高考数学 常见题型 平面向量的综合应用

|A→D|＝1，则A→C·A→D＝( )
A．2 3
3 B. 2
3 C. 3
D. 3
【解析】 A→C·A→D＝(A→B＋B→C)·A→D＝A→B·A→D＋B→C·A→D＝ B→C·A→D＝ 3 B→D·A→D＝ 3|B→D||A→D|cos∠BDA＝ 3|A→D|2＝ 3.
故选D．
题型二 向量与三角函数
方法二：(基向量法)∵C→P＝C→A＋A→P，B→A－B→C＝C→A， ∴C→P·(B→A－B→C)＝(C→A＋A→P)·C→A ＝C→A2＋A→P·C→A＝9－A→P·A→C ＝9－|A→P||A→C|cos∠BAC＝9－3|A→P|cos∠BAC. ∵cos∠BAC为正且为定值， ∴当|A→P|最小即|A→P|＝0时，C→P·(B→A－B→C)取得最大值9.
b a－b
＝
sin2C sinA－sin2C
及正弦定理，得
sinB＝sin2C.
∴B＝2C或B＋2C＝π.
若B＝2C，且π3<C<2π，则23π<B<π，∴B＋C>π(舍去)．
若B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵|B→A＋B→C|＝2，∴a2＋c2＋2accosB＝4. 又∵a＝c，∴cosB＝2－a2a2. 而cosB＝－cos2C，12<cosB<1，∴1<a2<43. 由(1)知a＝c，∴B→A·B→C＝a2cosB＝2－a2∈(23，1)．
(2)因为P→E·P→F＝(N→E－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→F－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1， P是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1上的任意一点， 设P(x0，y0)，则有1x620 ＋1y220 ＝1， 即x02＝16－43y20.又N(0,1)，
平面向量的综合应用
题型一 向量与平面几何
例1 已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为AB边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为________．
【解析】 方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直 角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且 0≤y≤3,0≤x≤4，则 C→P ·(B→A－ B→C )＝ C→P ·C→A ＝(x，y)·(0,3)＝ 3y，当y＝3时，取得最大值9.
例2 已知在锐角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋
sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos(
C－3B 2
)取最大值时，B的大
小．
【思路】 向量与三角函数的结合往往是简单的组 合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一 个等式．因此这种题目较为简单．
【解析】 (1)∵p∥q，
∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0.
∴sin2A＝34，∴sinA＝
3 2.
∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.
(2)y＝2sin2B＋cos(C－23B)
＝2sin2B＋cos(
180°－B－A－3B
2
)
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
题型三 向量与解析几何
例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平 面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(P→C＋12P→Q)·(P→C－12P→Q) ＝0.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求P→E·P→F 的最小值．
【解析】 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)． 由(P→C＋12P→Q)·(P→C－12P→Q)＝0， 得|P→C|2－14|P→Q|2＝0. 即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0. 化简得1x62 ＋1y22 ＝1. 所以点P在椭圆上，其方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
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对点训练 (2015·河 南 中 原 名 校 联 考 ) 在 △ ABC 中，A，B，C 为三个内角，a，b，c 为对应的三条边，π3<C<π2， 且a－b b＝sinAsi－n2sCin2C.
(1)判断△ABC 的形状； (2)若|B→A＋B→C|＝2，求B→A·B→C的取值范围．
【解析】
(1)由
点评：平面几何问题的向量解法． (1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向 量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算， 从而使问题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共 线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
对点训练 (1)(2014·山东理)在△ABC中，已知
所以N→P2＝x02＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋ 20.
因为y0∈[－2 3，2 3]， 所以当y0＝2 3时，N→P2取得最小值(2 3－1)2＝13－4 3 (此时x0＝0)． 故P→E·P→F的最小值为12－4 3.
点评：向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理， 也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥 梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．
A→B·A→C＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________． 【解析】 根据平面向量数量积的概念得 A→B ·A→C ＝| A→B
|·| A→C
|cosA，当A＝
π 6
时，根据已知可得|
A→B
|·| A→C
|＝
2 3
，故△
ABC的面积为12|A→B|·|A→C|sin6π＝16.
(2)如图所示，在△ABC中，AD⊥AB， B→C ＝ 3 B→D ，
＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°
＝1－12cos2B＋ 23sin2B＝1＋sin(2B－30°)，
当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.
点评：解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准 确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数 的问题解决．