开放性综合题的类型和解法

②OA ＝ OC；③ AB ＝ CD；④∠ BAD ＝∠ DCB ；⑤ AD ∥ BC
（ 1）从以上 5 个条件中任意选取 2 个条件， 能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有 （用
序号表示）：
。
（ 2）对由以上 5 个条件中任意选取 2 个条件，不能推出四边形 ABCD 是平行四边形的
请选取一种情形举出反例说明。
论都不明确， 要根据给出的论断组合成一个正确的命题． 不同的组合方式会产生不同的命题。 根据给出的论断组合成一个正确的命题，具备条件、结 论双开放，这就要求我们在组合时要掌握一定的策略， 注意有可能组合成的命题是不正确的， 这给解题带来一定的难度。 本题的组合方式有下列三种情况： ①② → ③；①③ → ②；②③ → ①。 其 中 ①② → ③ 是 不 正 确 的 ， 另 外 两 个 都 是 正 确 的 。
例 5、如图△ ADF 和△ BCE 中，∠ A= ∠ B，点 D、 E、 F、 C 在同 —直线上，有如下三 个关系式：① AD=BC ；② DE=CF ；③ BE∥ AF 。
C
A
F
E
B
D
（ 1）请用其中两个关系式作为条件， 另一个作为结论， 写出所有你认为正确的命题． ( 用
序号写出命题书写形式，如：如果 ╳○、 ╳○，那么 ╳○) （ 2）选择 (1) 中你写出的 — 个命题，说明它正确的理由． 分析 ：这是一道策略开放型题， 此类题的特点是题中只给出若干论断， 题目的条件和结
开放性综合题的类型和解法
中考中的开放性综合题， 要求考生运用所学的知识去分析、 探索，找出所需的条件， 或 补充完整过程， 或找出正确结论， 它更能突出对考生综合能力的考查， 因此经常进行开放题 的训练，有助于开发学生思维潜能和创造能力，本文举例分类剖析：
一、 存在型开放性题
此类问题是在一定的条件下，判断某些数学结论是否成立，其关键词是
∴点 P 的坐标为： ( 3 21 ， 0)或（ 3 21 ， 0）
（ 3）根据题意，设 （ 1）得
A （ m ， 1 m 2 ），B（ n ， 1 n 2 ）。不妨设 m
8
8
BD MD
AC MC
0，n
0 。由
n 则
m
12 n2
8
12 2m
8
n 或
m
化简，得 ( mn 16 )( m n ) 0
12 2n
“是否存在 … ，
使… 成立 ”，其解法是：先对结论予以肯定（假设结论成立） ，再进行推理论证。如果推出矛
盾的结果，表明原结论不成立，如果不能推出矛盾，再考虑全面证明。
例 1、二次函数的图象如图 1 所示，过 y 轴上一点 M （ 0， 2）的直线与抛物线交于 A、
B 两点，过点 A 、 B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C、D 。
3， E、 F 分别是平行四边形
ABCD 的边 BA 、 DC 延长线上的点，且 AE ＝ CF， EF 交 AD 于 G，交 BC 于 H。
E
A
G
D
B
H
C
F 图3
（ 1）图中的全等三角形有
对， 它们分别是
；（不添加任何辅助
线）
（ 2）请在（ 1）中选出一对你认为全等的三角形进行证明。
解析：
（1）图中全等三角形有两对：
给出一定的条件， 要求探索给定的结论是否存在， 解决这类问题的一般思维是假设结论成立， 然后进行合理的分析与推理， 若推出的结论与已知条件或者定义、 定理、 公式相符， 则结论
存在；若推出的结论与已知条件或者定义、定理、公式相矛盾，则说明假设不成立。
例 3、初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试试题）如图
此类问题可用不完全归纳法去探寻规律解决问题。
例 4、数字解密：第一个数是 3＝ 2＋1，第二个数是 5＝ 3＋2，第三个数是 9＝ 5＋ 4，第
四个数是 17＝ 9＋8， …… 观察并猜想第六个数是
。
解析： 观察前四个数可以发现， 后一个数＝前一个数＋ （前一个数－ 1），所以第五个数
为 17＋16＝ 33，第六个数为 33＋32＝ 65。 五、策略开放型
y
D
M A
C
E
O
B
PF
x
（ 1）当点 A 的横坐标为－ 2 时，求点 B 的坐标；
（ 2）在（ 1）的情况下，分别过点 A、 B 作 AE x 轴于 E， BF x 轴于 F，在 EF 上
是否存在点 P，使∠ APB 为直角，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 （ 3）当点 A 在抛物线上运动时（点 A 与点 O 不重合），求 AC·BD 的值。
解析：
（ 1）根据题意，设点
B 的坐标为（
x，
1
2
x
），其中
x
0。
8
1 ∵点 A 的横坐标为－ 2，∴ A（－ 2， ）
2
∵ AC⊥ y
轴， BD⊥ y
轴， M （0， 2）∴
AC∥ BD， MC ＝
3
， MD ＝
1
2
x
2。
2
8
∴ Rt BDM ∽ Rt ACM
BD MD ∴
AC MC
解得 x 1
2 （舍去）， x 2 8
A D
O
B
C
(1)
D A
O
B
C
(2)
D
A
C
A
B
B
(3)
( 4)
图2
解析： （1）①与②；①与③；①与④；①与⑤；②与⑤；④与⑤ （ 2）②与③的反例如图 1（1）； ②与④的反例如图 1（2）； ③与④的反例如图 1（ 3）； ③与⑤的反例如图 1（4）；
D C
三、 结论型开放性题
此类问题的条件明确， 但结论不确定或者有多种可能结论， 此类试题的一种特殊情形是，
8
12 m2
8
∵ m n 0 ，∴ mn 16 ∴ AC·BD ＝ 16
二、条件型开放性题
此类问题是根据问题的结论去找出或完善使结论成立的条件，
其解法是采用分析法， 从
结论出发，根据已有的知识，步步逆推，找出使结论成立的条件。
例 2、已知：四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列 5 个条件：① AB ∥CD ；

∴ B（ 8， 8） （ 2）存在。连结 AP、 BP
由（ 1）， AE
1 ， BF
2
8 ， EF
10 。
设 EP ∵ AE
a ，则 PF x 轴， BF
10 a 。 x 轴，∠ APB ＝90°
∴ AEP ∽ PFB
1
∴2
a
10 a 8
解得 a 5 21
∴ AE
EP
PF BF
经检验， a 5 21 均为原方程的解。
AEG ≌ CFH 和 BEH ≌ DFG
（ 2）求证： AEG ≌ CFH
在平行四边形 ABCD 中，有∠ BAG ＝∠ HCD ∴∠ EAG＝ 180°－∠ BAG
＝180°－∠ HCD ＝∠ FCH
又∵ BA ∥ DC ，∴∠ E＝∠ F
又∵ AE＝ CF，∴ AEG ≌ CFH
四、 规律型开放性题