数理方程及特殊函数习题课
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
数理方程与特殊函数(杨春)27PPT课件
及其性质。
强调了数理方程和特殊函数在数学建模和科学计算中 的重要性，并提供了相关练习题以帮助学生巩固所学
知识。
介绍了数理方程的基本概念、分类和求解方法 ，包括一阶、二阶常微分方程、偏微分方程等 。
通过实例演示了如何运用数理方程和特殊函数解 决实际问题，包括近似解法和数值解法等。
特殊函数的应用场景
06 数理方程与特殊函数的结 合应用
数理方程与特殊函数的关系
数理方程是描述数学模型中数量关系的一类方程，而特殊函数则是满足某 些特定条件的函数。
数理方程与特殊函数在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、 经济学等。
特殊函数在数理方程中常常作为解或解的组成部分出现，因此理解数理方 程与特殊函数的关系对于解决实际问题至关重要。
数理方程与特殊函数的基本概念、性质、方法和应用。
主题目的
通过学习本课程，使学生掌握数理方程与特殊函数的 基本理论和方法，培养其解决实际问题的能力。
课程目标和意义
课程目标
通过本课程的学习，学生应掌握数理方程与特殊函数的基本理论和方法，能够解 决一些实际问题，提高数学素养和思维能力。
课程意义
数理方程与特殊函数是数学中的重要分支，对于培养学生的数学思维、分析问题 和解决问题的能力具有重要意义。同时，本课程的学习也有助于学生更好地理解 其他数学分支和应用学科，为其未来的学习和工作打下坚实的基础。
04
随着数学教育的普及和深入，数理方程与特殊函数将成为更多学生了 解和掌握的数学工具，为他们的学术和职业发展提供有力支持。
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感谢您的观看
结合应用实例分析
数学物理方法课件：特殊函数
c2k 1
(2k 1)!
c1
(4.26)
至此，我们得l阶勒让德方程的级数解(通解)为
y(x)＝y0(x)＋y1(x)
(4.27)
22
其中，y0(x)只含有x的偶次幂，即
y0
(x)
c0 [1
k 1
(2k
2
l)(2k
4
l)...(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)...(l
2k
1)
x2k
(4.3)
在该圆内有唯一的一个解析的解w(z)满足初值条件
w(z0)＝C1
w'(z0)＝C2
(4.4)
7
其中，C1和C2是任意给定的复常数，并且解w(z)在该圆 内是单值解析的。
注意：
(1)因为解w(z)在|z－z0|<R是解析的，故w(z)可用(z－z0)的 幂级数表示，这就是幂级数解法的基础。即这个解析解可表
，可得确定收敛域为(－∞，＋∞)。
a k k2
17
例4.2 求l阶勒让德方程
(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.17)
在x0＝0点邻域内的级数解。
解：方程可标准化为
y
1
2
x x
2
y
l(l 1) 1 x2
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(4.18)
2x
其系数 p(x) 1 x2 即x0＝0是方程的常点。
]
(4.28)
y1(x)只含有x的奇次幂，即
y1 ( x)
c1[ x
k 1
(2k
1
l)(2k
3
l)...(1 l)(l (2k 1)!
数理方程第二版 课后习题答案
第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数理方程与特殊函数杨春24
k
m
Jk (x)Jm ( y)zkm
k m
J
k
(
x)
J
nk
(
y)
z
n
n k
所以得到：
J n ( x y) J k ( x)J nk ( y)
k
24
第25页/共29页
2、整数阶Bessel函数的积分表达式
罗朗展式的系数公式为：
x ( 1 )
Jn
(x)
1
2 i
e2
(一)、贝塞尔方程的引入
例1、 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度， 且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律
定解问题为：
u
t
a2
2u x2
2u y 2
,
x2 y2 R2
u t0 x, y
u x2 y2 R2 0
采用分离变量法求解
1
第2页/共29页
x
例2、求如下贝塞尔方程通解
x2
d2y dx2
x
dy dx
(x2
1)y 4
0
解：这是1/2阶贝塞尔方程
J 1 (x)
2
2 sin x
x
J1 (x) 2
2 cos x
x
y C1
2
x
sin
x
C2
2 cos x
x
16
第17页/共29页
整数阶贝塞尔函数
性质：对于n 阶整数阶贝塞尔函数有：
证明：
Jn (x) (1)n Jn (x)
y AJ n ( x) BYn ( x)
20
第21页/共29页
(三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式
数理方程习题讲议
a 2 n 2 2 l2
t
n cos x l
数学物理方程与特殊函数
习题
2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 a 2 n 2 2 t x t n 2 l u ( 0 , t ) u ( l , t ) u C0 Cn e cos x 0 , 0 , t 0 l n 1 x x 0 xl u ( x,0) x, 1 l l n C x d x 0 0 u ( x,0) x C C cos x
a2 于 是: c
令:
u j r 2 u a 2 t x c
2 2
Байду номын сангаас
数学物理方程与特殊函数
习题
习题2:长为 l 的均质杆,两端受压从而长度缩为 l (l 2 ) 放手后,杆自由振动,试写出该问题的定解问题。
解:因为杆作纵向自由振动,即无外力的作用,其泛 定方程为齐次波动方程。
数学物理方程与特殊函数
习题
习题3 设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。 2 2u 2 u , 0 x l, t 0 2 a 2 x t u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) 0, 0 xl t u( x, t ) X ( x)T (t ) h 2 x, XT a X T 0 xc c u ( x,0) X 1 T h c xl 2 l x , X a T l c X X 0 X (0) 0, X (l ) 0 2 T a T 0 X X 0, 0 x l u (0, t ) X (0)T (t ) 0 X (l ) 0 X (0) 0, u (l , t ) X (l )T (t ) 0
数理方程与特殊函数例题与习题1
(2n1)
Xn(x)Ancos2L x
cos((1+1/2) x)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
13/16
固有值问题IV
n
n2
L2
2
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
Xn(x)Anc
onsx
L
cos( x)
1
0.5
其中, f 和 g 是任意函数
1/16
例1.分离变量法求解 波动方程定解问题
解:利用公式
utt a2uxx,0 x,t 0
u x0 0,u x 0 ut0 sin(3x),ut t0 0
u (x ,t) [C nco as )n (D tnsia n)n s (]itn n )x (
u (x ,t) v W c2 o t ss3 ix n x 2
5/16
热传导方程
第一类边界
ut a2uxx (0 x , t 0)
u sinx2sin3x t0
u 0, u 0
x0
x
方程的Fourier解
u(x,t)
Be(na)2t n
利用初值条件
Cns
n1
n
in( L
x)0
7/16
na n
Cn
=
n1
0
LD nsin L(x)x(Lx)
na 2L
n
LD nL0x(Lx)sin Lxdx
L
n
LL
n
0x (L x )siL n x d nx 0(L 2 x )co L x s dx
数理方程课件3-3
第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；
P( x) p( x) x 1 Q( x) q( x) x2 2 x2 本例中，
所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数
Q0 2 , Q2 1, Qn 0 (n 0, 2) P0 1, Pn 0 (n 1)
ck
1 k (2 k )
ck 2
下面求用 c1 表示 c2k 1 的公式。重写系数关系式：
( k ) 2 2 ck ck 2 0
2 2 1 由 x 的系数，得： c1 ( 1) 0
x 次项开始，对应的系数为 c0 ，之前 （由于级数从
c2 k (1)k 1 22 k k !( 1)( 2)...( k ) c0
…
1 1 c2 k 4 c2 k 4 (2k 2)(2 2k 2) 2(k 1) 2( k 1)
1 2k (2 2k ) c2 k 2 1 c2 k 2 2k 2( k )
1
第一解对应判定方程的第一个根： 1 将其代入递推关系式： ck ( k )2 2 ck 2 得：
ck 1 k (2 k ) ck 2
1
可见，待定系数 c2k 将可以依次类推，用 c0 表示； c2k 1 可用 c1 表示。
ck
1 k (2 k )
数理方程课件33数理方程数理方程视频数理方程与特殊函数数理方程课后习题答案数理方程试卷北航数理方程数理方程常用公式数理方程pdf数理方程复习
§3-3 贝塞尔方程的级数解
用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的 级数解
数学物理方程与特殊函数 华中科技大学 数理方程复习
8
下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
u (0, t ) X (0)T (t ) 0 u (l , t ) X (l )T (t ) 0
1
X X 0, 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
0
X X 0, 0 x l X (l ) 0 X (0) 0, X 0 X ( x) Ax B AB0
X X 0
4
T a 2 T 0
X X 0 0 x l X (0) 0, X (l ) 0下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0, 0 X Ax B X B0 X 0 X A sin x B cos x 2 0 X 2 X 0 X (0) A 0 X (l ) B sin l 0 2 n n n 2 x n n , n 1,2,3, X n Bn cos n l l l T a 2T 0
数理方程特殊方程 复习课
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
X
n
(
x)
Bn
sin
n x
L
,
(n
1,
2,
)
X X 0
(2),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 ) (n 0,1, 2,3 )
n x
Xn (x) Bn cos L , (n 0,1, 2, )
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数 系展开后通过比较系数得出T n(t)的定解条件；
(5)、求出T n(t) 。
30
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法
采用未知函数代换法：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
a
1 1
所以
a11
a21
a12
a22
Q
a11
(整理)数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1向量函数1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2 .求证常向量的微商等于零向量。
证：设31,回为常向量，因为r(t4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0it —AtAt —At所以E33 .证明⑹ p 2(t)则此向量在该区间上是常向量 证：设［=«r)=)⑴ 返 ［回 回1为定义在区间口上的向量函数，因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅］,EH3和EH3在区间 口上可导。
所 以，।° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理，有证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,x(t) - X(t o ) 4- %)y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力式 t) = z(M)+ /(%)《一其中 51,囹，因介于口与口之间。
从而* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明=『口 +年一%)上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式，其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。
如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)曰!,则在区间口上处处有适三从而F = (，©) y'(%) ，(1)] = o]于是E3。
证毕5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1证：必要性：设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数，目为单位常向量，于是f"=。
⑴P 住"X" Q] 充分性：如果区三可，可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数，回为单位向量，因为F=p 岸前⑴+。
("'⑴]于是r x ? = O-*p(t)2(t) x [p'(t)?(t) + p(t)e (t) - O^*p 2(f)[e(t) x e (t) - 0 因为回，故国亘1,从而F⑷x.(t)=。
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
华中科技大学《数理方程与特殊函数》课程——第二章
{sin
nx
l
}n1
7
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
第一步：设所求的解为
(46) (47) (48)
u ( x, t )
n1
un
(t ) s in
Asint cosx
l
(0 x l, t 0),
ux (0,t) 0, ux (l,t) 0,
u(x,0) ut (x,0) 0.
其中 A, 均是常数。
解
将
u(x,
t)
n0
un
(t)
cos
nx l
,
代入原方程化简得
n0
u'
'
n
na l
2
u
n
cos
nx l
Asint
cos x l
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
6
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
西安理工大学研究生数理方程课件及复习题
A 0
，即一维热传导方程
为抛物型的，类似可得弦振动方程和二维Laplace方程分别 为双曲型和椭圆型的。
3.2、两个自变量的二阶微分方程的化简 下面我们通过自变量的变换，对方程在区域 内的某点 ( x0 , y0 ) 的近旁进行化简。
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
D( , ) x 假设上述变换是二次连续可微的，且 D ( x, y ) x
其中
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
x l
u x
0
x l
u x (l , t ) 0
(3) 弹性支承端：在 x l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的支承。
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (l , t ) 0
(2)自由端：x l 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u T x
0
第 章 典型方程和定解条件的推导
第一章 典型方程和 定解条件
[理学]高数2 上册 1-习题课_OK
![[理学]高数2 上册 1-习题课_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/b9e862004693daef5ff73d30.png)
1 o 1
x
习题课
9
(4) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
2）指数函数 y a x (a 0, a 1)
3）对数函数 y loga x (a 0,a 1) 4）三角函数 y sin x; y cos x;
y tan x; y cot x;
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
y arctan x; y arccotx
第
y
y
一
可去型
跳跃型
类
间
断
点
0 x0
x
0
x0
x
习题课
34
第二类间断点 如果f ( x)在点x0处的左, 右极限
至少
有
一个
不存
在,
则
称
点x
为
0
函数f
(
x
)的
第二
类间断点.
y
y
第
二
类
间
断
0
x0
x
0
点
无穷型
习题课
x 振荡型
35
6、闭区间的连续性
如果函数在开区间(a, b)内连续,并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续,则称 函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续.
习题课
14
9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案
29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。
数理方程课后习题(带答案)
第2章习题选讲
nn2
n2,n1,2,3,
l
n
Xn
Bn
sin l
x
Ta2T0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
A nB nea2n l2 22tsinn l xC nea2n l2 22tsinn l x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
a2n22
t
u un Cne l2
0 x l,t 0
t 0 0 x l
对于（II）用分离变量法可得
W
Ce
na22l22
n
n1
t
sinn l
x
代入初始条件可得
T
Cn
n1
sin
n
l
x
由此可得
C n2 l 0 lTsinn lxd xn 2 T[1 ( 1 )n]
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
对于（I）可用固有函数法
令Ae-x
v(x,t)
vea2nl222t n
n1
sinnx
l
其 中 v n2 l 0 l[g (x) w (x)]sinn lxd x
原 问 题 得 解 为 u ( x ,t) v ( x ,t) w ( x )
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第12题： 求下列定解问题：
u(x20u2,y)y2u2u(l10,,y)0,
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
精选高中数学第2章函数2.5函数与方程习题课苏教版必修1
函数与方程习题课课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为________． ①f (0)>0，f (2)<0； ②f (0)·f (2)<0；③在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0.2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是________．3．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．4．方程2x－x －2＝0在实数范围内的解的个数是________．5．函数y ＝(12)x与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1)6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有________个．一、填空题1．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，每一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．2．函数f (x )＝x 5－x －1的一个零点所在的区间可能是________．(填你认为正确的一个区间即可)3．函数f (x )＝1－x21＋x的零点是________．4．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是______________．5．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，并且α，β(α<β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________．6．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值________．(填“大于0”，“小于0”，“等于0”或“无法判断”)7．已知偶函数y ＝f (x )有四个零点，则方程f (x )＝0的所有实数根之和为________．8．若关于x 的二次方程x 2－2x ＋p ＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围为________． 二、解答题10．若函数f 32f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260 f (1.437 5)≈0.162 f (1.406 25)≈－0.054求方程x 3＋x 211．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，(1)有两个负根；(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；(3)有两个实根，且都比1大．能力提升12．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．习题课双基演练 1．0解析 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)<0，故①、②、③都是错误的． 2．1或2解析 当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点个数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点． 3．(log 32,1)解析 f (x )＝log 3(1＋2x)－a 在(1,2)上是减函数，由题设有f (1)>0，f (2)<0，解得a ∈(log 32,1)． 4．2解析 作出函数y ＝2x及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根． 5．1.9解析 令f (x )＝(12)x －lg x ，则f (1)＝12>0，f (3)＝18－lg 3<0，∴f (x )＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9. 6．2解析 设f (x )＝4x 2－6x －1，由f (－1)>0，f (2)>0，且f (0)<0，知方程4x 2－6x －1＝0在(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解． 作业设计1．(0,0.5)，f (0.25)解析 ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0， 故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f (0＋0.52)＝f (0.25)．2．[1,2](答案不唯一)解析 因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0， 所以存在一个零点x ∈[1,2]． 3．1解析 由f (x )＝0，即1－x21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1.4．1解析 二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为y ＝f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )<0，由图象知f (m ＋1)>0，∴f (m )·f (m ＋1)<0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点． 5．a <α<β<b解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β<b .6．无法判断解析 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故填“无法判断”． 7．0解析 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0. 8．(－1,0)解析 设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0， 且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1<p <0. 9．a <0解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符题意；当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)． 当a ≠0时，由Δ＝4－4a >0，得a <1，又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点，f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a，当－1a>0，即a <0时，方程f (x )＝0有一正根(结合f (x )的图象)；当－1a<0，即a >0时，由f (x )的图象知f (x )＝0有两负根， 不符题意．故a <0.10．解 ∵f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根为1.4. 11．解 (1)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为x 1，x 2，则有两个负根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－m ＋，x 1＋x 2＝－2<0，x 1x 2＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧，结合函数的图象，有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－m ＋，－b2a ＝－1<0，f ＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.(2)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则令y 1＝x 1－2>0，y 2＝x 2－2<0，问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0，即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y 1y 2＝m ＋9<0，解得m <－9. 方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f (2)＝m ＋9<0，解得m <－9. (3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－m ＋，x 1－1＋x 2－1>0，x 1－x 2－(方程思想)，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－m ＋，－b2a ＝－1>1，f ＝m ＋4>0(函数思想)，因为两方程组无解，故解集为空集．12．解 (1)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x ≥4，－x 2＋4x ， x <4.图象如图所示．(2)当x ∈[1,5]时，f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0，故f (x )min ＝0； 又f (2)＝4，f (5)＝5，故f (x )max ＝5. (3)由图象可知，当0<a <4时， 方程f (x )＝a 有三个解．13．解 ①当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意．②当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧f f f，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0a －2＋1<04a －4＋1>0，解得34<a <1.③当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34<a <1.。
数理方程习题综合
例 1.1.1 设 v=v( 线 x,y), 二阶性偏微分方程 v xy =xy的通解。
解原方程可以写成e／ ex （ ev ／ ey ） =xy两边对 x 积分，得v y =￠（y） +1/2 x2Y,其中￠（y）是任意一阶可微函数。
进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v（ x,y ）=∫ v y dy+f （ x） =∫￠（y） dy+f （ x） +1/4 x2y222=f （ x） +g（ y）+1/4 x y其中 f （ x） ,g （ y）是任意两个二阶可微函数。
例 1.1.2即 u( ξ ,η ) = F( ξ ) + G( η ),其中 F(ξ ),G( η )是任意两个可微函数。
例 1.2.1 设有一根长为 L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。
试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为 x 轴，弦的长度为 L ，两端固定在 O,L 两点。
用 u(x,t) 表示弦上横坐标为x 点在时刻 t 的位移。
由于弦做微小横振动，故u x≈0.因此α≈0， cos α≈1,sin α≈tan α=u x≈0,其中α表示在 x 处切线方向同x 轴的夹角。
下面用微元法建立 u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧MM ' ,考虑作用在这段弧上的力。
作用在这段弧上的力有张力和外力。
可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置 x 和时间 t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段MM ' 的弧长x x1 u x2 dx ≈x。
sx这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。
于是由Hooke 定律，张力 T 与时间 t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x )cosα’-T(x)cosα=0.由于 co's α’ ≈1， cos α≈1,所以 T(X+ x)=T(x), 故张力 T 与 x 无关。
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温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求 杆上温度满足的方程
x x+dx
x
解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元[x,x+dx]
在dt时间里，微元段获得的热量为：
k ux (x dx,t)S ux (x,t)Sdt
4
1
0.5 n 0
0.5
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(5),
( 2 )
0
()
n n2
(n 0,1, 2,3 )
n () An cos n Bn sin n,(n 0,1, 2, )
26
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
求解步骤：
27
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题
LtW LxW 0, (t 0, x1 x x2 )
1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 ) (n 0,1, 2,3 )
n x
Xn (x) Bn cos L , (n 0,1, 2, )
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(3),
X
(0)
0,
X
(L)
0
(n 1)2 2
问题：最基本分离变量对定解问题的要求？ 2、常涉及的几种固有值问题
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
X
n
(
x)
Bn
sin
n x
L
,
(n
1,
2,
)
X X 0
(2),
X
(0)
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 0
1(x, y) 2 (x, y)i c
1( x, y) 2 (x, y)
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、 0
(x, y) c
0.6 0.4 x 0.2
例6 求如下定解问题
u2txu20a32,
2u x2 u x
L
sin 6
2
l
x cos
2
l
x, (0
x l,t
0)
u
t0
3(1
x ), u l t
t0
sin 4
l
x
解：令 u(x, t) V (x, t) W (x)
0.6 0.4 x 0.2
例1 求方程 utt a 2uxx 0 的通解
解：此方程是双曲型的第二标准形，但我们要求 解它可将其化成第一标准形的形式，所以先得由 特征方程求特征函数：
dx 2
a2
0
dt
dx a dt
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
u x0
sin2 (xu) x2u ]
lim
u
u
又当x不等于0时有：
0 sin2 (xu) 1
x2u x2u
lim sin2 (xu) 0
u x2u
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
sin2 (xu) 0, x 0
lim
x0
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、固有函数值方法(一般分离变量求解)
定解问题一般形式：
LtW LxW f (x,t), (t 0, x1 x x2)
a1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 a2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
(2)
W (0, x) (x),Wt (0, x) (x)
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3).化简、整理算式。
如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界；
(2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 一根半径为r,密度为ρ，比热为c，热传导系数
写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边 界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件。
建立偏微分方程的主要方法是微元法
(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);
(2).进行微元分析；
分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定 律用算式表达这种作用。
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
(5)、求出T n(t) 。
29
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
4、齐次化原理求解
齐次化原理1
如果 W (M ,t; )
满足方程： 2
t 2
t
L, (M
0,
t
t
R3
,t )
f , M
那么非齐次柯西问题
2u
t
2
u t0
Lu 0, u
n
2 L2
(n 0,1, 2, 3 )
n 1
Xn (x) Bn sin
2 x,(n 1, 2,
L
)
(4),
X X
X 0
(0) 0, X (L)
0
(n 1)2 2
n
2 L2
(n 0,1, 2, 3 )
n 1
Xn (x) Bn cos
2 x, (n 0,1, 2,
L
)
所以，方程为：
k
c
uxx
ut
2k1
cr
(u
u1)
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、方程的化简
1、写出特征方程：a11
dy dx
2
2a12
dy dx
a22
0
2、计算 a122 a11a22
3、作变换
(1)、 0
1(x, y) 2 (x, y)
S
r
( 1 )dS
4 r
1
所以：
1
4 r
(M
M0)
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(四)、分离变量方法
1、最基本的分离变量法求定解的步骤 (1)、分离变量
(2)、求解固有值问题
(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解
(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出
Q1 cSdxutdt Q2 k1(u u1)2 rdxdt
所以，微元段满足的方程为：
k ux (x dx,t)S ux (x,t)Sdt
cSdxutdt k1(u u1)2 rdxdt
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
(2)、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以 令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
32
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
1 0 0 1
b1 L c 0Leabharlann b2 L c 1,c f 0
可得 标准型： u u u 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(三)、δ函数
δ函数是指满足下面两个条件的函数
(1). ( x x0 ) 0, ,xxxx0 0
t
f t, M , (M
t0 0
R3,t
0)
的解为：