数字谜题的所有解上

●数学活动课程讲座●

数字谜题的所有解(上)

罗增儒

(陕西师范大学数学与信息科学学院,710062)

收稿日期:2007-11-15

(本讲适合初中)

我国古代称数字谜为“虫食算”,指的是这样一类计算问题:算式里运算数字或运算符号不全(好像被虫子吃掉了),要求根据式子给定的数量关系,把所缺的运算数字或运算符号确定出来.

此处考虑一类特殊的数字谜———九个数码全出现.比如,

□□□□×□□□□□ 1738

×

4

6952□□□×□□ 297

×185346

在这两个乘法算式中,非零数码1、2、3、

4、5、6、7、8、9恰好各出现一次.

又如,找出由这九个数码恰好出现一次组成的九位数中的平方数

□□□□□□□□□=(□□□□□

)2,有　139854276=118262

(最小的平方数),

923187456=303842

(最大的平方数).再如,算式

32547891×6=195287346,

左右两边都是“九个数码恰好出现一次”,它是数字谜题

□□□□□□□□×□=□□□□□□□□□的一个解,而

51249876×3=153749628,16583742×9=149253678,

也是题目的解.

本文介绍如何求出此类问题的所有解.1　要点提示

求解此类问题要特别注意:

(1)认真理解题意.

弄清数字有什么要求、运算有什么要求.(2)观察与分析.

观察运算式的结构特征,分析主要难点,找出各种数量关系(有时就是多元方程组),特别是要找出首位、末位中的等量关系或不等关系,运算中的进位关系等.

(3)计算与推理相结合.

由结构特征与数量关系,通过计算与推理确定数码的位置特征或位置的数码特征.

(4)选择突破口.

从上面的分析中,选择信息量最大的数字或位置作为解题的突破口,从首位、末位、进位出发是常见的选择.

(5)筛选与淘汰相结合.

分类穷举,或正面肯定某数码属于某数,或反面否定某数码属于某数(反证法),边筛选边淘汰,确定各个数字或各个数位中的数码.

(6)分类穷举,找出所有的数字.(7)检验.

首先是确保逻辑上不重不漏,运算没有笔误;其次是梳理解法,精简过程.2　问题选讲

例1　将1、2、3、4、5、6、7、8、9各用一次组成两个数,使其中一个数是另一个数的两

2中等数学

倍.求出所有满足条件的解.

讲解:因为九个数码组成两个数,故一个为五位数,另一个为四位数.

用M =ABCDE 表示五位数,N =FGHI 表示四位数.于是,原问题即M =2N ,

或

F G H I

+F G H I A B C D E

.

结论1　A =1,E 为偶数.

观察运算式的首位、末位可见,2×F 有进位,A =1,F ≥5.又E ≡2I (m od 10),故E 为偶数.

结论2　5在M 的B 、C 、D 中,F ≥6.用反证法.

若5在N 中,由5×2=10知,B 、C 、D 、

E 中会出现0或1.但由A =1知B 、C 、D 、E

不小于2.这一矛盾说明,5只能在M 中,进而,F ≥6.又E 为偶数,故B 、C 、D 中必有5.

结论3　9在N 中,8在M 中且在与9.

若不然,9在M 中,则

N =FGHI <9000,M =2×FGHI <18000.

于是,M 中的B ≠9.

又E 为偶数,故等于9的只能是C 或D .

(1)若D =9,则H =412×H 没有进位,有C ≡2G (m od 10),得C 为偶数.再由B 、C 、D 中必有5知B =5.

从而,F =7.此时,

M =15C 9E ,N =7G 4I ,M =2N .由于2×G ,2×I 都有进位,故G 、I 只能是2、3、6、8中的6、8.

又2×7648=15296,2×7846=15692,都是“6重复两次,3没有出现”,不合题意.

故D ≠9.

(2)若C =9,则G =412×G 没有进位,

有AB =2×F ,得B 为偶数.再由B 、C 、D 中必有5知D =5.

从而,H =7.此时,

M =1B 95E ,N =F 47I ,M =2N .

由于2×F ,2×I 都有进位,故F 、I 只能

是2、3、6、8中的6、8.

又2×6478=12956,2×8476=16952,

都是“6重复两次,3没有出现”,不合题意.

故C ≠9.

综上,9不能在M 中,只有9在N 中.又由2×9=18及数码不重复知,8在M 中且在与9相应的位置上.

结论4　7在N 中.

若不然,7在M 中,则M 中有1、5、7、8且E 为偶数,N 中有9.

(1)若B =7,则F =

17-1

2

=8,与数码不重复矛盾.故B ≠7.

(2)若C =7,由G ≠8知G =

7-1

2

=3.一方面,由2×G +1=7知,2×H 应有进位;

另一方面,AB =2×F ,B 为偶数,而E 为偶数,必有D =5,进而推出H =2或7.

但C =7,故H =2,2×H 又不应有进位,这一矛盾说明C ≠7.

(3)若D =7,由H ≠8知H =

7-1

2

=3.由2×H 没有进位知C 为偶数,而E 为偶数,必有B =5.

由AB =15=2×F +1,知F =15-1

2

=7,与数码不重复矛盾.故D ≠7.

综上可知,7在N 中.

结论5　M 、N 均为3的倍数,M 中有1、3、4、5、8,N 中有2、6、7、9;或者M 中有1、4、

3

2008年第3期