1.库仑定律和静电场

第一章 电磁现象的普遍规律
内 容 提 要
1 2 3 4 5 6
库仑定律和静电场 毕 奥{萨伐 尔定 律与 静磁 场 麦 克斯 韦(Maxwell)方程 组 介质的电磁性质 电磁场边值关系 电磁场的守恒定律
3 14 29 37 47 54
电磁场的观念
电磁场的观念
★ 电磁场是物质存在的一种形态；
电磁场的观念
0
★ 对库仑定律的两种物理解释： ◆ 两电荷之间的作用力是超距作用：电荷|电荷；
第一节
§
库仑定律和静电场
1.1
库仑(Coulomb)定律
r Q x x Q
Байду номын сангаас
★ 真空中静止点电荷 Q 对另一个静止点电荷 Q 的作用 力 F 的大小和方向 F = QQ r QQ r = · = E (x , x)Q(x) · 4πε0 r3 4πε0 r2 r
∆V →0
f · dS ∆V ρ ε0
§
1.3
高斯(Gauss)定理
1 ε0
★ 高斯定理积分形式： E · dS =
S
ρdV
V
其中 V 由 S 所包围。 由散度的定义： ∇ · f = lim ★ 可得高斯定理微分形式： ∇·E = 【讨论】 ★ 局域 性：电场的散度仅仅与当地的电荷相关； ★ 有源 场：电荷为电场之源 ★ 普适 性：库仑定律为静电场下的结论，但高斯定理却始终成立。
★ 分离电荷分布产生的静电场 力的叠加性导致静电场的叠加性 E (x , x ) = 1 4πε0 qi ri · 2 ri ri
V
i
r ρ(x ) x x
P (x)
★ 对连续的电荷分布产生的静电场： E (x ) = 1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
0
V
§
1.2
电荷产生的静电场
Q r · 2 4πε0 r r
§
1.7
静电场高斯定理的直接证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3 ρ ε0
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
∇·E =
§
1.7
静电场高斯定理的直接证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3 ρ ε0 ρ(x ) [ ∇ ·
∞
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
∇·E = 【证明】 ∇·E = 1 · 4πε0
0
★ 对库仑定律的两种物理解释：
第一节
§
库仑定律和静电场
1.1
库仑(Coulomb)定律
r Q x x Q
★ 真空中静止点电荷 Q 对另一个静止点电荷 Q 的作用 力 F 的大小和方向 F = QQ r QQ r = · = E (x , x)Q(x) · 4πε0 r3 4πε0 r2 r
其中 ε0 为介电常数，又称电容率。
f · dS ∆V ρ ε0
§
1.3
高斯(Gauss)定理
1 ε0
★ 高斯定理积分形式： E · dS =
S
ρdV
V
其中 V 由 S 所包围。 由散度的定义： ∇ · f = lim ★ 可得高斯定理微分形式： ∇·E = 【讨论】 ★ 局域 性：电场的散度仅仅与当地的电荷相关； ★ 有源 场：电荷为电场之源
r ]dV r3
§
1.7
静电场高斯定理的直接证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3 ρ ε0 ρ(x ) [ ∇ ·
∞
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
∇·E = 【证明】 ∇·E = 我们知道：当r = 0时有 ∇· 1 · 4πε0
r ]dV r3
r 1 1 3 3 = ∇ ( 3 ) · r + 3 (∇ · r ) = − 3 + 3 = 0 3 r r r r r
第一节
库仑定律和静电场
第一节
§
库仑定律和静电场
1.1
库仑(Coulomb)定律
r Q x x Q
★ 真空中静止点电荷 Q 对另一个静止点电荷 Q 的作用 力 F 的大小和方向 F = QQ r QQ r = · = E (x , x)Q(x) · 4πε0 r3 4πε0 r2 r
其中 ε0 为介电常数，又称电容率。
ρ(x )(
∞ L
ρ(x )(
∞ L
Q
ρ(x )[
∞ L
其中推导过程中利用了 dl = dr ，以及 r · dr = rdr
§
1.6
静电场的旋度
1 4πε0 ρ( x ) r dV ] · dl r3 r · dl) dV r3 r · dr ) dV r3 1 d(− )] dV = 0 r
dl dr L r
∇·E =
ρ( x ) 4πε0
[∇ ·
r ≤ε
r ρ(x ) ]dV = 3 r 4πε0
(−∇ ·
r ≤ε
r )dV r3
ρ( x ) = 4πε0
r ≤ε
r (− 3 )dS r
又因为r = x − x 与面元dS 反向，且： r · dS = r3 dΩ = 4π
S
故此 ∇·E =
ρ ε0
0
第一节
§
库仑定律和静电场
1.1
库仑(Coulomb)定律
r Q x x Q
★ 真空中静止点电荷 Q 对另一个静止点电荷 Q 的作用 力 F 的大小和方向 F = QQ r QQ r = · = E (x , x)Q(x) · 4πε0 r3 4πε0 r2 r
其中 ε0 为介电常数，又称电容率。
★ 电荷产生的电场： E (x , x ) = 【讨论】 F ∝
1 r (2+δ)
， δ 的极限值 2.7 × 10−15
★ 分离电荷分布产生的静电场 力的叠加性导致静电场的叠加性 E (x , x ) = 1 4πε0 qi ri · 2 ri ri
V
i
r ρ(x ) x x
P (x)
★ 对连续的电荷分布产生的静电场： E (x ) = 1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
Vvc
xvc
xp
axis
xas xd
§
1.5
高斯定理的证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
E · dS =
S
1 ε0
ρdV
V
§
1.5
高斯定理的证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
E · dS =
S
0
V
【 讨论 】 该公式成立条件是电荷静止 ，此时场也不随时间改变。
§
1.3
高斯(Gauss)定理
1 ε0
★ 高斯定理积分形式： E · dS =
S
ρdV
V
其中 V 由 S 所包围。
§
1.3
高斯(Gauss)定理
1 ε0
★ 高斯定理积分形式： E · dS =
S
ρdV
V
其中 V 由 S 所包围。 由散度的定义： ∇ · f = lim ★ 可得高斯定理微分形式： ∇·E =
∆V →0
f · dS ∆V ρ ε0
§
1.4
电荷对电场作用的局域性
double sheath Vd Vp plasma area anode sheath
气体放电一维平板模型
Potential
dV = −E dx
,
dE ρ = dx ε0
d2 V ρ =− 2 dx ε0 电压曲线的曲 率 表征该处是富电子还是富 离子性。
E · dl =
L
[
L ∞
1 = 4πε0 = = 1 4πε0 1 4πε0
ρ(x )(
∞ L
ρ(x )(
∞ L
Q
ρ(x )[
∞ L
其中推导过程中利用了 dl = dr ，以及 r · dr = rdr 由斯托克斯(Stokes)定理 f · dl = (∇ × f ) · dS 可得：
L S
★ 静电场是无旋场： ∇ × E = 0
S r dΩ Q
dS E
S
而x 在S 范围之内(x ∈ S )，有 r · dS = 4π r3
S
如图所示
er · dS = sin θdθdφ = dΩ r2 故当x 在S 范围之外时(x ∈ / S )，有 r · dS = 0 r3
S r dΩ Q
dS E
S
而x 在S 范围之内(x ∈ S )，有 r · dS = 4π r3 1 · 4π 带入即可得： E · dS =
电磁场的观念
★ 电磁场是物质存在的一种形态； ★ 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用； ★ 特点：分布 于广域空间； ★ 描述方法：两个矢量函数； ◆ 电场强度： E (x, y, z, t) ◆ 磁感应强度： B (x, y, z, t) ★ 运动规律：麦克斯韦方程组、洛仑兹力、本构关系式； ★ 研究方法：求解 E 、 B 所满足之偏微分方程。
S
S
将
S
r · dS = r3 1 ε0
0 1
x ∈ /S x ∈S
ρdV
V
§
1.6
静电场的旋度
1 4πε0 ρ( x ) r dV ] · dl r3 r · dl) dV r3 r · dr ) dV r3 1 d(− )] dV = 0 r
dl dr L r
E · dl =
L
[
L ∞
1 = 4πε0 = = 1 4πε0 1 4πε0
★ 电磁场是物质存在的一种形态； ★ 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用；
电磁场的观念
★ 电磁场是物质存在的一种形态； ★ 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用； ★ 特点：分布 于广域空间；
电磁场的观念
★ 电磁场是物质存在的一种形态； ★ 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用； ★ 特点：分布 于广域空间； ★ 描述方法：两个矢量函数；
∞
§
1.9
小结
★ 连续电荷分布产生的静电场为： E (x ) = 1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
其中 ε0 为介电常数，又称电容率。
0
★ 对库仑定律的两种物理解释： ◆ 两电荷之间的作用力是超距作用：电荷|电荷； ◆ 近距作用：电荷|电场|电荷；
§
1.2
电荷产生的静电场
Q r · 2 4πε0 r r
★ 电荷产生的电场： E (x , x ) =
§
1.2
电荷产生的静电场
Q r · 2 4πε0 r r
∆V →0
f · dS ∆V ρ ε0
§
1.3
高斯(Gauss)定理
1 ε0
★ 高斯定理积分形式： E · dS =
S
ρdV
V
其中 V 由 S 所包围。 由散度的定义： ∇ · f = lim ★ 可得高斯定理微分形式： ∇·E = 【讨论】 ★ 局域 性：电场的散度仅仅与当地的电荷相关；
∆V →0
故此上面体积分只需对r = |x − x | ≤ ε的小球进行，这时可取ρ(x ) = ρ(x)，并抽 出积分号外可得：
∇·E =
ρ( x ) 4πε0
[∇ ·
r ≤ε
r ρ(x ) ]dV = 3 r 4πε0
(−∇ ·
r ≤ε
r )dV r3
ρ( x ) = 4πε0
r ≤ε
r (− 3 )dS r
1 ε0
ρdV
V
【证明】 E · dS =
S
1 4πε0
[
S ∞
ρ( x ) r dV ] · dS r3 r · dS )dV r3
1 = 4πε0
ρ(x )(
∞ S
如图所示
er · dS = sin θdθdφ = dΩ r2 故当x 在S 范围之外时(x ∈ / S )，有 r · dS = 0 r3
电磁场的观念
★ 电磁场是物质存在的一种形态； ★ 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用； ★ 特点：分布 于广域空间； ★ 描述方法：两个矢量函数； ◆ 电场强度： E (x, y, z, t) ◆ 磁感应强度： B (x, y, z, t)
电磁场的观念
★ 电磁场是物质存在的一种形态； ★ 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用； ★ 特点：分布 于广域空间； ★ 描述方法：两个矢量函数； ◆ 电场强度： E (x, y, z, t) ◆ 磁感应强度： B (x, y, z, t) ★ 运动规律：麦克斯韦方程组、洛仑兹力、本构关系式；
★ 电荷产生的电场： E (x , x ) = 【讨论】 F ∝
1 r (2+δ)
， δ 的极限值 2.7 × 10−15
§
1.2
电荷产生的静电场
Q r · 2 4πε0 r r
★ 电荷产生的电场： E (x , x ) = 【讨论】 F ∝
1 r (2+δ)
， δ 的极限值 2.7 × 10−15
§
1.8
静电场无旋性的直接证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
∇×E =0
§
1.8
静电场无旋性的直接证明
1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3
【已知】 E (x ) = 【求证】
∞
∇×E =0 【证明】 ∇×E = 1 4πε0 ρ(x )(∇ ×
∞
r )dV r3
1 = 4πε0 1 = 4πε0 =0 中间也可利用
ρ(x )[∇(
∞
1 1 ) × r + 3 (∇ × r )]dV 3 r r
ρ(x )[−
∞
3r 1 × r + 3 × 0]dV 5 r r
∇×
r 1 = −∇ × (∇ ) = 0 3 r r
§
1.9
小结
★ 连续电荷分布产生的静电场为： E (x ) = 1 · 4πε0 ρ(x ) r dV r3