几种常见的交变电流的有效值和平均值

几种常见的交变电流的有效值和平均值的计算
湖北省襄樊市第一中学（441000）赵兴华
高中物理第二册（实验修订本）《交变电流》一章中列举了几种常见交变电流，即：正弦交变电流、锯齿波电流、矩形脉冲电流和尖脉冲电流。

交变电流的有效值和平均值是两个不同的概念，不少学生在解题中不能很好地区分，造成解题失误。

交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间里产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫这一交流电的有效值；交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值。

教材中只给出了正弦交变电流的有效值，没有给出其他几种交变电流的有效值，也没有给出平均值的大小。

笔者在这里给出它们供大家参考。

一、交变电流的有效值
1、正弦交变电流的有效值
方法一：设有一直流电和一正弦交流电，分别通过同样的电阻R ，经过时间T （T 为该交流电的周期）内产生的热量分别为：Q 直＝I 2RT ，Q 交＝P T ，
则有： I ＝R
P
正弦交流电的瞬时功率： P ＝i 2R ＝t R I m ω22sin ＝)2cos 1(2
1
2
t R I m ω-•
＝
t R I R I m m ω2cos 2
12122- 上式中第一项是不随时间变化的常量，第二项是按余弦变化的量，在一个周期内，第二
项的平均值是零，故有：R I P m 2
2
1=
可得： I ＝m m I I
R P 707.02
==
方法二：用积分的方法对于I ＝I m sin t ω，通过阻值为R 的电阻在dt 时间里产生的热量dQ ，则有：dQ ＝i 2Rdt ＝（I m sin t ω）2Rdt
在1个周期内，t=T ，R 产生的热量： Q ＝
⎰
T
m Rdt t I 0
2)sin (ω＝⎰-T m dt t R I 02
)2sin 2121(ω＝RT I m 22
1
而等效电流I 在相等的时间产生的热量也为Q ，则有：Q ＝I 2RT 所以正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝m m
I I 707.02
=
2、锯齿波电流的有效值：
设有一锯齿波电流的最大值为I m ，周期是
T ，且I m ＝2
T k
， 在半个周期内瞬时电流：i ＝kt
在dt 时间里通过电阻R 上产生热量为： dQ ＝（kt ）2Rdt
在t ＝T 时间通过电阻R 上产生热量为：Q ＝
3
20
2212
1RT k Rdt t k T
=
⎰
故有：I 2＝
3
)2(1211212
2222m
m I T T I T k == 即锯齿波电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝3
m
I
3、矩形脉冲电流的有效值：
（1）若有一矩形脉冲电流，正反向的电流值相等为I m ，且正反向通电时间相等，周期为T ，（如图所示）。

由于电流在半个周期里大小不变等效
于一个大小也为I m 的直流电；而另半个周期里也于一个大小为I m 的反向的直流电。

电流在导体中产生的热量与电流的方向无
关，所以矩形脉冲电流的有效值与最大值
相等，即：I ＝I m 。

（2）若有一矩形脉冲电流正反方向的
电流值不相等，分别为I m 和I m ′，且正反向通电时间相等（如图所示）。

那它们的等效电流就不满足上式。

在一个周期里通过电阻R 产生的热
量为：
Q ＝2
22/2
T R I T
R I m m +
而等效电流I 在相等的时间产生的热
量为：Q ＝I 2RT
则有：I ＝
2/22
2m m I I +
（3）若有一矩形脉冲电流正反方向的电流值不相等，分别为I m 和I m ′，且正反向通电
时间不相等分别为t 1，t 2（如图所示）。

在一个周期里通过电阻R 产生的热量为：
Q ＝22
/12Rt I Rt I m m +
而等效电流I 在相等的时间产生的热量为：
Q ＝I 2R （t 1＋t 2）
则有：I ＝2
12
2/12t t t I t I m m ++
4、尖脉冲电流的有效值：
如图所示尖脉冲电流的正反向最大值分别是I 1和I 2，周期为T=t
2,一个周期内正反向通电时间分别为t 1和
()21t t -。

则可以把该电流看作最大值和周期不同的两个正弦交流电的正反向电流的组合。

设该电流在一个周期的有效值为I ，则有： ())
)
2
2
2
1
21
12
2I R t t Rt Rt +=
+
即：
I =
二、交变电流的平均值
对称交流电在一个周期内的平均值为零，显然失去了物理意义。

但交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值，也等于对称交流电在半个周期内的平均值，这个平均值等于在该时间内通过的电量与时间的比值。

即：⎰==2
022
T idt T T Q I
1、正弦交变电流的平均值：
在半个周期内平均电流：⎰
⎰==2
2
0sin 2sin 2T
m
T m t td T I tdt I T I ωωω
ω
＝
π
ωωωm m T m I
T I t T I 2)11(2)cos (220=+=- 亦可和线圈磁场中匀速转动产生的平均电动势来计算：
m I R NBS t R BS BS N t R N R E I π
πωφ2
2)]([==∆--=∆∆==
2、锯齿波电流的平均值：
在半个周期内的电流的大小与时间成正比：i ＝kt ，其中2
T I k m
=。

在半个周期内的电流平均值：⎰⎰====2020212222
T m m T I tdt T I T idt T T Q I 3、矩形脉冲电流的平均值：
（1）若一矩形脉冲电流，正反向的电流值相等为I m ，且正反向通电时间相等，容易理解在半个周期和一个周期里的平均值均等于正反向的电流值，即：I ＝I m 。

（2）若矩形脉冲电流正反向的电流值不相等，分别为I m 和I m ′，的正反向通电时间相等，在一个周期内电流的平均值为：)(2
1)22(1/
/m m m m I I T I T I T T Q I +=+==
（3）若矩形脉冲电流正反方向的电流值不相等，分别为I m 和I m ′，且正反向通电时间
不相等分别为t 1，t 2，在一个周期内电流的平均值为：
)()
(12/
121t I t I t t T Q I m m ++==。