第4章杆件横截面上的正应力分析
杆件横截面上的应力
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
《工程力学》第4章 材料力学的基本概念
变或正应变”, 分别用 表示。
4.5 正应变与剪应变
(直角改变量）
➢ 在切应力作用下的微元体产生剪切变形； ➢ 剪切变形程度用微元体直角的改变量度量；
➢ 微元直角改变量称为切（或剪）应变， 用
表示。
4.5 正应变与剪应变
正负号规定
>0
<0
正应力 拉为正，压为负
32/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
梁
悬臂梁在集中力作用下，各个横截面上的弯矩不 相等；
固定端处的横截面上弯矩最大，该截面上各点处 内力不相等；
如何度量某点处内力的强弱程度----应力。
33/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
FP1 FP2
y
➢形变－－形状的改变 物 体 的 形 状 可 用 它 各 部 分 的 长 度 和 角 度 来 表 示 ， 因此，物体的形变可以归结为长度的改变和角度 的改变。
➢应变－－可分为正应变（线应变）和切应变两种。
40/60
4.5 正应变与剪应变
x
dx
x x
u
x
u+du
x
du dx
➢ 在正应力作用下的微元，沿着正应力方向产生 伸长和垂直于正应力方向产生缩短，这种变形 称为线变形；
DFR
DA
p ΔFR ΔA
x
p
lim
ΔFR
z
ΔA0 ΔA
➢极限值反映了内力在该点处的强弱程度； ➢内力在一点的强弱程度称为集度。
34/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
➢应力是内力在一点处的集度； ➢应力可以理解为单位面积的内力； ➢工程构件，大多数情形下，内力非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效” 往往从内力集度最大处开始； ➢单位为Pa或MPa（1kg·f、bar） ，工程上多用 MPa。
工程力学--轴向拉压杆的应力及变形
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
第4章应力和强度
y
xG
xG
P=1.5 kN
C 1m 2m
k
x M 1.52 3kN m
1.求形心
截面沿y轴对称，形心的x坐标在y轴上
形心的y坐标 Y形心
yi Ai 21014 213 6.5
Ai
210 213
9.76cm
2c m 15c m
10cm
2cm
bh3 12
0.12 0.183 12
0.583 104 m4
k
M I中性轴
y
3 0.583 10 4
0.06 3087 kN / m2
3087kPa
判断正应力性质： 截面弯矩为负，K点在中性轴上边
为拉应力
k
2c m 15c m
例2 求C截面 K点的正应力
10cm
D
y2 dA
0
B
y3 3
D 0
BD 3 3
计算几个矩形组合截面的惯性矩
B
b
b
I中性轴
BD3 12
2
bd 3 12
d D
B1
b1
b1
D1
d1
D2
d2
I中性轴
B1D13 3
2
b1d13 3
B2 D23 3
2
b2d
3 2
2.圆截面的回转半径和半径的不同
I R4
4
i I R A2
A R2
4.3.4 静矩
z
材料力学第04章 杆件变形分析
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。
第四章杆件横截面上的剪应力(材料力学课件)
T h b2
T G hb3
1 max
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞ α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 γ 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
{m}Nm
9549 {N}kW {n} r / min
{m}Nm
7024 {N}PS {n} r / min
GB3101-93中规定的数值方程式表示方法
扭矩和扭矩图:
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率 NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
剪切胡克定律:
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
第四章--切应力分析
第四章弹性杆横截面上的切应力分析——教学方案第四章弹性杆横截面上的切应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(M x)或剪力(F Qy或F Qz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。
这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。
分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。
对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。
对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。
§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。
当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩M e （单位为Nm ）与轴传递的功率P （单位为kW ）和轴的转速n （单位为r/min ）有如下关系：{}{}{}min/.9549r kW m N e n P M = （4-1）不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b 所示。
圆轴上的每个微元(例如图4-2a 中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c 所示。
这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB 和CD 边对应着横截面；AC 和BD 边则对应着纵截面)，分别用τ和τ'表示。
应用平衡关系不难证明：ττ'-= （4-2）这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。
1. 平面假设及变形几何关系 变形协调方程如图4-3a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度γ，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。
《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力
在桥梁设计中，需要分析不同工况下的应力分布，以确保桥梁的安 全性和稳定性。
机械零件的疲劳强度
在机械运转过程中，某些关键零件会受到周期性载荷，导致疲劳断 裂。对零件进行疲劳强度分析，可以预测其使用寿命。
建筑结构的稳定性
建筑结构在风、地震等外力作用下会发生变形，分析结构的应力分布 有助于评估其稳定性。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法，通过将杆件横截面离散成有限个小的单元，并对每 个单元进行应力分析来计算横截面上的应力。
有限元法适用于各种形状和材料的杆件，且可以模拟复杂的边界条件和载荷情况。
有限元法的优点是适用范围广、精度高、可以处理复杂的非线性问题，但计算量大、 需要较高的计算机技术和软件支持。
04
应力的计算方法
截面法
截面法是工程中常用的应力计算方法之一，通过在杆 件横截面上选择一个或多个代表性点，并分析这些点
的应力状态来计算横截面上的应力。
截面法适用于各种形状和材料的杆件，只需要知道杆 件横截面的几何尺寸和材料属性即可。
截面法可以通过实验测量和数值计算两种方式进行， 实验测量需要制作专门的试件进行测试，数值计算则
可以通过计算机软件实现。
解析法
01
解析法是通过数学公式和定理来计算应力的方法，适用于简单 形状和材料的杆件。
02
解析法需要建立杆件横截面的力学模型，并利用弹性力学、材
料力学等理论公式进行计算。
解析法的优点是计算精度高，适用于理论分析和设计计算，但
03
适用范围较窄，对于复杂形状和材料的杆件难以应用。
05
应力的影响与控制
应力的影响
变形与开裂
应力会导致材料发生变形，当 应力超过材料的屈服极限时，
《梁横截面上的应力》课件
应力的定义
正应力
描述横截面上物体 内部受到的正向力
变形应力
描述物体内部由于 外力作用而产生的
变形
切应力
描述横截面上物体 内部相对位移引起
的剪切力
梁的受力分析
弯矩
产生于梁的曲折部分，使其受 到弯曲的作用
剪力
垂直于截面，使得两个部分相 对滑动
轴力
沿梁的轴线方向作用，使其产 生拉伸或压缩效果
扭矩
绕横截面法线方向的力矩，使 梁发生扭曲
中性轴是应力为零的位置，影响梁的受力性能。
03
弯曲应力的影响因素
截面形状
对弯曲应力有重要影响 不同形状导致应力分布不同
荷载大小
荷载增大会导致应力增加 合理控制荷载有利于减小应力
材料性质
材料的强度决定了梁的承载能 力 材料的韧性影响了梁的变形性 能
支座条件
支座的摩擦力会影响梁的稳定 性 不同支座条件下应力分布有所 不同
设计
智能设计软件的发展 设计理念的更新
监测
结构监测技术的进步 实时监测系统的应用
维护
定期维护的重要性 预防性维护措施
谢谢观看！ 下次再见
梁截面上可能存在应力集中现象，需要通过结构设计和加固措施 来减小应力集中。减小应力集中可以延长梁的使用寿命，提高结 构的安全性。
应力分析的工程应用
设计指导
根据应力分析结果 优化梁结构设计
维护保养
检测应力分布，延 长梁寿命
安全评估
评估梁结构安全性
施工指挥
指导梁施工过程中 的受力分布
● 06
第六章 总结与展望
总结
通过本PPT课件的学习，我们了解了梁截面上不同类型应力 的分布规律和影响因素。应用所学知识可以更好地设计和维 护梁结构，提高工程的质量和安全性。
第4章 材料力学基础
4 π π D I p (D4 d 4 ) (1 4 ) 32 32
（4-32）
3 Ip π π D Wt ( D4 d 4 ) (1 4 ) （4-33） r 16D 16
4.4 梁的弯曲
4.4.1 梁的弯曲内力
图4-12 剪切
4.2.2 挤压与挤压应力
图4-13 剪切与挤压
图4-14 挤压应力的分布
4.2.3 剪切与挤压的强度
1．剪切强度计算
由于受剪构件的变形及受力比较复 杂，剪切面上的应力分布规律很难用理 论方法确定，因而工程上一般采用实用 计算方法来计算受剪构件的应力。
在这种计算方法中，假设应力在剪 切面内是均匀分布的。 若以A表示销钉横截面面积，则应 力为 FQ （4-19）
图4-11 应力集中现象
4.2 剪切和挤压
4.2.1 剪切与剪应力
在工程实际中，经常遇到剪切和挤压 的问题。 剪切变形的主要受力特点是构件受到 与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、 作用线相距很近的一对外力的作用，如图 4-12（a）所示。
构件的变形主要表现为沿着与外力 作用线平行的剪切面（ m-n面）发生相 对错动，如图4-12（b）所示。
第4章 材料力学基础
4.1
轴向拉伸与压缩
4.2
剪切和挤压
4.3
圆轴扭转
4.4
梁的弯曲
4.5
组合变形的强度计算
【学习目标】 1．掌握受拉压杆件的强度及变形量的计 算方法 2．理解剪切与挤压的特点和实用计算 3．理解受扭转杆件的应力特点
4．理解受纯弯曲梁的内力及应力特点， 掌握弯矩图的作法 5．理解组合变形的类型及特点，了解强 度理论的涵义及应用特点
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。
杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。
对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。
当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。
当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。
在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。
在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。
同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。
希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案_范钦珊主编_第4章_基本概念
2习题4－2图第4章 基本概念4－1 确定下列结构中螺栓的指定截面Ⅰ－Ⅰ上的内力分量，井指出两种结构中的螺栓分别属于哪一种基本受力与变形形式。
解：(a) N P F F =，产生轴向拉伸变形。
(b) Q P F F =，产生剪切变形。
4－2 已知杆件横截面上只有弯矩一个内力分量M z ，如图所示。
若横截面上的正应力沿着高度y 方向呈直线分布，而与z 坐标无关。
这样的应力分布可以用以下的数学表达式描述：Cy ＝σ其中C 为待定常数。
按照右手定则，M z 的矢量与z 坐标正向一致者为正，反之为负。
试证明上式中的常数C 可以由下式确定：zzI M C ＝－并画出横截面上的应力分布图。
(提示：积分时可取图中所示之微面积dA ＝b d y )证明：根据内力分量与应力之间的关系，有()2d d z AAzM A yC y A CI σ==−=−∫∫由此得到习题4－1图F NF Q3习题4一3图zzI M C ＝－。
于是，横截面上的正应力表达式为：z zM yI σ−＝ 据此，可以画出横截面上的正应力分布图：4－3 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。
关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有4种答案，如图所示。
请根据弹性体横截面连续分布内力的合力必须与外力平衡这一特点，分析图示的4种答案中哪一种比较合理。
正确答案是 C 。
解：首先，从平衡的要求加以分析，横截面上的分布内力只能组成一个力偶与外加力偶矩M 平衡。
二答案（A ）和（B ）中的分布内力将合成一合力，而不是一力偶，所以是不正确的。
直杆在外力偶M 作用下将产生上面受拉、下面受压的变形。
根据变形协调要求，由拉伸变形到压缩变形，必须是连续变化的，因而，受拉与受压的材料之间必有一层材料不变形，这一层材料不受力。
因此，答案（D ）也是不正确的。
正确的答案是（C ）。
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工程力学(张光伟)1-6章 (4)
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
除等直杆外，轴向拉、压小锥度直杆横截面上的应力也可 按公式(4.2)计算。
需要指出的是，当作用在杆件上的外力沿横截面均匀分布 时，杆横截面上的应力将均匀分布，公式(4.2)适用。而当作 用在杆件上的外力沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近横 截面上的应力也是非均匀分布的，则相应区域横截面上的应力 不能用公式(4.2)计算。但是，大量理论计算和实验研究均表 明：如果杆端的两种外加载荷静力等效，则杆端部以外区域的 应力差异甚微。这一论断就是著名的“圣维南原理”。在工程 常规设计和计算中，一般不考虑端部加载方式的影响。对于拉、 压杆，只要外力合力的作用线沿杆轴线方向，即可应用式(4.2) 计算横截面上的应力。
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题 图4.1
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
4.1 轴力和轴力图
1． 内力与截面法 内力是指物体内部各部分之间相互作用的力。物体在未受 外力作用时，其内部各质点之间本来就有力在相互作用。当物 体受到外力作用而变形时，其内部各质点之间的相对位置将有 变化，与此同时，各质点之间相互作用的力也有所改变。这种 原有内力的改变，是物体在外力作用下产生的附加内力。材料 力学中讨论和计算的只是这种附加内力，故通常简称其为内力。 这种内力既不同于物体中固有的内力，也不同于刚体系统中的 内力。前者是分子、原子等基本粒子相互作用产生的内力，后 者则是各个刚体相互机械作用产生的内力。变形体的内力则是 由宏观变形引起的内力。
(4.1b)
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
p称为m—m截面上C点的应力(又称为全应力)，它是分布内
力系在C点的集度，反映内力系在C点的强弱程度。
通常将 p 分解为两个分量，如图4.6(b)所示。其中,与截
材料力学第二版范钦珊第4章知识题目解析
习题8-4图材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析4 — 1扭转切应力公式()M x /I p 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
(A) 等截面圆轴，弹性范围内加载； (B) 等截面圆轴； (C )等截面圆轴与椭圆轴；(D )等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。
正确答案是_A _。
解：()M x . I p 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中 还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4 — 2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。
设直径大的轴和直径 小的轴的横截面上的最大切应力分别为 ^ax 和2max ，切变模量分别为 G l 和G 2。
试判断下列结论的正确性。
(A) 1 max > 2 max ；(B)1 maxV 2max ；(C) 若 G l >G 2,则有 1 max >2 max ；(D)若 G 1 > G 2，则有 1maxV2 max 。
正确答案是_c _。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即12 由剪切胡克定律 G知G 1 G 2时， 1 max2 max4 — 3承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为 d 2、D 2( d 2/D 2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。
关于二者重之比(W 1/W 2)有如下结论，试判断哪一种是正确(1 )代入(2)，得W (1 工 W 124 — 4由两种不同材料组成的圆轴， 里层和外 层材料的切变模量分别为 G 1和G 2,且G 1 = 2 G 2o(A ) (14)32 ； (B ) (1 4)32(12)；(C ) (1 424)(1 2)；(D ) (1 4)2 3/(1 2) 正确答案是D 0解： 由 1 max2 max 得16M x16M x.3n d 1n d 22(14)即d 1 1(14)3D 2wA d 12W A 2 D ；(1 2 )(1) (2)1A'习题4-7图圆轴尺寸如图所示。
工程力学_张光伟_第4章-轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
2.轴向拉压时的变形 轴向拉压时的变形 y 由广义胡克定律： 由广义胡克定律： σ σ σ x FN ） εx = = , ε y = ε z = −νε x （11.3） E EA x z 变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 P l 杆件的纵向伸长量
FN dx ∆l = ∫ d (∆l ) = ∫ ε x dx = ∫ EA l l l
P
AB段变形： AB段变形： 段变形
FN1l1 Pl1 4 ×103 ×102 ∆l1 = = (伸长) = = 0.0024mm EA EA 3 π 210×10 × ×102 4
例题
例 题 1
P
2P
l1
P
A
BC段轴力: BC段轴力: FN 2 = − P 段轴力
B l2
C
d
P
( FN )
P
FN 2l2 − Pl2 BC段变形 段变形： BC段变形：∆l2 = = (实际缩短) = −0.0024mm EA EA
σα = τα = σ
2 + 2
τα
cos 2α = σ cos 2 α
σα
α FN σ=
A
FN 当α=0时， σ α ,max = σ α ,α =0 = σ = 时 A σ FN 当α=45º时， τ α ,max = τ α ,α = 45° = = 时 2 2A
2
sin 2α = σ sin α cos α
4. 铸铁压缩曲线 特点：断口沿 斜面 特点：断口沿45º斜面 特征点：压缩强度极限σ 远高于σ 特征点：压缩强度极限σbc 远高于σbt
低碳钢、铸铁拉伸、 低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5. 轴向拉压破坏现象分析 观察拉、压破坏试件的断口方向： 观察、压破坏试件的断口方向： 拉伸 低碳钢 与轴线成45º斜面 与轴线成 斜面 剪断！ 剪断！ 与轴线垂直 与轴线成45º斜面 与轴线成 斜面 压缩
第4章 应力与应变
E
图4-9 低碳钢的力学性能曲线
这一变形规律称为Hooke(虎克)定律
21
22
3)断后伸长率和断面收缩率
A L1 L0 100 % L0
Z S0 Su 100 % S0
(注意A与的区别)
23
4)卸载规律及冷作硬化
卸载规律：试样加载到超过屈服强度后卸载，卸 载线平行OP；若再次加载，加载线沿卸载线上 升，因此加载的应力应变关系符合虎克定律。
4
工程上所称的应力就是正应力与切应力
➢应力的单位为N/m2或Pa，因Pa这个单位太小，工 程中常用的应力单位为MPa，1MPa=1000000Pa。
➢内力系在截面上的分布情况，可用正应力和切应力 表示。截面上内力系的分布规律即为应力的分布规律， 内力分量也就是截面上的应力系向截面形心简化的结 果。应力分量反映截面上各点内力作用的强弱程度， 反映各点处的变形情况。因此，应力分量表示了一点 处的危险程度，是建立构件强度条件的力学量。
第4章 应力与应变
正应力与切应力 一点处应力状态的概念
正应变与切应变
材料的力学性能及其测试
线弹性材料的物性关系
1
4.1 正应力与切应力 第
4 4.2 一点处应力状态的概念 章
应 4.3 正应变与切应变
力
与 4.4 材料的力学性能及其测试
应
变 4.5 线弹性材料的物性关系
目录
2
4.l 正应力与切应力
9
4.2 一点处应力状态的概念
(1)问题的提出
凡提到“应力”，必须指 明作用在哪一点，哪个(方向) 截面上，因为受力构件内同一 截面上不同点的应力是不同的， 通过同一点不同(方向)截面上 应力也是不同的。例如：
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=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
200
170 85 30 85
E
d dx 1
12
E
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
E
y
z y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
WZ-----称为梁的抗弯截面模量。
重要数据
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
矩形截面简支梁承受均布荷载作用。已知： 矩形的宽度b=30mm，均布荷载集度 q=10kN/M；梁的长度l=450mm。 求：梁最大弯矩截面上1、2两点处得正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值
2m
3m
30
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。
i
170
30 170 85 30 200 185 139 (mm) 30 170 30 200
200 303 Iz 200 30 (170 15 139)2 12
N ∴σ = A
— 横截面上正应力计算公式
的符号规定与N一致。
拉应力为正号的正应力。 压应力为负号的正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
变截面直杆，ADE段为铜质，EBC段为钢制； 在A、B、C等4处承受轴向载荷。已知： ADEB段杆的横截面面积 A 10 10 mm , BC段杆 的横截面面积 A 510 mm ,Fp=60kN;各段杆的长 度如图所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
MC 10 103 3 y1 139 10 34.5Mpa 6 Iz 40.3 10
第4章
杆件横截面上的正应力分析
精品课件！
第4章
杆件横截面上的正应力分析
精品课件！
第4章
杆件横截面上的正应力分析
L max L max c 34.5MPa
C max C max B 69MPa
2 2 AB 2 2 BC
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.做轴力图
2.计算直杆横截面上绝对值最大 的正应力
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 2 － 3 图 (a) 所示构架的 BC 杆为直径
d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm2，
已知 P=2kN, 试求 AB 杆和 BC 杆横截面上的
C +
B
+
–
+
10kNm
–
第4章
杆件横截面上的正应力分析
C max C max B
MB 20 103 3 y1 139 10 69MPa 6 Iz 40.3 10
比较 L max B与 L max c
L max B
L max C
MB 20 103 3 y2 61 10 30.2MPa 6 Iz 40.3 10
第4章
杆件横截面上的正应力分析
二、纯弯曲时的正应力 梁弯曲变形的平面假设
第4章
杆件横截面上的正应力分析
梁弯曲变形的平面假设
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
变形
平面假定
应变分布
物理关系
应变公式
平面假定
应力分布
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
dx yd
dx d y y dx dx
第4章
杆件横截面上的正应力分析
§4-1 轴向拉（压）杆的正应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
第4章
杆件横截面上的正应力分析
考察杆件受力变形：
P
P
第4章
杆件横截面上的正应力分析
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA
B
+
10kNm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(3) 求最大拉应力与最大压应力 分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面） | L max || C max | B截面 | L max || C max | C截面 | C max B || C max c | 显然
20kNm
应力。
C 30 A B P
(a)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC n 30 - P = 0
最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。
中性轴为对称轴时， Lmax 与 Cmax 在同
一截面上，即在|M|max所在的面上。
中性轴为非对称轴时， Lmax 与 Cmax 可
能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max
所在的面上。
B P
x
(b)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
由(2)式可得
N BC
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2)计算各杆应力
σ BC