第4章杆件横截面上的正应力分析
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3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
200
170 85 30 85
E
d dx 1
12
E
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
E
y
z y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
WZ-----称为梁的抗弯截面模量。
重要数据
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
矩形截面简支梁承受均布荷载作用。已知： 矩形的宽度b=30mm，均布荷载集度 q=10kN/M；梁的长度l=450mm。 求：梁最大弯矩截面上1、2两点处得正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值
2m
3m
30
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。
i
170
30 170 85 30 200 185 139 (mm) 30 170 30 200
200 303 Iz 200 30 (170 15 139)2 12
N ∴σ = A
— 横截面上正应力计算公式
的符号规定与N一致。
拉应力为正号的正应力。 压应力为负号的正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
变截面直杆，ADE段为铜质，EBC段为钢制； 在A、B、C等4处承受轴向载荷。已知： ADEB段杆的横截面面积 A 10 10 mm , BC段杆 的横截面面积 A 510 mm ,Fp=60kN;各段杆的长 度如图所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
MC 10 103 3 y1 139 10 34.5Mpa 6 Iz 40.3 10
第4章
杆件横截面上的正应力分析
精品课件！
第4章
杆件横截面上的正应力分析
精品课件！
第4章
杆件横截面上的正应力分析
L max L max c 34.5MPa
C max C max B 69MPa
2 2 AB 2 2 BC
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.做轴力图
2.计算直杆横截面上绝对值最大 的正应力
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 2 － 3 图 (a) 所示构架的 BC 杆为直径
d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm2，
已知 P=2kN, 试求 AB 杆和 BC 杆横截面上的
C +
B
+
–
+
10kNm
–
第4章
杆件横截面上的正应力分析
C max C max B
MB 20 103 3 y1 139 10 69MPa 6 Iz 40.3 10
比较 L max B与 L max c
L max B
L max C
MB 20 103 3 y2 61 10 30.2MPa 6 Iz 40.3 10
第4章
杆件横截面上的正应力分析
二、纯弯曲时的正应力 梁弯曲变形的平面假设
第4章
杆件横截面上的正应力分析
梁弯曲变形的平面假设
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
变形
平面假定
应变分布
物理关系
应变公式
平面假定
应力分布
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
dx yd
dx d y y dx dx
第4章
杆件横截面上的正应力分析
§4-1 轴向拉（压）杆的正应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
第4章
杆件横截面上的正应力分析
考察杆件受力变形：
P
P
第4章
杆件横截面上的正应力分析
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA
B
+
10kNm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(3) 求最大拉应力与最大压应力 分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面） | L max || C max | B截面 | L max || C max | C截面 | C max B || C max c | 显然
20kNm
应力。
C 30 A B P
(a)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC n 30 - P = 0
最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。
中性轴为对称轴时， Lmax 与 Cmax 在同
一截面上，即在|M|max所在的面上。
中性轴为非对称轴时， Lmax 与 Cmax 可
能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max
所在的面上。
B P
x
(b)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
由(2)式可得
N BC
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2)计算各杆应力
σ BC
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
200
170 85 30 85
E
d dx 1
12
E
y
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纯弯曲时的正应力
z
y
第4章
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E
y
z y
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z
y
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WZ-----称为梁的抗弯截面模量。
重要数据
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第4章
杆件横截面上的正应力分析
矩形截面简支梁承受均布荷载作用。已知： 矩形的宽度b=30mm，均布荷载集度 q=10kN/M；梁的长度l=450mm。 求：梁最大弯矩截面上1、2两点处得正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值
2m
3m
30
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解：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。
i
170
30 170 85 30 200 185 139 (mm) 30 170 30 200
200 303 Iz 200 30 (170 15 139)2 12
N ∴σ = A
— 横截面上正应力计算公式
的符号规定与N一致。
拉应力为正号的正应力。 压应力为负号的正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
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杆件横截面上的正应力分析
变截面直杆，ADE段为铜质，EBC段为钢制； 在A、B、C等4处承受轴向载荷。已知： ADEB段杆的横截面面积 A 10 10 mm , BC段杆 的横截面面积 A 510 mm ,Fp=60kN;各段杆的长 度如图所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
MC 10 103 3 y1 139 10 34.5Mpa 6 Iz 40.3 10
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杆件横截面上的正应力分析
L max L max c 34.5MPa
C max C max B 69MPa
2 2 AB 2 2 BC
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杆件横截面上的正应力分析
解：1.做轴力图
2.计算直杆横截面上绝对值最大 的正应力
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 2 － 3 图 (a) 所示构架的 BC 杆为直径
d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm2，
已知 P=2kN, 试求 AB 杆和 BC 杆横截面上的
C +
B
+
–
+
10kNm
–
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C max C max B
MB 20 103 3 y1 139 10 69MPa 6 Iz 40.3 10
比较 L max B与 L max c
L max B
L max C
MB 20 103 3 y2 61 10 30.2MPa 6 Iz 40.3 10
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二、纯弯曲时的正应力 梁弯曲变形的平面假设
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梁弯曲变形的平面假设
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纯弯曲时的正应力
变形
平面假定
应变分布
物理关系
应变公式
平面假定
应力分布
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纯弯曲时的正应力
dx yd
dx d y y dx dx
第4章
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§4-1 轴向拉（压）杆的正应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
第4章
杆件横截面上的正应力分析
考察杆件受力变形：
P
P
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杆件横截面上的正应力分析
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA
B
+
10kNm
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(3) 求最大拉应力与最大压应力 分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面） | L max || C max | B截面 | L max || C max | C截面 | C max B || C max c | 显然
20kNm
应力。
C 30 A B P
(a)
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解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC n 30 - P = 0
最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。
中性轴为对称轴时， Lmax 与 Cmax 在同
一截面上，即在|M|max所在的面上。
中性轴为非对称轴时， Lmax 与 Cmax 可
能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max
所在的面上。
B P
x
(b)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
由(2)式可得
N BC
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2)计算各杆应力
σ BC