二次函数图像的图形变换

二次函数图象变换的评析练习

二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a 值。

1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a 值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

练习1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____

分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a 值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a 值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。

2、轴对称：此图形变换包括x 轴对称和关于y 轴对称两种方式。

二次函数图像关于x 轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y 轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a 值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

练习2.求抛物线y=x2-2x-3关于x 轴以及y 轴对称的抛物线的解析式。

分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a 值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x 轴对称，a 值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y 轴对称，a 值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。

3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a 值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。

练习3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________

分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a 值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180°后，a 值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。

二次函数图象的变换练习

1、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）

A. 右移两个单位，下移一个单位

B. 右移两个单位，上移一个单位

C. 左移两个单位，下移一个单位

D. 左移两个单位，上移一个单位

2、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤

是（ ）

A. 右移三个单位，下移四个单位

B. 右移三个单位，上移四个单位

C. 左移三个单位，下移四个单位

D. 左移四个单位，上移四个单位

3、二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）

A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.

B. 向右移动1个单位，向上移动3个

单位.

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.

4、将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）

A ． 1

B ．2

C ．3

D ．4

5、把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．

6、对于每个非零自然数n ，抛物线()()

221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）

A ． 20092008

B ．20082009

C ．20102009

D ．20092010

7、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为

A ．()213y x =---

B ．()213y x =-+-

C ．()213y x =--+

D ．()213y x =-++

8、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A ． ()2

21y x =+ B ．()2

21y x =- C ．221y x =+

D ．221y x =-

9、将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）

A. 232y x =-

B. 23y x =

C. 23(2)y x =+

D. 232y x =+

10、一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．

11、如图，ABCD 中，4AB =，

点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．

⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．