •= ----- 3 15
求证：AE 连接 BD ，贝U AD , •= BDBD
AD 于 DF AE ; EF + AD =
(1)求证:
.4，求四边形 ADFE 的周长 (2)若EF = 1 , DF =是矩形，则四边形 CDFE (1)证：如图,
连接CE G , 连接0B 交CE 于点 的切线 T DF 是O O CE
OBDF ,
••• OB
OE AO =, OG II AC ，又= • BG =
CDEF2OG =•- AC
AE. 2OB = + • EF + AD = AC + CDEF = 2OG + 2BG =
1
=(2)解：显然 CE = DF4 , CD = EF = x1 x2 X ,
设 AC =，贝U AD = AE =
222
2)( x X 43 X 5 =
•,=,，则=，贝U AC3AD4AE14.
CDFE •••四边形的周长为 16
圆的切
线与勾股定理圆的培优专题 10
=BC , OC 的延长线与过点 A 的直线交于点 B , OCA1、如图，已知点是O O 上一点，半径1OB. AC =
- 2 45 . CD 的长，0C = O (1)求证：AB 是O 的切线；(2)若2ACD =，求弦
OB , (1)证：T OC = 1OB OB 为OAB 的边上的中线，又 AC =
OA 为O O •••△ OAB 是直角三角形，且的半径
OAB = 90
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••• AC_ 2
, 又
的切线AB是O O •••占
，即△ OAC 是等边三角形(2)解：显然，OA = OC = AC，二30D •= AOC = 60
E 如图，过点A作AE , CD于点
ACD = 45 •••是等腰直角三角形，，二△ AEC
22 - 236 AE .•.= CE = AE = AC = OC = =，DE ----------------- ---- 22 / 2 6 CD
〃N. AP 于APM 在PB 上，且OM ， MN，点、2、如图，PAPB 切O O 于A、B3 r.，求OM 的
长，PA= 9( (1)求证：OM = AN ;2)若O O的半径
O的切线，)证：如图，连接OA，: PA 为O( 1 AP APOA，又MN•- // ,，又• OA II MNOMAPAN = •••四边形OANM 是矩形，即OM )解：如图，连接( 2OB ,
•/ PB、PA为O O的切线9
90 =，PB= PA• OBM =
MNP =// = OMBOBP，又=OA = AASMNP幻△()MN ,
• △ OBM •/OMAP，• 2225
OM )—9OM +,贝U PM = 3=( OM =，• OM 17
............................................ 最新资料推荐 .................................... 的切线，为AB 延长线上一点，过D作O、如图，3AB为O O的直径，半径OCOAB，DF.
于E为切点，连接CE交AB
.的长BF = 3,求DEDF ; ( 2)连接AE，若OF = 1,)求证： (IDE = OE )证：如图，连接
的切线，PE为O O•/ AB
DE , 又•••OEOC
CFO —+ OEF + 90 • DEFC DFE C = OCF 又，=CFO
DF DEF == DFE , • DE •
4
=OE = OBOF + BF =( 2)解：显然，x4x 3x 设，贝0 DE = DF = BD =, OD = ) (x 3)4 (x X4.5 ，•.
2224
7.5
• DE =
xxy，轴相切于AB为弦的O M与4、如图，正方形ABCO的顶点分别在F轴、轴上，以(0,8) fr —
.的坐标已知A，求圆心M
E于点解：如图，连接FM交延长交AB x的切线是O与VQ MM轴相切，即OC OC • EF，ABCO是正方形又四边形• EF，AB
8 = OA = = 0，8)即卩ABEM 又A ( 4
= •- AE
xx 8MF 设=AM =，贝U EM =—222x 4 (8x )5x 5，••MF，即=4M •••点的坐
标为(一5，18
............................................ 最新资料推荐.................. ................. ――圆的切
线与全等三角形11圆的培优专题
BC BC的切线，交作O OAD交BC于E，过1、如图，BD为O O的直径，A为D的中点，.DB 的长=2，DE = 4,求( 的延长线于F. 1)求证：DF = EF ; (2)若AE
AB
1)证：如图，连接( 的切线为O O 的直径，DF 为O O
BDF = BAD = 二
•/ BD 90
•••+ ABC + 90AEB = FDEADB
34 = 4 , BF = 8,贝U BD •
DF = EF = DE = F. DB 的一点，OCAD , CF 于 2、如图，
AB 为O O 的直径，C 、D 为O 0.0的半径，DB = 3,求0( 1)求证：CF 为O O 的切线；2)若
BF = 1
(的直径)证：T( 1AB 为O 0
AD 0CADDF
•,又
DB , 又 CF • 0C II DF
0.・.0C 的半径CF ，又0C 为O 的切线 • CF 为O 0
CEBD 于点E , (2)解：如图，过点 C 作 =2.5BE 则=DE = 1.5, EF EF CFCF , 0C 又 是矩形•四边形 0CFE 0C0
「.O 有半径=
2.5EF = 19
最新资料推荐 0C = 0D ； 0 的 弦AB 为边向圆外作正方形 ABCD. ( 1)求证：3、如图，以
O 一 22. = 2, DM 的半径
=,
求O 0AB (2)过D 作DM 切O 0于M ，若0B =，贝U 0A (1)证：如图，连接 0A 、0B
DEF , 又=ABC = =AEBADB
EF
DEF , • DE ••= DFE = =
=AE 作 FG , ED ，贝U EG =
=GD = 2 ( 2)解：如图，过点 F AEBBAE == FGE = 90,,
GEF 又 ,GFE (ASA ) •••△ ABE
R △ BDF 的斜边上中线 • BE = EF ,即卩DE 为
€
OBA .•.= OAB
ABCD 是正方形
•••四边形
CBA = DAB = 90,
二 AD = BC OBC OAD =
)•••△ OAD OBC ( SAS OD
在厶 ABC 中，AC = BC ，BD S 3S ，若，求交 BD 于.M )求证： (1AD = BD ; (2)弦 CE —
CE BCMABC
AB
1 ()略证：连接 CD ，贝U CD 90BD ，•= AD =又 AC = BC ，ACB
• OC =
222 DM OM 、BD ，贝U OMDM ，且 BD = = = AB (2)解：如图，连接
)ODB (SSS ^A 又
OM = OB ，OD = OD ，△ ODM
ABD • OB = BD ，又 45
• OABOAB = 45是等腰直角三角形
• OA
2 90 D.于ACB =交AB ，以BC 为直径的O O4、如图
,
，CE 于)解：如图，连接 BE ，过A 作ANN ( 2S2S S S3， n
D
•/ BCMACMBCMABC
，即△
线与等腰三角形12圆的培优专题
，交于E 为直径的O O 与边BC 交于D ，与边 AC1、如图，在△ ABC 中，AB = AC ，以AB F.
，(1 )证：如图，连接
AD , OD 的直径， •/ AB 为O O OB = 又 AB = AC ,
• ADOABC
ADO DAB = EAD =
• AC ，又 DFOD
II AC
• DF , 又OD 为O O
• OD 的直径
的切线 DF 为O O
厂f
『22 525 (5) 5 EAD =
=ADDAB , • BD
=DE = (2 )解：•=，又 AB =5,J/
•
25
12 (5) 3 x CD ,••• DF = 2 , CF = EF2
==AE
=5 — ,.•. AC
•/ DF x= AD
AE.，过D 作DE 中，2、如图，
在厶ABCAB =
2BE
••• AN
CEB BCE , AC = BCANC ,
CAN == ANC CEB (AAS )
AN
CE = = CN ,
BE X X2 ,贝U, BE = CE = AN = BE
CN = = _____ 10
X102X5X BDAB ,••• = ,即 BC = BC
——CE -------- 4 20
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• = = 2 -
10BD .
........ ――圆的切
AB = 5
(1)求证：DF 为O O 的切线；(2)若DE
5. AE ，求=的长,
于AC
过D 作DF
AC ,以边AB为直径作O O,交BC 于DDE120. DE是O O的切线；(2)连接OC，若CAB =
BC AD1 ()证：如图，连接 AD , OD ，贝U OB =,二 CDBD ，又 AO = 又 AB = AC AE
AC ，又 DEOD
•••II 0二
OD 的切线；DF ，二 DE 是O 2BF =，贝U BD 作
OFBD 于 F ( 2)解：如图，过点 O 120 CAB =，•, 30= BAC •/ AB =、
x3x x2
__ OC 14 21
............................................ 最新资料推荐 .................................... AC. DF 于
E ，O 过点B ，分
别交 BC 于D 、AB = 3、如图，ABAC ，点O 在AB 上, O AC. CF = 1,求切O O 于G ， O O 的半径为 3，2 .........................................................(1)证：DF 为O O 的切线；()若 ACOD AC ，OB =( 1 )证：如图，连
接 OD ，丁 AB =
ODB •- CB == AC ，又 DF • OD // AC O • OD 的半径DF ，又OD 为O O 的切线
• DF 为O
O 的切线(2)解：如图，连接 OG ,T AC 为O OD DF ，DFAC ， • OGOGAC ，
又OD =
3 是正方形，即 OB = OG = GF = •四边形 ODFG X1X 4X ，则 AB = AC =设 AG =,
贝 U AO =
如图，连接 OG , OA 交CD 于点
OF
设=BF , 0 = =，
x33x23x4 CF ,贝U CD = BD == ABAC
J
~ 21DE 广『x27x3. DEOC
由勾股定理，得
=，由面积法，得=
232
1)x x3 (4x 8
AC = ,•,贝 0
• CD G . O 的弦，A 为于的中点,
E 为CD 延长线上一点,
EG 切O 、
如图, 4CD 102//.
，求O= O , 2 (1)求证：KG = GE ;()
若 ACAK 的半径 EG ,
= ---------- 5CKF (1)证:
是O O3DK
CD O的切线A为是O的中点，EG
GE
••• OAOGCD ,
EGK OGA = • OAG ++ AKF EKG 又= OAG = AKFOGA , EKG EGK ••=
GE
= • KG CKA == CAK = EKGEGK，又EG (2)解：T AC //,• EGK CK
CACKA CAK ==
XX3X8X45X , • CD = = , ,= CK = CACFDK，则==EG 设
22X(5X)3(4X)=• AF
)X)X (2(32 X Rt 在厶AFK 中，，•
22210
,=,AE6 = • CE825222
设O的半径为，则=8 +(—) ,• = R—
6RRRO
3
最新资料推荐圆与三角形的内心圆的培优专题13
CEAC AC.
BCO的直径，上一点，且= CM ,点M为1、如图，AB是O .的面积，求△ BEM )若0 O的半
径为5, AE = 8 (1)求证：M ABE的内心；(
CM CE = (1)证：如图，连接CE，贝U AC = CBE CEM , CME ==• CEA AEM CEA + + BEM •= CBE CBE ABC == BEM •,又AEM.
的内心•••点M ABE
.N，则MN ABE( 2)解：如图，过点M作MN的内切圆的半径226 810
BE于点
BE = AE = 10 ,= 8,则••• AB aba b c6 8 102 = MN •= 2 ★★MN == ------------- c 22a b16.
BME的面积为x 6X 2 = _ 2 .的内心是△的外接圆, BC为直径，AD平分ABCBAC 点M2、如图，O O ABC 252. =OM的长, AB =(1)求证：BC = 8DM ; (2)
BC =
BCD
连接 CM ，贝U DACACM = BCM ,=
22
5 21.
OM • = 23
BC ABD E 是厶
D 是，的中点， DEIAB 于3、如图，AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点，N. AB • OD II A
E , 又 DE
OD 的半径DE ，又OD 为O O 的切线 • DE 是O O
CF 作OF = AC ,贝U AF (2)解：如图，过点 O DE
90, BDC = BD = CD ,
I I 2CD
BCDDCM = BCM
.•+ DMC =, CD ，即 BC == ===DM10 , AB = 8,贝U AC6，且 45 (2)解：显
然，BC = MAE 2 AF = ME = MF =，则作 如图，过 MME 于点BCN ，作MFAC 于点
F1 OECE •••
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于的延长线交O O 的内心，DI.的长的半径和 IN = 4, CE = 2,求O O
(1)求证：DE 是O
O 的切线；(2) 若
DE
BC OD OA (1)证：T D 是=的中点,
ADO CAD = •= DAO
若DM ，求
,(1 )证：如图，连接 BD , CD BAC AD 平分•/ BC 为直径, ACM + DAC
2DM
CF == 4,则=
ODAB , =DE 是矩形，则 OF =
•••四边形 ODEF2 — CF = ROA = OD = EF = R , AF =，贝U
设O O 的半径为 R 222 )=+ 45 = R,, • R
•••( R — 2厂 25 = ★ BN = AN =
• AB = 10,如图，连接 BI , AN , BN ，贝U IN
.的直径交 AB 于E , BE 为O OAB4、如图，在△ ABC 中，二AC , I 是厶ABC 的内心，O O., AB = 5,求
O O 的半径= (1)求证：AI 与O O 相切；(2)若BC6
BC ,则AD ，于点(1)证：如图，延长 AI 交BCD OBD OBI 连接OI ，则=OIB =
BC , 又 AD • OI II BC
O • AD 的半径OI ，又OI 为O
相切 • AI 与O O
4
3, AB = 5,贝U AD = 2 ()显然 BD =
=ID ,,于点 ABF ，贝U BF = BD = 3AF = 2,作 如图，过点 IIFIF 3222 x)x(4x 2 XX 4 , 则 IFIDIF 设==，贝0 AI = = ,•._ 215322 2 R R3R3OFRO 设的半径为，则= — ,•
( — ) + () =,•
R =
■ 82 24
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圆的培优专题14 ――圆中动态问题
BC 上的一个动点，求证
PA = PB +外接圆1、如图，点 P 是等边△ ABCPC.
证：如图，在 AP 上截取 PD = PC ,连接 CD
ACACD == BCP •••,又 SAS )•△ ACD BCP (
•/
DE4
ACBABC 是等边三角形，=ABC = 60 ABC ••= DPC = 60 PC = PCD 是等边三角形，即 CD •••△
=BCP + 60
•/ BCDACD + BCD = BC
PC.
••• PA = E.交于点，直线AD 、BC = 2，点C 在圆上，CD = 12、已知弦ADBD ,
且AB O 夕卜，求的度数；AEB （1）如图1，若点E 在O
上运动，CD 的2，若C 、D 两点在O O （ 2）如图.AEB 的度数 长度不变，点 E 在O O 内, 求 OD OC ，解：（1）如图一1,连接BD AD
是等边三角形 1,即厶OCDOC COD = 60 •- 1
= COD=30
•- CBD 一 2 •- 60AEB =
OD
）如图一22,连接OC , （
2 图一
1
COD=30 =• CBD = 同理可得： ACD60 , - 2 = ADB
又 90 = AED , • 120 25
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30l = O 在O
上，且，点 3、已知直线 AOC 经过O O 的圆心 O ,且交O O 于A 、B ，点C I QO. = CP 与O O 交 于Q ,且 P 是直线QP 上一个动点（与 0不重合），直线 OCP 的度数；P 在线段AO 上时， 求）如图 （11 ,当点 OCP 的度数；P 在线段0A 的延长线上时，求 （2）如图2,当点.OCP 的度数在线段 0B 的延长上时，求，当点
（3）如图3P X 0CP1，设=解：（1）如图一
BP
AD
2
OAB 为O 的直径，且 AB =
图一
1
PB + AD + DP =
x OQP =，贝U x 30 = = .•. 1802(x 30 ) x 图一
•/ OC = OQ 30 QO =
QPOQOP
1
又, AOC = QP
40x OCP x 2)如图一2,设COQ
=
30 QO 又=AOCQP =,
30x QOP== QPO
OC = 又2
图一
OQ
x60 OQP= OCQ
x 20 COQ •••
••亠)180x (x 60) 2( 30 100 OCP =
x QPO =)如图一OC •=
x2 OQC •图一(33,设x =，贝0 QOP = QPOQP
OCQ = = 3
30 2x x • x QPO
• = POOQ
• 10 = = OCP •20 =
26
15——聚
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焦圆中无图多解题圆的培优专题圆是中考数学考查的一个热点，题型较
全，选择、填空、作图、计算与证明
经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

由于圆是
一个特殊对称图形，而同学们往往考虑不周，丢掉另一种情况，造成失分较多,
现将圆中无图两解或多解试题列举如下，供同学们参考：3. 6cm的半径是，O O的弦AB = 6 ,则弦AB所对的圆周角是1、已知O O __________________ 120° 答案：60 °
或2. AD = 1,则/、AD 是弦，AB = 2 , ACCAD = = , 2、若AB 是O O 的直径，AC ° 或105° 答案：15 与CD 之B// CD，贝U ABO 中，弦AB = 40cm，弦CD = 48cm，且A3、在直径为50cm 的O . 间的距离是
8cm 答案：22cm或
. ，则O O的半径为的最短距离为4、已知P点到O O2cm，最长距离为6cm
----------------------- 2cm 答案：4cm或
2 . ，56cm5、相交两圆的公共弦长为，两圆的半径分别为，则这两圆的圆心距等于
3 -------- 1 cm 答案：7cm或
P的所有弦中长度为整数的弦一OP = 3cm，在过点、点P是半径为5的O O内的一点，且6.条
共有
4条答案：
P长为整数，满足条件的AB上一动点，且OPAB = 8，P为5cm7、已知O O的半径为，弦.个点有
个答案：5
的度数AOBB = 90 °那么/ O交于A、B两点，且O经过点O,若/ AO和O 8、O OO211122.
是
45
135 °或答案：
，则=10OA AC = 64, AO上的一点A，作O的割线交O O于B、C,且B 09、从不在O . O O的半径等于
41或6答案：2
10、已知O O的半径为5cm , AB是弦，P是直线AB上的一点，PA = 3cm, AB = 8cm ,
则tan/ OPB的值为--------------
27 ........................................... 最新资料推荐..................................... 3答案：3 或—
7、C点切线交PA是O O上异于A、B的一点，过11、已知PA、PB是O O的两条切线，点C。

. 两点，若/ D、EAPB = 40，则/ DOE = PB 于---------------- ° 70° 或110 答
案：的距离等于3cm，则腰长=8cm，圆心O到BC12、已知等腰△ ABC内接于O O,底边BC.
AB = ------------------ 55cm
cm答案：或24
o, AC = 3, BC = 4,若以C、在△ ABC中，/ C= 90为圆心，R为半径所作的圆与斜边只13 有
一个公共点，贝U R的取值范围.-
答案：R= 2.4或3<R三4
14、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是
.
答案：外离或内含
15、在Rt△ ABC中，AB = 6 , BC = 8，则这个三角形的外接圆的直径是
答案：10或8
16、已知O O和O O仅有一条公切线，O O半径为3cm，且OO = 5cm,则O O的半径等221121
答案：2cm或8cm
17、已知O O上有A、B、C三点，若弦AC的长恰好等于O O的半径，则/ ABC = _________________
150或答案：30
II与O O的位置关，那么直线上的一点，且0P = 18、已知O O的半径是5cm, P是直线5cm系
是
答案：相交或相切
2,则厶ABC12cm 外接圆的半径AC == 5cm，且△ ABC的面积为19、在△ ABC中，AB 为
2525cm或cm 答案：_______ 6820、AB、AC是O O的两条切线，A、B为切点，/ A
=50 °，点P是圆上异于A、B的一动点，则/ BPC = ________________________________ 答案：65°或115 °。