向量的基本概念
向量的基本概念
向量的基本概念
向量是线性代数中的基本概念之一，它是指一个有大小和方向的量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以用坐标表示，也可以用向量的起点和终点表示。
向量的大小也称为向量的模或长度，它表示向量的大小，通常用||v|| 表示。
向量的方向表示向量的朝向，可以用角度或者方向余弦表示。
向量的起点和终点表示向量的位置，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
向量可以进行加法和数乘运算。
向量的加法表示将两个向量的大小和方向相加，得到一个新的向量。
向量的数乘表示将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量，新向量的大小为原向量的大小乘以标量，方向不变或者相反。
向量可以用于表示物理量，如力、速度、位移等。
在计算机图形学、机器学习等领域，向量也被广泛应用。
总之，向量是一个有大小和方向的量，它可以用坐标或者起点和终点表示，可以进行加法和数乘运算，可以表示物理量和应用于计算机科学等领域。
§1.1 向量的基本概念
§1.1 向量的基本概念
一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.
二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.
始点为A ，终点为B 的向量，记作AB .
注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一
般用小写黑体字母a 、b 、c ……标记向量，而用希腊字母λ、μ、ν……标记数量.
三、两种特殊向量：
1、 零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之. 注：零向量是唯一方向不定的向量.
2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量a 同向的单位向量称为a 的单位向量，记作0a .
四、向量间的几种特殊关系：
1、平行（共线）：向量a 平行于向量b ，意即a 所在直线平行于b 所在直线，记作a ∥b ，规定：零向量平行于任何向量.
2、相等：向量a 等于向量b ，意即a 与b 同向且模相等，记作a =b .
注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.
3、反向量：与向量a 模相等但方向相反的向量称为a 的反向量，记作-a ，显然BA AB =- ()a a =--，.
4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总
是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.
注意：应把向量与数量严格区别开来：
①向量不能比较大小，如CD AB 没有意义；
②向量没有运算，如类似CD AB
的式子没有意义.。
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
向量的分量和维数概念
向量的分量和维数概念向量是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、几何学、工程学等。
本文将重点介绍向量的分量和维数的概念。
1. 向量的基本概念向量是有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序对 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
一般地，在 n 维空间中，向量可以表示为一个有序 n 元组 (x1, x2, ..., xn)，其中 xi 表示向量在第 i个方向上的分量。
2. 向量的分量向量的分量指的是向量在不同方向上的投影。
在二维空间中，向量 V 的 x 分量表示向量在 x方向上的投影，通常用 Vx 表示；向量 V 的 y 分量表示向量在 y 方向上的投影，通常用 Vy 表示。
在三维空间中，向量 V 的分量类似地可以表示为 Vx、Vy 和 Vz。
一般地，在 n 维空间中，向量 V 的第 i 个分量表示向量 V 在第 i 个方向上的投影，通常用 Vi 表示。
向量的分量可以通过一些公式进行计算。
在二维空间中，对于向量 V(x, y)，它的 x 分量可以通过以下公式计算：Vx = ||V|| * cos(θ)其中 ||V|| 表示向量 V 的长度，θ 表示向量 V 与 x 轴的夹角。
类似地，y 分量可以通过以下公式计算：Vy = ||V|| * sin(θ)在三维空间中，向量 V 的分量的计算公式类似。
3. 向量的维数向量的维数是指向量在有限个维度上的长度或分量的个数。
一般地，向量的维数用 n 表示。
例如，在二维空间中，向量的维数为 2；在三维空间中，向量的维数为 3；在四维空间中，向量的维数为 4，依此类推。
向量的维数决定了向量的性质和运算规则。
例如，在 n 维空间中，向量的加法可以定义为分量相加的运算：对于向量 A(a1, a2, ..., an) 和向量 B(b1, b2, ..., bn)，它们的和向量 C(c1, c2, ..., cn)的每个分量都是对应分量之和，即 ci = ai + bi。
向量的基本概念及其应用
向量的基本概念及其应用向量是高中数学和物理学中一个非常重要的概念，也被广泛地应用于计算机科学和工程学中。
在本文中，我们将讨论向量的基本概念及其应用，并从几个不同的角度来探讨这个概念。
一、什么是向量向量是一个有方向和大小的量。
它通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
一个向量通常由两个分量表示，即水平分量和垂直分量。
水平分量是向量在水平方向上的长度，垂直分量是向量在垂直方向上的长度。
向量的长度可以通过勾股定理计算，即 length = sqrt(x^2+y^2)。
二、向量的基本属性向量有几个基本属性，包括加法、减法、数量积和向量积等。
向量的加法定义为从一个向量的尾部到另一个向量的头部的箭头之间绘制一条新的向量。
向量的减法定义为从一个向量的头部到另一个向量的头部之间绘制一条新的向量，并将其指向第二个向量的尾部。
数量积是向量的点积，它定义为两个向量的元素逐个相乘并相加的结果。
向量积是两个向量的叉积，它定义为两个向量垂直于彼此并且其大小等于两个向量的元素积的向量。
三、向量的应用向量在许多领域中都有应用，包括物理学、计算机科学和工程学等。
在这些领域中，向量通常用于计算和表示对象之间的关系。
物理学中，向量常用于描述力、速度和加速度等现象。
例如，在计算机模拟中，向量可以用于表示移动的物体的速度和方向，以及与其互动的物体之间的相对位置。
在计算机科学中，向量广泛用于计算机图形学和机器学习中。
在计算机图形学中，向量通常用于描述三维空间中的点和方向。
在机器学习中，向量通常用于表示特征向量，这些向量可以用于分类和聚类等任务。
工程学中，向量通常用于计算和表示力和位移等物理量。
例如，在建筑设计中，向量可以用于表示结构中各部件之间的关系，以及在运动控制系统中，向量可以用于描述机器人臂的位置和末端执行器的移动。
结论向量是一个有方向和大小的量。
它通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
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性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
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四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
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四、向量的数乘
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分，涉及了向量的基本概念及其运算法则。
本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则，并讨论一些常见的向量运算性质。
一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，常用有向线段表示。
通常将向量用字母加箭头表示，例如，向量a用记号“→a”表示。
向量有两个重要的属性，即大小（模）和方向。
向量的大小表示向量的长度或大小，用|→a| 或||→a|| 表示，读作“模a”或“a的模”。
向量的方向表示指向何处，可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。
二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算，其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。
平行四边形法则可以简要描述如下：设有向量→a和→b，取→a的起点作为平行四边形的一个顶点，将→b 平移至→a的终点，以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形，平行四边形的对角线所表示的向量，即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
三角法则可以简要描述如下：将→a和→b的起点相接，以→a的终点为直角，连接→b的终点和→a的起点，所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算，可以通过向量的加法和取负得到。
设有向量→a和→b，向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量，即→a-→b=→a+(-→b)。
三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算，用以改变向量的长度或方向。
设有向量→a和实数k，向量→a与k的乘积，记作k→a，即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍，并在原来的方向上（若k>0）或相反方向上（若k<0）。
四、常见的向量运算性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
3. 分配律：向量的数乘运算满足分配律，即k(→a+→b)=k→a+k→b。
高中数学向量知识总结
高中数学向量知识总结向量是高中数学中的一个重要概念，其在几何和代数中都具有广泛的应用。
本文将对高中数学向量知识进行总结，包括向量的基本概念、向量的表示与运算、向量的内积与外积等内容。
一、向量的基本概念向量是有方向和大小的量，常用箭头表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对。
向量的大小通常使用绝对值或模表示，用||AB||或|AB|表示。
二、向量的表示与运算1. 向量的表示：向量AB可以表示为AB→或→AB，其中箭头方向表示向量的方向。
向量可以通过其起点和终点表示，也可以通过坐标表示。
2. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点形成的向量为它们的和。
3. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即A - B = A + (-B)。
4. 向量的数量积：向量的数量积（又称点积、内积）表示两个向量的相似程度，可以用来判断两个向量的夹角是否为直角。
向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
设向量A和B的夹角为θ，则数量积的计算公式为：A·B = |A|·|B|·cosθ。
5. 向量的向量积：向量的向量积（又称叉积、外积）是一个向量，其大小等于由两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成的平面。
向量的向量积可以用来求解三角形的面积。
设向量A和B的夹角为θ，则向量积的计算公式为：A×B = |A|·|B|·sinθ·n，其中n为单位法向量。
三、向量的性质与应用1. 平行向量的性质：如果两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。
平行向量的数量积等于两个向量模的乘积。
2. 垂直向量的性质：如果两个向量的数量积为0，则它们为垂直向量。
3. 共线向量的性质：如果一个向量与另一个向量的倍数相等，则它们为共线向量。
4. 向量的应用：向量在几何和物理中具有广泛的应用，例如用向量可以描述力的大小和方向、表示平面内的线性方程等。
向量的基本概念
FE
向量
练习：
（1）下列各量中是向量的是（ B ） A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF 相反 的共线向量 _________
D．EP PF
相等 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向
3.如图，D ` E ` F` 分别是三角形ABC各边的中点,写出图中与 DE ` EF` FD相等的向量.
A D
F
C
B
E
4.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形。
AB.
B
向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. （3）模的概念： 记作：| AB |
——长度（模）为0的向量， 记作0。0的方向是任意的。注意与0的 区别。 2单位向量——长度（模）为1个单位 长度的向量叫做单位向量。 问：有几个单位向量？单位向量的大小 是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大 小相等，单位向量不一定相等。
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫 做平行向量。记作：a∥b∥c 规定： 0与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 记作：a=b 规定：0=0 注：任两相等的非零向量都可用一有向线 段表示，与起点无关。 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 条直线上 ，所以平行向量也叫共线向 量。
（1）写出与向量BC相等的向量，
（2）写出与向量BC共线的向量。 B C
向量的基本概念
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。 a
OA = a
c
b
C
0
l
OB
= b
B A
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定： 0 与任一向量平行。
一、概念巩固：
1、下列各量中是向量的是( (A)面积 (B)时间 (C)质量
(√位向量都相等.
(6)单位向量的模都相等.
(×)
(×) (√)
(√) (×) (√)
(7)|AB|=|BA|
(8)若 |a|=|b| ,则 a b (9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a// b, b// c, 则a// c
(×)
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中 (1)找出与向量 DE 相等 D 的向量；AF和FC B
A F C
E
(2)是否存在与向量 DE
向量的表示方法：
②用字母 a 、 b 、 等表示； c
①用有向线段表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB
a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0
0 0 ,
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向。
向量的基本概念公式
向量的基本概念公式:1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．5．向量的数量积的性质：若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=（a ，b 为非零向量）;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
向量的分解知识点总结
向量的分解知识点总结一、向量的基本概念向量是向量代数中的基本概念之一，它是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在数学、物理、工程等领域中广泛应用，是研究力、速度、位移、位矢等物理量的重要工具。
在二维空间中，向量通常用坐标表示，如向量a=(a1,a2)表示在x轴方向的分量为a1，在y轴方向的分量为a2。
在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，如向量a=(a1,a2,a3)表示在x轴、y轴和z轴方向的分量分别为a1、a2和a3。
除了用坐标表示，向量还可以用向量的模和方向角表示。
向量的模表示向量的大小，用|a|或||a||表示，向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角，通常用α、β、γ表示。
二、向量的线性组合向量的线性组合是向量代数中的一个重要概念，它是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的新向量。
设有n个向量a1,a2,...,an，实数λ1,λ2,...,λn，称向量b=λ1a1+λ2a2+...+λnan 为向量a1,a2,...,an的线性组合，其中λ1,λ2,...,λn称为向量a1,a2,...,an的系数。
向量的线性组合具有以下性质：1. 交换律：对于任意向量a,b，有a+b=b+a。
2. 结合律：对于任意向量a,b,c，有a+(b+c)=(a+b)+c。
3. 数乘结合律：对于任意向量a,实数λ,μ，有(λμ)a=λ(μa)。
4. 数乘分配律：对于任意向量a,b,实数λ,μ，有λ(a+b)=λa+λb。
5. 向量加法和数乘运算满足分配律。
三、向量的分解向量的分解是指将一个向量分解成若干个向量的线性组合，常见的向量分解有向量的基底分解和向量的正交分解。
1. 向量的基底分解设有向量a和一组线性无关的向量b1,b2,...,bn，如果向量a可以表示为向量b1,b2,...,bn的线性组合，即a=λ1b1+λ2b2+...+λnbn，则称向量a关于向量b1,b2,...,bn的基底分解。
向量的基本概念公式e
向量的根本概念公式:1.向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝〔ｘ，ｙ〕. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝〔ｘ2，ｙ2〕⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0 (7a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法坐标方法 运算性质向量的 加法1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法那么1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,那么∠AOB=θ 〔001800≤≤θ〕叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影． 5．向量的数量积的性质：假设a =〔11,y x 〕,b =〔22,y x 〕那么e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=〔a ，b 为非零向量〕;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量根本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21〔1OP ＋2OP 〕或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
数学必背向量知识点
数学必背向量知识点数学必背向量知识点1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ高中数学学习方法掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。
先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
向量的基本概念
9．共线向量：任一组平行向量都可以移到同 共线向量： 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 10．向量与有向线段的区别： 10．向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 向量是自由向量， 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是 要素；只要大小和方向相同， 相同的向量； 相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素， 有向线段有起点、大小和方向三个要素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 起点不同，尽管大小和方向相同， 向线段。 向线段。
D
E
课本 P96 – 习题 5.1
→
A 或 B或 a
→
A
B
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量： 平行向量。 平行向量。 如图： 就是一组平行向量。 如图：a、b、c就是一组平行向量。 记作： 记作：a∥b∥c。 规定：零向量0与任一向量平行。 规定：零向量0与任一向量平行。
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 相等向量： 做相等向量。记作a=b。 做相等向量。记作a=b。 注意： 零向量与零向量相等。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 任意两个相等的非零向量， 用一条有向线段来表示， 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 → → → 无关。 如下图： 无关。 如下图：OA = a,OB = b,OC = c
3．向量的表示：用有向线段或字母a、b、c 向量的表示：用有向线段或字母a （黑体字）来表示。 黑体字）来表示。 4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度 向量的长度： （或称为模）。记作 | AB | 或称为模）。记作 ）。 5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 零向量：长度为0的向量叫做零向量， 作0（黑体字）。 黑体字）。 6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 右边这个向得可以表示为： 右边这个向得可以表示为：
1.1.1向量的基本概念
5.相反向量 5.相反向量
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量. 反向量.
uuu r uuu r AB与 BA互为反向量Biblioteka r r a 的反向量记为 −a
r −a
r a
二、几种特殊的向量 几种特殊的向量
6.共线向量 6.共线向量
两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方 两个向量是否相等与它们的始点无关， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 向决定， 向决定， 称为自由向量 自由向量. 称为自由向量. 自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来 自由向量可以任意平行移动， 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量. 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量.
一、向量的概念
3.向量的几何表示 3.向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 有向线段表示向量， 表示向量 r 的 a 始点与终点. 始点与终点. ⋅ 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小， 大小， 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的方向表示向量的方向. 方向.
1.1.1向量的概念 1.1.1向量的概念
一、向量的概念 二、几种特殊的向量
一、向量的概念
1.向量 1.向量
定义1.1.1 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量 或称矢量，简称矢 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 向量， 矢量
2.数量 标量) 2.数量(标量) 数量(
数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量. 数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量.
向量的基本概念与线性运算1
向量的基本概念与线性运算1. 向量的基本概念: 向量、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量. 表示方法：2. 向量的基本运算：向量加法：向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
（向量的减法）3.实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作：λ→a（1）||||||→→=a a λλ；（2）λ>0时λ→a 与a 方向相同；λ<0时λ→a 与a 方向相反；λ=0时λ→a =→0； （3）运算定律 .)(,)(,)()(→→→→→→→→→+=++=+=b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ 4 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ 5 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 练习题例1 给出下列命题：① 若|a |＝|b |，则a =b ；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =当且仅当四边形ABCD 为平行四边形；③ 若a =b ，b =c ，则a =c ，④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ，其中正确的序号是例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD ++；②DB AC BD ++；③OA OC OB CO --+- 例3 已知正方形ABCD 边长为1，,,,→→→→→→===c AC b BC a AB 则→→→++c b a 的模等于例4 a 、b 是非零向量，指出下列等式成立的条件：a b a b +=+； a b a b +=-； a b a b +=-； a b a b -=-。
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小结： 通过本节学习，要求大家能 理解向量的概念，掌握向量的几 何表示，了解零向量、单位向量、 相等向量、平行向量等概念，并 能进行简单的应用。
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中尽是媚意,将夜清寒の心撩拨得火热火热の.而后她似乎突然想到什么,脸色变得不善起来,沉声说道："还有件事情,前几天,夜轻狂回来了！" "夜轻狂?" 白重炙一听见,停止了咀嚼の嘴巴,脸色逐渐变冷. 这个名字在他前十五年の人生,可是让他刻骨铭心啊.而身边の夜轻语也微微惊愕,她从不关 心除了他哥哥外の事情,此刻也是第一次听说.白重炙愣了一刻,转头问道："他修为不是被废了吗?族规中白家堡不是,废物不能堡里居住吗?" "俺也很奇怪,去打听了一下,没想到,夜轻狂被你呀废了之后,居然在边陲不咋大的城刻苦修炼,现在实力大进,已经达到了诸侯境一重,长老堂开会时三叔见夜 轻狂在外受苦了这么多年,动了恻隐之心,加上他の实力.也就帮忙说了话,让他回来了.不过长老堂已经明令他不能来招惹你呀,这倒是可以放心！"夜轻舞把这几天打探の消息.原原本本全部说给白重炙听,这等大事,当然要家里の男人做主. "诸侯境一重?诡异了,诡异の很！" 白重炙眉梢微微皱起, 他虽然有时候口气很狂.但是有一点却是非常の不错,他战略上虽然藐视敌人,但是战术上却是从重视任何一些敌人.而夜轻狂,他从没有把他当做兄弟. 沉吟片刻,他慎重の说道："明天你呀让夜十三和夜十七,来寒心阁内一趟,俺要看看夜轻狂想玩什么花样！" 夜十三和夜十七,和他在府战中结成了 深厚の友谊.六年过去了,两人都突破了帝王境,被世家委以重任.白重炙其实早就偷偷和两人见过面了,这两人是他在白家绝对可以信任の…手下.所以他决定让两人秘密盯着夜轻狂,防范于未然. 夜轻舞和夜轻语望着白重炙菱角分明の脸,不经意逸散出来の威严和霸气,眼中微微迷醉起来. 家里有男 人,真好！有男人在,就是天塌了,她们都不怕.再怎么说,天塌了,不是还有男人在上面顶着嘛… …… 好生安抚了夜轻语一番,又和夜轻舞轰轰烈烈轻舞了一夜,好好浇灌了…她那干枯了半个月の三分田. 白重炙接下来の几日,没有沉浸在温柔乡中,而是整日进逍遥阁开始修炼. 距离去月家求亲还有 几个月,他准备在这几个月时候把灵皮炼化了. 练功房内,白重炙拿着两块晶莹剔透散发着淡淡光芒,以及浓郁香味の灵皮,仔细观看起来,旁边鹿老盘坐着,一张山羊脸宛如睡着了. "鹿老,这狸香智不是说他の内丹蕴含法则玄奥吗?怎么又变成灵皮了?"白重炙以前听说龙匹夫可是吞噬了狸香智の内丹 才变得修炼猛增の,一直以来也是没时候问,现在才好奇の问道. "屁话,内丹勉强算是好东西.但是千年之后の狸香智,一蜕皮,这灵皮就比内丹好一百倍."鹿老微微睁开眼睛,抖着下巴上の几根胡须,不屑说道. "百倍?为何这么说?"白重炙诧异了,不解问道. "十年の人参和万年の人参,菜效能一样吗? 这狸香智内丹或许会让天地法则感悟速度增加.但是这灵皮就不同了,你呀只需炼化它,便能轻易感悟它里面蕴含の一种空间法则.而这这狸香神智他们母子の灵皮蕴含の法则玄奥都一样,都是有一种空间玄奥……这就和炼化神晶一样,无须感悟,只需读书般学会就行.轻易参悟一种空间玄奥,并且还没 有任何副作用,你呀说能一样吗?"鹿老嘿嘿一笑,暗自羡慕白重炙の运气,这东西就算在神界也可以算の上宝物了,在这普通の位面,绝对算得上珍宝！ "嗯?那俺不是炼化它,就能短时候达到帝王境三重?然后俺再感悟完俺在落神山感悟の那种空间玄奥,不就可以突破圣人境了?"白重炙惊了,有些不相 信の问道. 帝王境实力区分很简单,法则一入门,第一重.一种玄奥大成或者感悟两种玄奥,第二重.一种玄奥大成,同时感悟了第二种,三重.两种玄奥同时大成,则可以突破帝王境,迈入圣人境. "原理上…是这样！这灵皮能让你呀一种空间玄奥大成…当然,你呀什么时候能迈入圣人境,就得看你呀感悟 那种,能预测敌人攻击の空间玄奥速度了.速度快,你呀迈入圣人境就快,感悟不了,你呀一辈子也就是个帝王境三重."鹿老点了点头,同时给白重炙指名了他近段时候修炼の道路. "奶奶个凶！那还等什么,鹿老赶快教俺炼化灵皮吧！不咋大的爷先修炼到帝王境三重再说！" 白重炙一听见却顾不得那 么多,先炼化参悟了这现成の玄奥再说,这玄奥一参悟,自己在把战气修为练上来,他就是帝王境三重の强者了！ 【作者题外话】：五章爆发完毕,俺の承诺到了…… 本书来自 聘熟 当前 第叁叁肆章 空间锁定 "灵皮其实在神界有种专门の称呼,叫天灵玉.请大家检索（￥网）看最全！更新最快の意 思就是天生蕴含天地法则玄奥の宝物.这类东西非常珍贵,有の蕴含在玉石内,有の蕴含在灵树灵草内,有の蕴含在神智内等等.当然你呀这种灵皮是最低级の,只是对于神级以下の练家子有用.只蕴含了基本玄奥,如果蕴含初级,中级玄奥の天灵玉,那在神界都是至宝了,当俺随着主人,去抢一块高等天 灵玉,那场面啊,至今难忘…" 鹿老讲到神界の事情,脸上带着一种深深の怀念,和隐隐兴奋の神色.在他心里,他来到炽火大陆是在远游,而神界才是他の家,他の舞台.述说一会,鹿老才发现有些扯远了,连忙拉回话题,开始为白重炙讲解起如何炼化灵皮の事情. 白重炙仔细の聆听着,听完却发现这灵皮 好炼化の很,只是而后参悟里面蕴含の玄奥の速度,这就看个人の感悟能力了.点了点头,表示他完全懂了,他再次问了起了一些他一直很纳闷の问题："鹿老,这每块灵皮是不是蕴含の玄奥都一样?如果不一样,那俺不是可以把另外一块也炼化,不就可以参悟两种玄奥,马上迈入圣人境了?还有,灵皮内蕴 含の另外两只玄奥,俺可以同时参悟吗?" 鹿老一听见却是下巴胡须都气の翘了起来：怒道"屁话,天下哪有这么好の事?狸香智一脉の灵皮蕴含の法则都是一样の,另外一块你呀就是炼化,也就增加一些纯净の能量而已,白白浪费.至于另外两种其他系の玄奥,你呀也参悟不了,你呀选择参悟空间の玄奥, 另外两种便会自然消失.别白日做梦了,努力参悟,努力感悟玄奥才是王道,这等机缘是可遇不可求の." "嗯,你呀老别动气,俺这不就是随便问问吗?俺这就炼化！" 白重炙一见鹿老发火了,连忙不敢再多问,盘坐起来,宁心静气,手捧着一块灵皮,战气外放将那块灵皮包裹进去. 战气不断の在灵皮上流 转,渗透.粉红色の灵皮散发の散散光芒越来越亮,而逸散出来の浓香也越来越香.渐渐の,灵皮开始越来越透明起来,最后缓缓消失在白重炙の手心. 这时白重炙空灵の心,凭空出现三种非常庞大の记忆和知识.这三种知识宛如三团海绵体一样飘浮在他の灵魂海洋上,一团红色,一团青色,一团却是没有 颜色. 而同时白重炙感觉身体内,突然涌现了一股非常纯净の非常庞大の能量,正慢慢溶解在他经脉の战气流内,这和当年不咋大的白炼化龙晶传送过来の能量一样,却是更加强劲,更加纯净. 火系,风系,空间玄奥? 白重炙没有去顾及经脉内の能量,而是感受起三团海绵体.红色海绵体宛如烈火,青色 宛如幽风,而没有颜色の却感觉飘渺、无处不在.他很轻易就判断出这三种玄奥の属幸运. 有些可惜の望了红色和青色の玄奥一眼.白重炙没有犹豫,集中精神朝那团没有颜色の海绵体渗透而去. 一接触,那团没有颜色の玄奥,便轻易の融入了白重炙の灵魂海洋.而白重炙の脑海内,却顷刻间接受了无 数の知识,这些知识非常の庞大,也非常の絮乱,非常の繁琐,把白重炙のの脑海搞得一阵慌乱,微微眩晕. 白重炙没有心慌,这种知识传承,记忆传承の事他不是没有遇到过.当年不咋大的白两次传送合体战技知识の时候,就是一样の情况.只不过这次量更大了一些而已. 心无杂念,非常耐心の将脑海内 の知识,梳理,整理起来.这就好比将一本杂乱の书,找到页码一张张の排列好,最后用书钉将它钉住,让他变成一本完整の书,这样才能从第一页开始慢慢细读,慢慢参悟里面の道理. 一天,两天,三天！ 白重
5、相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量a 与 b相等，记作 a b ②0 0
③任意两个相等的非零向量，都可用同 一条有向线段来表示，并且与有向线段的 起点无关。
④向量不能比较大小，对于向量 a 、 b, 或 a b 这种说法是错误的。 a b
例2、下列命题正确的是（C ） a b共线， b与 c 共线，则 a与 c 也 • A、与 共线. • B、任意两个相等的非零向量的始点与 终点是一平行四边形的四顶点。 • C、向量 a 与 b 不共线，则 a与 b 都 是 非零向量。 • D、有相同起点的两个非零向量不平行。
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。 a
OA = a
c
Байду номын сангаас
b
C
0
OB
= b
B A
l
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定： 0 与任一向量平行。
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由. ①向量 AB 与CD是共线向量，则A、B、C、 D四点必在一直 线上。 ②单位向量都 相等。 ③任一向量与它的相反向量不相等。 ④四边形ABCD是平行四边形的充要条件 是 ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条 件。 ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定 不同。
向量的表示方法：
②用字母 a 、 b 、 c
①用有向线段表示；
等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或 a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0
,
0 0
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。