2.2.1 条件概率
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第二章 随机变量及其分布
2．2 二项分布及其应用
2．2.1 条件概率
第二章 随机变量及其分布
学习导航
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
新知初探思维启动
1．条件概率的定义
PAB
一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)＞0,称 P(B|A)＝_P__A____
为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率,P(B|A)
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
方法感悟
1．由条件概率的定义知,P(B|A)与 P(A|B)是不同的;另外, 在事件 A 发生的前提下,事件 B 发生的可能性大小不一 定是 P(B),即 P(B|A)与 P(B)不一定相等． 2．P(B|A)＝PPAAB可变形为 P(AB)＝P(B|A)·P(A),即只要 知道其中两个值就可以求得第三个值．故已知 P(A)、 P(AB)可求 P(B|A);已知 P(A)、P(B|A)可求 P(AB)．
2 即先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率为13.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
(2)设“先摸出一个白球放回”为事件 A1, “再摸出一个白球”为事 件 B1,两次都摸到白球为事 件 A1B1. P(A1)＝24× ×44＝12,P(A1B1)＝42××42＝14,
1 故 P(B1|A1)＝PPAA1B11＝41＝12,
2 即先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率为12.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
【名师点评】 条件概率的计算方法有两种: (1)利用定义计算,先分别计算概率 P(AB)和 P(A),然后代入 公式 P(B|A)＝PPAAB. (2) 利用 缩小 样本 空间 计算 (局 限在 古典 概型 内),即 将原 来 的样本空间 Ω 缩小为已知的事件 A,原来的事件 B 缩小为 AB,利用古典概型计算概率:P(B|A)＝nnAAB.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
跟踪训练 2．某厂有甲、乙两台机床生产同一规格的螺丝钉,它 们的产量各占70%,30%,在各自的产品里,废品各占 4%,5%.问从该厂所生产的这种螺丝钉中任取一个,它 是废品的概率是多少？ 解:设事件 A 表示所取螺丝钉是废品,B、C 分别表示所 取螺丝钉是甲、乙机床所生产的, 则 P(B)＝0.70,P(C)＝0.30, P(A|B)＝0.04,P(A|C)＝0.05. 所求概率为 P(A)＝P(AB∪A B )＝P(AB∪AC)＝P(AB) ＋ P(AC) ＝ P(B)P(A|B) ＋ P(C)P(A|C) ＝ 0.70×0.04 ＋ 0.30×0.05＝0.043.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
做一做 已知 P(AB)＝130,P(A)＝35,则 P(B|A)等于________． 答案:12
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 条件概率的计算
例1 一只口袋内装有2个白球和2个黑球,那么 (1) 先 摸 出 1 个 白 球 不 放 回 , 再 摸 出 1 个 白 球 的 概 率 是 多 少？ (2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多 少？
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
P(A)＝P(AB∪A－B )＝P(AB)＋P(A－B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|－B )P(－B ) ＝49×23＋13×13 ＝1217. 【名师点评】 若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)＝P(B|A) ＋P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先 把它分解成两个(若干个)互不相容的较简单事件之和, 求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的 复杂事件的概率．
读作 A 发生的条件下 B 发生的概率．
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
做一做 2．条件概率性质 (1)0≤P(B|A)≤1. (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)＝ _P__(B__|A_)_＋__P_(_C_|_A_)_． P(B|A)和P(A|B)相同吗？ 提示:不相同．前者表示事件A发生的条件下事件B发生 的概率,后者表示事件B发生的条件下事件A发生的概 率．
Baidu Nhomakorabea栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
跟踪训练 1．甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象 记录,知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解:设“甲地为雨天”为事件 A,“乙地为雨天”为事件 B, 根据题意得 P(A)＝0.2,P(B)＝0.18,P(AB)＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝PPABB＝ 00..1128≈0.67.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
精彩推荐典例展示
易错警示
条件概率的概念不明致误 例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,若已知出现的 点数不超过4,求出现的点数是奇数的概率． 【常见错误】 解答本题的易误点:对条件概率的概念 不明确,易把事件 B|A 误认为事件 AB,如令“点数不超过 4”为事件 A,“点数为奇数”为事件 B,则 P(B|A)＝26＝ 1 3.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
【解】 (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A,“再摸 出 1 个白球”为事件 B,则“先后两次摸到白球”为 AB,先 摸一球不放回,再摸一球共有 4×3 种结果． 故 P(A)＝24× ×33＝12,P(AB)＝24× ×13＝16.
1 因此,P(B|A)＝PPAAB＝16＝13,
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝PPAAB＝ 00.1.22＝0.6.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
题型二 条件概率的性质
例2 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球 和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后 从2号箱中随机取出一球．问从2号箱中取出红球的概率 是多少？ 【解】 设事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B: 从 1 号箱中取出的是红球． 则 P(B)＝2＋4 4＝23,P(－B )＝1－P(B)＝13. P(A|B)＝5＋3＋3＋1 1＝49. P(A|－B )＝8＋3 1＝13,
2．2 二项分布及其应用
2．2.1 条件概率
第二章 随机变量及其分布
学习导航
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第二章 随机变量及其分布
新知初探思维启动
1．条件概率的定义
PAB
一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)＞0,称 P(B|A)＝_P__A____
为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率,P(B|A)
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第二章 随机变量及其分布
方法感悟
1．由条件概率的定义知,P(B|A)与 P(A|B)是不同的;另外, 在事件 A 发生的前提下,事件 B 发生的可能性大小不一 定是 P(B),即 P(B|A)与 P(B)不一定相等． 2．P(B|A)＝PPAAB可变形为 P(AB)＝P(B|A)·P(A),即只要 知道其中两个值就可以求得第三个值．故已知 P(A)、 P(AB)可求 P(B|A);已知 P(A)、P(B|A)可求 P(AB)．
2 即先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率为13.
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第二章 随机变量及其分布
(2)设“先摸出一个白球放回”为事件 A1, “再摸出一个白球”为事 件 B1,两次都摸到白球为事 件 A1B1. P(A1)＝24× ×44＝12,P(A1B1)＝42××42＝14,
1 故 P(B1|A1)＝PPAA1B11＝41＝12,
2 即先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率为12.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
【名师点评】 条件概率的计算方法有两种: (1)利用定义计算,先分别计算概率 P(AB)和 P(A),然后代入 公式 P(B|A)＝PPAAB. (2) 利用 缩小 样本 空间 计算 (局 限在 古典 概型 内),即 将原 来 的样本空间 Ω 缩小为已知的事件 A,原来的事件 B 缩小为 AB,利用古典概型计算概率:P(B|A)＝nnAAB.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
跟踪训练 2．某厂有甲、乙两台机床生产同一规格的螺丝钉,它 们的产量各占70%,30%,在各自的产品里,废品各占 4%,5%.问从该厂所生产的这种螺丝钉中任取一个,它 是废品的概率是多少？ 解:设事件 A 表示所取螺丝钉是废品,B、C 分别表示所 取螺丝钉是甲、乙机床所生产的, 则 P(B)＝0.70,P(C)＝0.30, P(A|B)＝0.04,P(A|C)＝0.05. 所求概率为 P(A)＝P(AB∪A B )＝P(AB∪AC)＝P(AB) ＋ P(AC) ＝ P(B)P(A|B) ＋ P(C)P(A|C) ＝ 0.70×0.04 ＋ 0.30×0.05＝0.043.
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第二章 随机变量及其分布
做一做 已知 P(AB)＝130,P(A)＝35,则 P(B|A)等于________． 答案:12
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 条件概率的计算
例1 一只口袋内装有2个白球和2个黑球,那么 (1) 先 摸 出 1 个 白 球 不 放 回 , 再 摸 出 1 个 白 球 的 概 率 是 多 少？ (2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多 少？
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
P(A)＝P(AB∪A－B )＝P(AB)＋P(A－B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|－B )P(－B ) ＝49×23＋13×13 ＝1217. 【名师点评】 若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)＝P(B|A) ＋P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先 把它分解成两个(若干个)互不相容的较简单事件之和, 求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的 复杂事件的概率．
读作 A 发生的条件下 B 发生的概率．
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
做一做 2．条件概率性质 (1)0≤P(B|A)≤1. (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)＝ _P__(B__|A_)_＋__P_(_C_|_A_)_． P(B|A)和P(A|B)相同吗？ 提示:不相同．前者表示事件A发生的条件下事件B发生 的概率,后者表示事件B发生的条件下事件A发生的概 率．
Baidu Nhomakorabea栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
跟踪训练 1．甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象 记录,知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解:设“甲地为雨天”为事件 A,“乙地为雨天”为事件 B, 根据题意得 P(A)＝0.2,P(B)＝0.18,P(AB)＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝PPABB＝ 00..1128≈0.67.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
精彩推荐典例展示
易错警示
条件概率的概念不明致误 例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,若已知出现的 点数不超过4,求出现的点数是奇数的概率． 【常见错误】 解答本题的易误点:对条件概率的概念 不明确,易把事件 B|A 误认为事件 AB,如令“点数不超过 4”为事件 A,“点数为奇数”为事件 B,则 P(B|A)＝26＝ 1 3.
栏目 导引
第二章 随机变量及其分布
【解】 (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A,“再摸 出 1 个白球”为事件 B,则“先后两次摸到白球”为 AB,先 摸一球不放回,再摸一球共有 4×3 种结果． 故 P(A)＝24× ×33＝12,P(AB)＝24× ×13＝16.
1 因此,P(B|A)＝PPAAB＝16＝13,
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第二章 随机变量及其分布
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝PPAAB＝ 00.1.22＝0.6.
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第二章 随机变量及其分布
题型二 条件概率的性质
例2 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球 和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后 从2号箱中随机取出一球．问从2号箱中取出红球的概率 是多少？ 【解】 设事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B: 从 1 号箱中取出的是红球． 则 P(B)＝2＋4 4＝23,P(－B )＝1－P(B)＝13. P(A|B)＝5＋3＋3＋1 1＝49. P(A|－B )＝8＋3 1＝13,