ll第三章平面力系
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静力学第三章平面一般力系
工程力学
Engineering Mechanics
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
2
§3–1 平面一般力系向作用面内任一点简化 §3–2 平面一般力系的简化结果分析 §3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §3-4 平面桁架 §3-5 静定与静不定问题的概念 §3-6 摩擦
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
8
平面一般力系简化结果的应用
固定端约束的反力
简图：
R
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶
静力学第三章平面一般力系
9
第二节 平面一般力系的简化结果分析
R ——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =ΣMo(Fi) 与简化中心有关
① R=0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专
静力学第三章平面一般力系
6
.O
O——简化中心
R——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =Σmo(Fi)
与简化中心有关
力学与实践 > 2004年3期 > 关于力系简化静中力主学第矢三是章不平面是一力般的力系讨论
R
. MO O
7
力系向一点简化的特殊情况
（1）通过简化中心的平面汇交力系：简化为通过简化中心 的力，与简化中心的位置无关。 （绝对的，主矢决定于原力系中各力的大小和方向） （2）平面力偶系：与简化位置有关 （相对的，主矩的大小和转向取决于简化中心的位置）
解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
解除约束
由 m A(F i) P 02aN B3a0, N B2 3 P
Engineering Mechanics
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
2
§3–1 平面一般力系向作用面内任一点简化 §3–2 平面一般力系的简化结果分析 §3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §3-4 平面桁架 §3-5 静定与静不定问题的概念 §3-6 摩擦
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
8
平面一般力系简化结果的应用
固定端约束的反力
简图：
R
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶
静力学第三章平面一般力系
9
第二节 平面一般力系的简化结果分析
R ——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =ΣMo(Fi) 与简化中心有关
① R=0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专
静力学第三章平面一般力系
6
.O
O——简化中心
R——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =Σmo(Fi)
与简化中心有关
力学与实践 > 2004年3期 > 关于力系简化静中力主学第矢三是章不平面是一力般的力系讨论
R
. MO O
7
力系向一点简化的特殊情况
（1）通过简化中心的平面汇交力系：简化为通过简化中心 的力，与简化中心的位置无关。 （绝对的，主矢决定于原力系中各力的大小和方向） （2）平面力偶系：与简化位置有关 （相对的，主矩的大小和转向取决于简化中心的位置）
解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
解除约束
由 m A(F i) P 02aN B3a0, N B2 3 P
《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
第三章 平面一般力系
§3–2 平面一般力系的简化
汇交力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用 点在点O 的力R。这个力矢R 称为原力系的主矢。
R F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力 偶，这力偶的矩用MO 代表，称为原力系对简化中心
F1 F2 F3
O 的主矩。
结论：
平面一般力系向平面内任一点的简化结果，
是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中 心的主矩。
§3–2 平面一般力系的简化
主矢、主矩的求法： 1、主矢可用力多边形法则作图求得，或用解析 法计算。
R R R
2 x 2 y
F F
2 x y
2
方向余弦：
F cosR, x
N Cx N Bx 0
'
A
NAy
' NC y
m F 0 :
C
F 0 : F 0:
x
y
P
E
' C N Cx
N N By P G 0
' Cy
3P 5G 6 N By 6 N Bx 0
B
N Bx
N By
NCx 和 NCx、 NCy 和 NCy是二对作用与反作用力。
2、外
3、内
力 ——物体系以外任何物体作用于该系统的力
力——物体系内部各物体间相互作用的力
二、刚体系平衡方程的数目：
由n个刚体组成的刚体系统，总共有不多于3n个独
立的平衡方程。P50 例3-9
§3–3 刚体系统的平衡问题
4、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少 于独立平衡方程数目时的问题。 5、超静定问题 —— 当系统中未知量数目多于独立 平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。
第3章平面一般力系
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面 内且相互平行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
第三章-平面力系【可修改文字】
工程力学 第三章 平面力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
讨论力系的合成和平衡条件的方法可分为： 几何法：直观明了，物理意义明确。 解析法：计算规范﹑程式化，适合于计算机编程。
工程力学 第三章 平面力系
一、几何法
设作用于刚体上的四个力F1、F2、F3、F4，构成平面汇交力
系，根据力的可传性原理，首先将各力沿其作用线移到 O 点，
工程力学 第三章 平面力系
1.力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须 同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点 B的矩。
[证]
力F
力系 F, F, F
力F 力偶（F，F）
工程力学 第三章 平面力系
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
工程力学 第三章 平面力系
思考：
如图所示两种机构处于平衡状态，A，C处约束力和杆CD上 作用的力偶是否相同？
工程力学 第三章 平面力系
三.平面任意力系的简化
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不 汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。
[例]
力系向一点简化： 把未知力系（平面任意力系）变成已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
工程力学 第三章 平面力系
例2-3 如图所示三铰拱，不计拱重。已知结构尺
寸 a 和作用在 D 点的水平作用力F = 141.4N，求支座
A﹑C约束反力 FRA和 FRB。
解（1）取左半拱AB（包 括销钉B）为研究对象。
AB只受到右半拱BC 的作用力和铰链支座A 的约束反力，属于二力 构件。
理论力学第三章平面力系
即
M M O(F ) Fd
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶 合成为一个力，合成的过程就是上述的逆过程
力的平移定理不仅是力系向一点 简化的理论依据，也是分析力对物体 作用效应的一个重要方法。例如图示 厂房柱子受偏心荷载F的作用，为分 析力F的作用效应，可将力F平移至
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第三章 平面力系\平面汇交力系的合成与平衡
3.1 平面汇交力系的合成与平衡
所谓平面汇交力系，就是各力的作用线位于同一平面内且汇交 于一点的力系。
如图(a)所示用起重机吊装钢筋混凝土大梁，吊点C受到绳索拉力 FT1、FT2和吊钩拉力FT的作用，这三个力的作用线都在同一铅垂平 面内且汇交于一点［图(b)］，组成一个平面汇交力系。
计算结果FAB和FAC都是正值，说明图中所示方向为力的实际方向。 滑轮A作用于杆上和钢索上的力F'AC和F'AB分别与图中所示的力FAC 和FAB等值、反向，故杆AC受压力，钢索AB受拉力。
目录
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
3.2 平面力偶系的合成与平衡
作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。例 如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（如图），为保持平衡， 螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到 三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系。
F1
目录
第三章 平面力系\平面汇交力系的合成与平衡
2 .平面汇交力系合力的计算
(1) 力在坐标轴上的投影
在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy。
由力F的起点A和终点B分别向坐标轴作 y
垂线，设垂足分别为a1、b1和a2、b2， b2
《建筑力学》第三章平面一般力系
VS
产生条件
摩擦力的产生需要满足三个条件，即接触 面粗糙、接触面间有正压力和物体间有相 对运动或相对运动趋势。
考虑摩擦时物体平衡问题解决方法
01
02
03
静力学方法
通过受力分析，列出平衡 方程，考虑摩擦力对物体 平衡的影响。
动力学方法
分析物体的运动状态，根 据牛顿第二定律列出动力 学方程，考虑摩擦力对物 体运动的影响。
静定结构特性分析
1 2 3
内力与外力关系
静定结构的内力与外力之间存在一一对应的关系， 即外力的变化会直接导致内力的变化。
变形与位移
在荷载作用下，静定结构会产生变形和位移，但 变形和位移的大小与材料的力学性质有关，与结 构的超静定性无关。
稳定性分析
静定结构在受到微小扰动后，能够自动恢复到原 来的平衡状态，具有良好的稳定性。
求解未知数
通过解平衡方程，求解出未知 的力或力矩。
确定研究对象
根据问题要求，确定需要研究 的物体或物体系统。
列平衡方程
根据平面任意力系的平衡条件， 列出物体系统的平衡方程。
校验结果
将求解结果代入原方程进行校 验，确保结果的正确性。
05 静定结构内力计算
静定结构基本概念和分类
静定结构定义
静定结构是指在外力作用下，其反力和内力都可以用静力学平衡方程求解，且解答唯一确定的结构。
02 平面汇交力系分析
汇交力系几何法求解合力
几何法概念
利用力的平行四边形法则或三角形法则求解汇交力系的合 力。
求解步骤
首先确定各分力的方向和大小，然后选择合适的几何图形 （如平行四边形或三角形）进行力的合成，最后根据图形 求解合力的大小和方向。
注意事项
工程力学静力学第三章平面一般力系
工程力学静力学第三章平面一 般力系
目
CONTENCT
录
• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
目
CONTENCT
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• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
第三章平面力系
平面任意力系实例
三、平面任意力系的简化 （一）力的平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到刚体上任一点O，但
必须附加一力偶，此附加力偶的矩，等于原力对该作用点O 的矩。
（二）平面任意力系向平面内任一点的简化 1.平面任意力系的简化,主矢与主矩 1）简化方法：根据力的平移定理，将各力都向平面内 任意一点平移。
Fx 0 Fy 0
M o (F ) 0
此式为平衡方程的一般式
• 课堂思考：无重水平梁的支承和载荷如图所示。已知F=qa、 力偶矩M=qa2的力偶。求支座A和B处的约束力。
受力图
2.平面任意力系简化结果的讨论
简化的结果，进一步分析可能出现以下四种情况：
（1）FR′＝0，MO≠0 —简化结果为一个力偶，其力偶矩MO等于 力系的主矩，此时主矩与简化中心无关。
（2）FR′≠0，MO=0—简化结果为一个力FR′，而且这个力的作用线 恰好通过简化中心，FR′= FR。
（3） FR′≠0 ，MO≠0——可以把主矩和主矢合成一个合力FR，FR′=FR， FR距离简 化中心O的距离d为:
FR'
2）简化结果： (1)主矢：FR′＝∑Fi′＝∑Fi — 与简化中心无关
F 'Rx F1x F2x Fnx Fx
F 'Ry F1y F2y Fny
Fy
(2)主矩：Mo＝M1+ M2+…+ Mn＝∑Mo(Fi)
• 综上所述，平面任意力系向作用面内任一点简化， 一般可得一个主矢和一主矩，主矢的大小等于原力 系中各分力的矢量和，作用在简化中心上；主矩等 于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。
d
（4）FR′=0，MO=0—物体在此力系作用下处于平衡状态。
第三章平面力系
(3)若FR‘≠0，MO‘≠0，这时根据力的平移定理的 逆过程，可以进一步简化成一个作用于另一点 的合力。
(4) FR‘=0，MO‘=0，则力系是平衡力系 。 综上所述，平面一般力系简化的最后结果 (即合成结果)可能是一个力偶，或者是一个合 力，或者是平衡。 3-1-3合力矩定理 当FR‘=0，MO‘≠0 时，还可进一步简化为一 M o ( FR ) FR d 合力，合力对点的矩是 / / 而 Mo mo ( F ) FR d M o 所以 Mo (FR ) mO (F )
3-1-2简化结果的分析 平面一般力系向一点简化，一般可得到一 个力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。 根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种 情况： (1)若FR‘=0，MO‘≠0，说明原力系与一个力偶等 效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 (2)若FR‘≠0，MO‘=0 ，则作用于简化中心的主 矢FR'就是原力系FR的合力，作用线通过简化中 心。
228 .9kN m
计算结果为正值表示是逆时针转向。
因为主矢
≠0，主矩 FR
/ Mo ，如图 0 (b)所示，
所以还可进一步合成为一个合力FR。 FR的大小、 方向与FR‘相同，它的作用线与点的距离为
M O 228.9 d 0.375m FR 612.9
因为MO正，故m0(FR)也应为正，即合力FR 应在点O左侧，
X
F F
0
二力矩形式的平衡方程 (简称二矩式)
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，平 面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程 和一个投影方程的形式，即
F m m
X
0 0 0
A
B
式中轴不与A、B两点的连线垂直。
建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
ll第三章 平面力系
第三章 平面力系一、填空题1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。
2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。
3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。
二、选择题1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ）(A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ）(A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F ==(D ) 0A B F F =≠ 三、计算题1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。
解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==⨯=⋅P（b ）o 1()sin304000.61202O M P a N m =-⨯=-⨯⨯=-⋅P 图3.2图3.1 图3.3（c ）o o o ()cos20cos204000.03cos2011.3O M P r Pr N m =-⨯=-=-⨯=-⋅P（d）o o 1()sin30cos304000.64000.250.722O M P a P b N m =⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⋅P （e）o o 1()cos60sin 604000.64000.2189.32O M P a P b N m =⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⋅P2．如图3.5所示，在边长2a m =的正方形平板OABC 的A ，B ，C 三点上作用四个力：13F kN =，25F kN =，36F kN =，44F kN =。
理论力学第三章平面一般力系
再研究轮
mO(F)0
SAco R sM 0
X0
XOSAs in0
Y0 SAco sYO0
MPRXOPtg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
23
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§3-7 平面简单桁架的内力分析
24
工程中的桁架结构
25
工程中的桁架结构
26
工程中的桁架结构
18
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
19
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
20
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
平面力偶系的平衡方程
X 0
Y 0
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≧未知力数目—为静定
独立方程数 < 未知力数目—为静不定 五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
m B 0 , Y A 2 .5 P 1 .2 0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 0 8 1 2 2 ( k 4 )N 17
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第三章平面力系
一、填空题
1．力 作用线向O点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该附加一力偶，该力偶的矩等于力F对O点的矩。
2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。
梁BC：由 ，有
联立求解，可得
， ， ，
9．图所示支架由两杆AD、CE和滑轮等组成，B处是铰链连接，尺寸如图所示。在滑轮上吊有重 的物体，求支座A和E处约束反力的大小。
解：（1）分别选整体和杆CE为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
杆CE：由 ，有
其中 。联立求解，可得
解：（1）分别选整体和梁CE为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
梁CE：由 ，有
联立求解，可得
， ， ，
7．连续梁由AB和BC两部分组成，其所受载荷如图所示。试求固定端A和铰链支座C处的约束反力。
解：（1）分别选整体和梁BC为研究对象
（2）受力分析如图所示
， ， ，
10．图所示支架D处是铰链连接。已知 。不计其余构件自重，求固定铰支座A和活动铰支座B处约束反力，以及杆BC的内力。
解：（1）分别选整体和杆CE与滑轮组成的系统为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
杆CE与滑轮组成的系统：
由 ，有
其中 。联立求解，可得
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
梁BC：由 ，有
联立求解，可得
， ， ，
8．图所示支架中， ，滑轮半径 。滑轮和各杆自重不计，若重物重 ，求支架平衡时支座A，B处的约束反力。
解：（1）分别选整体和梁BC为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
选整体为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程
由 ，有
求得 。再用截面法求解杆1、杆2和杆3的内力。
用 截面假想地将桁架截断，并取截面右边部分为研究对象
受力分析如图所示
列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
杆AD：
由 ，有
其中 。联立求解，可得
，
12．支架CDE上受均布载荷作用，载荷集度 ，支架的一端E悬挂重为 的物体。尺寸如图所示。求支座A的约束反力以及BD杆所受的压力。
解：（1）分别选整体和杆CD为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
杆CE：
由 ，有
联立求解，可得
， ，
13．光滑圆盘D重 ，半径 ，放在半径 的半圆拱上，并用曲杆BECD支撑（见图）。求销钉B处反力及活动支座C的反力。
解：（1）分别选整体和曲杆BECD与圆盘组成的系统为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
曲杆BECD与圆盘组成的系统：
由 ，有
由 ，有
解：（1）选梁AB为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
5．求图所示所示的悬臂梁的固定端的约束反力和反力偶。已知 。
解：（1）选梁AB为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
6．水平组合梁的支承情况和载荷如图所示。已知 ， ， 。求梁平衡时支座A，B，E处反力。（图中长度单位：m）
3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。
二、选择题
1．一平面任意力系向点A简化后，得到如图所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A）
(A)作用在点A左边的一个合力(B)作用在点A右边的一个合力
(C)作用在点A的一个合力(D)一个合力偶
2．在刚体同一平面内A，B，C三点上分别作用 ， ， 三个力，并构成封闭三角形，如图所示，此力系是属于什么情况（C）
2．如图所示，在边长 的正方形平板OABC的A，B，C三点上作用四个力： ， ， ， 。求这四个力组成的力系向点O简化结果和最后合成结果。
解：该力系向O点简化的主矢为：
主矢
其方向与x轴正向的夹角为 ，如图所示。主矩为
其还可以进一步简化，其合力的作用线与x轴的交点的坐标为
说明合力的作用线刚好通过C点，如图所示。
(A) 力系平衡 (B) 力系简化为合力
(C) 力系可简化为合力偶 (D) 无法判断
3．均质杆长为 ，重为 ，在D处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A，B处对杆产生的反力 ， 有关系（D）
(A)
(B)
(C)
(D)
三、计算题
1．试求图中力 对点O的矩，已知 ， ， ， 。
解：（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
， ， ，
11．匀质杆AD重 ，与长为 的铅直杆BE的中心D铰接，如图所示。柔绳的下端吊有重为 的物体M。假设杆BE、滑轮和柔绳的重量都忽略不计，连线AB以及柔绳的CH段都处于水平位置，求固定铰链支座A的约束反力。
解：（1）分别选整体和杆AD为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体： 由 ，有
联立求解，可得
， ，
14．已知力 ，用截面法求图所示各桁架中杆1、杆2和杆3的内力。
解：对于（a）图，我们直接采用截面法求解。
（1）用 截面假想地将桁架截断，并取截面以上部分为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 Hale Waihona Puke 有由 ，有由 ，有
联立求解，可得
， ，
对于（b）图，我们先求支座B处的约束反力
3．如图所示，梁AB上受两个力的作用， ，图中长度单位为 ，不计梁的自重，求支座A，B的反力。
解：（1）选梁AB为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
4．简支梁AB的支承和受力情况如图所示。已知分布载荷集度 ，力偶矩的大小 ，梁的跨度 。不计梁的自重，求支座A，B的反力。
一、填空题
1．力 作用线向O点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该附加一力偶，该力偶的矩等于力F对O点的矩。
2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。
梁BC：由 ，有
联立求解，可得
， ， ，
9．图所示支架由两杆AD、CE和滑轮等组成，B处是铰链连接，尺寸如图所示。在滑轮上吊有重 的物体，求支座A和E处约束反力的大小。
解：（1）分别选整体和杆CE为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
杆CE：由 ，有
其中 。联立求解，可得
解：（1）分别选整体和梁CE为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
梁CE：由 ，有
联立求解，可得
， ， ，
7．连续梁由AB和BC两部分组成，其所受载荷如图所示。试求固定端A和铰链支座C处的约束反力。
解：（1）分别选整体和梁BC为研究对象
（2）受力分析如图所示
， ， ，
10．图所示支架D处是铰链连接。已知 。不计其余构件自重，求固定铰支座A和活动铰支座B处约束反力，以及杆BC的内力。
解：（1）分别选整体和杆CE与滑轮组成的系统为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
杆CE与滑轮组成的系统：
由 ，有
其中 。联立求解，可得
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
梁BC：由 ，有
联立求解，可得
， ， ，
8．图所示支架中， ，滑轮半径 。滑轮和各杆自重不计，若重物重 ，求支架平衡时支座A，B处的约束反力。
解：（1）分别选整体和梁BC为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
选整体为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程
由 ，有
求得 。再用截面法求解杆1、杆2和杆3的内力。
用 截面假想地将桁架截断，并取截面右边部分为研究对象
受力分析如图所示
列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
杆AD：
由 ，有
其中 。联立求解，可得
，
12．支架CDE上受均布载荷作用，载荷集度 ，支架的一端E悬挂重为 的物体。尺寸如图所示。求支座A的约束反力以及BD杆所受的压力。
解：（1）分别选整体和杆CD为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
由 ，有
由 ，有
杆CE：
由 ，有
联立求解，可得
， ，
13．光滑圆盘D重 ，半径 ，放在半径 的半圆拱上，并用曲杆BECD支撑（见图）。求销钉B处反力及活动支座C的反力。
解：（1）分别选整体和曲杆BECD与圆盘组成的系统为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体：由 ，有
曲杆BECD与圆盘组成的系统：
由 ，有
由 ，有
解：（1）选梁AB为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
5．求图所示所示的悬臂梁的固定端的约束反力和反力偶。已知 。
解：（1）选梁AB为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
6．水平组合梁的支承情况和载荷如图所示。已知 ， ， 。求梁平衡时支座A，B，E处反力。（图中长度单位：m）
3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。
二、选择题
1．一平面任意力系向点A简化后，得到如图所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A）
(A)作用在点A左边的一个合力(B)作用在点A右边的一个合力
(C)作用在点A的一个合力(D)一个合力偶
2．在刚体同一平面内A，B，C三点上分别作用 ， ， 三个力，并构成封闭三角形，如图所示，此力系是属于什么情况（C）
2．如图所示，在边长 的正方形平板OABC的A，B，C三点上作用四个力： ， ， ， 。求这四个力组成的力系向点O简化结果和最后合成结果。
解：该力系向O点简化的主矢为：
主矢
其方向与x轴正向的夹角为 ，如图所示。主矩为
其还可以进一步简化，其合力的作用线与x轴的交点的坐标为
说明合力的作用线刚好通过C点，如图所示。
(A) 力系平衡 (B) 力系简化为合力
(C) 力系可简化为合力偶 (D) 无法判断
3．均质杆长为 ，重为 ，在D处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A，B处对杆产生的反力 ， 有关系（D）
(A)
(B)
(C)
(D)
三、计算题
1．试求图中力 对点O的矩，已知 ， ， ， 。
解：（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
， ， ，
11．匀质杆AD重 ，与长为 的铅直杆BE的中心D铰接，如图所示。柔绳的下端吊有重为 的物体M。假设杆BE、滑轮和柔绳的重量都忽略不计，连线AB以及柔绳的CH段都处于水平位置，求固定铰链支座A的约束反力。
解：（1）分别选整体和杆AD为研究对象
（2）分别画出它们的受力图
（3）分别列平衡方程
整体： 由 ，有
联立求解，可得
， ，
14．已知力 ，用截面法求图所示各桁架中杆1、杆2和杆3的内力。
解：对于（a）图，我们直接采用截面法求解。
（1）用 截面假想地将桁架截断，并取截面以上部分为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 Hale Waihona Puke 有由 ，有由 ，有
联立求解，可得
， ，
对于（b）图，我们先求支座B处的约束反力
3．如图所示，梁AB上受两个力的作用， ，图中长度单位为 ，不计梁的自重，求支座A，B的反力。
解：（1）选梁AB为研究对象
（2）受力分析如图所示
（3）列平衡方程
由 ，有
由 ，有
由 ，有
联立求解，可得
， ，
4．简支梁AB的支承和受力情况如图所示。已知分布载荷集度 ，力偶矩的大小 ，梁的跨度 。不计梁的自重，求支座A，B的反力。