电路 第十章
电路分析原理第十章-傅里叶分析全文编辑修改
(2) 奇函数 定义 设有函数f(t)，如果满足f(t)=-f(-t)(10-8) 则称f(t)为奇函数(odd function)， 以f(o)(t)表示。 奇函数的波形是关于原点对称的。正弦函数sinωt是奇函数， 其波形如图10-3b所示。
图10-3 偶函数与奇函数的波形 a) 偶函数cosωt b) 奇函数sinωt
第三节 周期电流、电压的最大值、有效值与平均值
一、非正弦电流、电压的最大值 ∗二、三角函数组的正交性质 三、有效值 四、平均值
一、 非正弦电流、电压的最大值
图10-9 非正弦周期电流、电压的最大值 a) 电流最大值含义 b) 电压最大值含义
∗二、三角函数组的正交性质
∗二、三角函数组的正交性质
1.有内阻抗、 △接正弦对称三相电源的一种等效电路
(4) 两个电流源激励、△接电源置零 两个电流源激励、 △接 电源置零、将△接阻抗ZS变成Y接阻抗ZS′后的电路如图10-18d所 示［图中给线电流及电流源的端电压加上标(2)］， 图中有 (5) 线电流及电流源端电压叠加
图10-4 关于横轴对称的波形
3. bk计算
1.波形特点 2.傅氏级数 3. ak、
四、 关于横轴对称的波形
1.波形特点
前半个周期的波形后移半个周期，与后半个周期的波形关于横 轴对称(在图10-4中，给出了一个横轴对称的波形)，数学表达 式为
f(t)=-f t+T/2
(10-17)
2.傅氏级数
一、 瞬时功率 二、 平均功率 三、 功率测量
第四节 非正弦稳态电路的功率
图10-11 非正弦稳态单口网络
一、瞬时功率
二、平均功率
1) 非正弦稳态电路中的平均功率， 等于各次谐波电压、 电 流单独形成的平均功率之代数和。 2) 不同频率的电压与电流不形成平均功率。
电路分析原理第十章 傅里叶分析
2.奇、偶函数的基本性质
2.奇、偶函数的基本性质
二、 1.波形特点
关于纵轴对称的波形
2.傅氏级数
3. ak计算
1.波形特点 将右半平面波形关于纵轴旋转180°， 与左半平面波形重叠
(图10-3a波形是关于纵轴对称的)， 数学表达式由式(10-7)给出。
纵轴对称波形的函数是偶函数。
2.傅氏级数
2.同时对称于原点与横轴的波形
表10-1 几种对称波形的傅氏级数及其系数计算公式
2.同时对称于原点与横轴的波形
图10-7 纵轴对称波形及其频谱图 a) 纵轴对称波形 b) 幅值频谱 c) 初相频谱
2.同时对称于原点与横轴的波形
图10-8 纵、横轴对称波形及其频谱图 a) 纵、横轴对称波形 b) 幅值频谱 c) 初相频谱
3. ak计算
三、 1.波形特点
关于原点对称的波形
2.傅氏级数
3. bk计算
1.波形特点 将右半平面波形关于纵轴旋转180°， 再关于横轴旋转180°，
与左半平面波形重叠(图10-3b波形是关于原点对称的)， 数学
表达式由式(10-8)给出。原点对称波形的函数是奇函数。
2.傅氏级数
要满足式(10-8)给出的f(t)=-f(-t)这个条件， 比较式(10-1)与 式(10-14)， 必须有a0=0 ak=0 由此得原点对称波形的傅氏级数为 f(t)=∑∞k=1bksinkω1t(10-16) 图10-4 关于横轴对称的波形3. bk计算 f(t)为奇函数， f(t)sinkω1t为偶函数， 这样由式(10-3)与 式(10-12)得 bk=4T∫T/20f(t)sinkω1tdt
二、 关于纵轴对称的波形
一、 1.函数的奇、偶性
电路第十章含有耦合电感的电路
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第10章电路邱关源课件PPT
电路第十章含有耦合电感的电路电路§1010--1 1 互互感1121i 111'22'L 2N 2L 1N 1i 222212ΨΨΨ+±=12111ΨΨΨ±=电路22122111i L Mi ΨMi i L Ψ+±=±=1111i L Ψ=2222i L Ψ=21212i M Ψ=12121i M Ψ=**ML 1L 2+−i 1i 2u 1u 2+−11'22'dt di Mdt di L dt d u 21111±=Ψ=dtdi L dt di M dt d u 22122+±=Ψ=ML 1L 2+−i 1i 2u 1u 2+−122122111i L Mi ΨMi i L Ψ+±=±=2111I M j I L j U &&&ωω+=2212I L j I M j U &&&ωω+=Mj Z M ω=121≤=L L Mk 22211112ΨΨΨΨ=k电路§1010--2 2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算I L j R U &&)(111ω+=[]I M L L j R R U &&)22121(−+++=ω1R R 1L −+1u −+uM••i 1R R ML −21−+1u −+ui I L j R U &&)(222ω+=[]I M I M j L j R &&)(−=−+11ωω[]I M I M j L j R &&)(−=−+22ωω电路[])22121(M L L j R R U I−+++=ω&&))222111((M M L j R Z L j R Z −−+=+=ωω)22121(M L L j R R Z −+++=ω))222111((M M L j R Z L j R Z ++=++=ωω)22121(M L L j R R Z ++++=ω电路cos10002**12M1R 2+−iu s4522000°∠Z cos 22121×L L ∠2电路1R R 1L −+1u −+uM••i SS 826.05.125.782121=×===L L ML L M k ωωωΩ−∠=−=−+=o46.904.35.03)(111j M L j R Z ωΩ∠=+=−+=o4237.65.45)(222j M L j R Z ωΩ∠=+=+=o57.2694.84821j Z Z Z o &050∠=U57.2659.557.2694.8050−∠=∠∠==oo &&Z U I1212121Z I X jI R I S =+=AV 63.14025.1564237.659.52222⋅+=∠×==j Z I S oAV 12525057.2659.550*⋅+=∠×==j I U S o &&21S S S +=A V .....⋅−=−∠×=631575934690435952j o1R R 2L j ω1L j ω−+U&••I&1I &I &Mj ω2111I j I L j R U M &&&ωω++=)(1R R 2L j ω1L j ω−+U&••I&1I &I &Mj ω22212111)()(I L j R I j U I j I L j R U M M &&&&&&ωωωω++−=−+=2221I L j R I j U M &&&)(ωω++=2112I I I I I I &&&&&&−=−=[]I j I M L j R M &&m ωω±+=111)(1R R ML −1−+U&I&1I &I &ML −21R R ML +1−+U&I&1I &I &ML +222212111)()(I L j R I j U I j I L j R U M M &&&&&&ωωωω++±=±+=[]222I M L j R I j U M &m &&)(ωω++±=)()(1111I I j I L j R U M &&&&−±+=ωω电路410CL =ωH 05.0662410510411===−×××C L ωA87.36025.0240320010)(2111o o &&−∠=+∠=−+−+=j M L M L j R U I AB ωV13.53387.36025.0120)(12o o &&∠=−∠×=−=j I M L j U ED ωW2.0025.03202211=×==I R P电路+−U S500 V o13ΩIR 25Ω1j ωL 2I 1**j ωM+−U S500 V o13ΩIR 25Ω1j (+)ωL M 2I 1()22电路()+−U S500 V o13ΩIR 25Ω1j (+)ωL M 2I 1电路§1010--3 3 空心变压器空心变压器()21111I j I L j R U M &&&ωω++=11Z22Z MZ 2221112221111)(Y M Z U Y Z Z U I M ω+=−=&&&1R 1L j ω••−+1U &1′••2R 2L j ωR ω••2′2221)(0I jX R L j R I j L L M &&++++=ωω1222⋅−=I Z Z I M &1⋅I电路11222111112221112)(Y M jX R L j R U MY j Y Z Z U Y Z I L L M M ωωω++++−=−−=&&&−+1U &222)(Y M ω1I 12221112221111)(Y M Z U Y Z Z U I M ω+=−=&&&Z 2I −+111U MY j &ω1222⋅−=I Z Z I M &电路1R 1L j ω••−+1U &1′••2R 2L j ωR ω••2′Ω==50111j L j Z ωΩ+=++=123222j jX R L j Z L L ωΩ−=+=37.3184.7123400)(222j j Y M ωo &021001∠=U o &&2.675.337.3184.7502/100)(2221111−∠=−+=+=j j Y M Z U I ωo o &&84.12666.51232.675.3202212∠=+−∠×=−=j j Z I M j I ω)84.12610cos(266.5)2.6710cos(25.321oo +=−=t i t i电路cos3142115**+−u sa i 112L 1L 2R LM电路+−a b422Ω−Ωj189U 1I 1电路§1010--3 3 理想变压器理想变压器1N ••1−+1u ••2N ••−+u 21i n −••1−+1••11u n 2211N u N u =12211=+i N i N 122211=+i u i u 1N N电路11N ••1−+1u ••2N ••−+u 21in ••1−+1••11u n −22211nu u N N u −=−=212112ii i n N N ==电路11N ••1−+1u ••2N ••Z ••1−+1u 11I U Z in &&=1N ••1−+1u ••2N ••Z Ln in Z n I U n I U Z 221211=−==&&&&L n Z n I U n 2212=−=&&电路1−+s u ••Z −+2u −+1u 110:Ω+=+×==300300)33(1022j j Z n Z L in inZ −+sU &1I 13003001000220011j Z R U I in s ++∠=+=&&09.3644.0−∠=211I nI &&−=12I n I &&=A9.364.4−∠=电路21210I nI I &&&==1−+s u ••−+2u −+1u 1n sU U &&=1000221∠==s c U nU &&22I U Z in &&=Ω===1)1(12111R n I n U n &&9.364.433102202−∠=++∠=+=j Z Z U I L in oc &&in−+oc u 2i电路1••iI &−+1U &22••2I &−+2U &−+1u 1:2R 1I &ii I U R &&1=221212)11(1I U R R U R &&&−=++−11U U n &&=)(22112R U U I n I n I i &&&&&−−=−=121U U n &&=i I n R n nR nR U &&=−++)211(2121Ω==381ii I U R &&电路Ω−5j V 4=sU &Ω−=)5(222j n Z in Ω+−=5120141222n j j Y 05120122=+−n j j 22=n 2211Z n Z in =100=Ω=42Z 100421=n 51=n W 04.01004422m ax=×=×=ssUR U P电路)1(21==R R 21122111I L j I M j U I M j I L j U &&&&&&ωωωω+=+=21,1)2(L L M k ==1R 1L j ω••−+1U &1′••2R 2L j ωR ω••2′−+2U&2121u u L L =121212L L L L L L 221212221111I L j I L L j U I L L j I L j U &&&&&&ωωωω+=+=n=电路nL L L =∞→211211i ni −=212111I L L L j U I &&&−=ω2121I L L I &&−=n L L =21)3(221111I L L j I L j U &&&ωω+=电路M j Z L j R Z L j R Z M ωωω=+=+=222111221211I Z I Z U I Z I Z U M M &&&&&&+±=±=U Z Z Z Z Z I MM &m &22121−=U Z Z Z Z Z I MM &m &22112−=U Z Z Z Z Z Z I I I M M &m &&&2212121−+=+=22212111)()(I L j R I j U I j I L j R U M M &&&&&&ωωωω++±=±+=电路。
电路分析第十章-二端口网络
双口网络参数间的相互换算
一般情况下，一个双口网络可以用以上四种参数中 的任何一种进行描述 （只要它的各组参数有意义），这 四种参数之间可以相互转换
Y参数方程
I1
I2
= =
Y11U1 Y21U1
+ Y12U 2 + Y22U 2
Z参数方程
U1 = Z11I1 + Z12I2 U 2 = Z21I1 + Z22I2
Y参数与Z参数的关系
I1 I2
=
[Y
]
UU12
UU12
=
[Z
]
II12
I1 I2
=
[Y
][Z
]
I1 I2
∴[Y][Z]=[E] [Y]=[Z]-1 [Z]=[Y]-1
例10.2-4: 求图(a) 所示电路的Z参数矩阵和Y参数矩阵。 .
3U3
.
1 I1
2Ω
+. U1
. 1 I1 Z1 +. U1 -
Z3
. I2 2
Z2
- +.
(Z21-Z12)I1
+. U2
-
1‘
2‘
图(b) 含受控源的T形等效电路
Z2 Z1
= Z12 = Z11 −
Z12
Z3 = Z 22 − Z12
U1 = Z11I1 + Z12I2 = Z11I1 + Z21I2 + (Z12 − Z21)I2 U 2 = Z21I1 + Z22 I2
1Ω
+ .2I1 2Ω
+. U3
. I2 2
+. U2
1‘
解：由Z参数方程：
第十章 电路的复频域分析
1 i (0 ) I ( s) U L ( s) sL s
U L ( s) sLI ( s) Li(0 )
复频域 阻抗
1 i (0 ) I ( s) U L ( s) sL s
复频域 导纳
注意参 考方向
复频域的戴维宁模型
复频域的诺顿模型
复频域阻抗(complex frequency-domain impedance) ：
例3 C1 2F, C2 3F, R=5,
uC1 (0) = 10 V, uC2(0) = 0。
求开关闭合后的两电容电流iC1(t)、iC2(t)及电压u(t)。 解：
诺顿模型
I10 ( s ) 20
2s
12 3s 60s 12s I C 2 ( s ) 20 12 15 1 1 1 1 2s 3s 5s s s 5 5 25 25
i2 ( t )
1
1 4 6 t 3 5 t 5 t I ( s ) ( t ) e ( t ) e ( t ) te (t ) A 2 3 3 2
1 4 6 t 3 5 t 5 t e e te ( t ) A 2 3 3
1 1 12 s 4 IC 2 ( s) 1 1 3s 3s s s 25 25
8 t 8 ic1 (t ) 1I c1 ( s ) 1 12 25 [12 (t ) e 25 (t )] A 1 25 s 25 8 t 12 ic2 (t ) 1I c 2 ( s ) 1 12 25 [12 (t ) e 25 (t )] A 1 25 s 25 t 4 25 u(t ) 1U ( s) 1 4 e (t ) V 1 s 25
电路邱关源第五版10第十章
di1 di2 u1 L1 M dt dt 0 1 t M i1 (t ) 0 u1 ( )d i2 (t ) L1 L1
理想变压器模型
考虑理想化条件： k 1 M L1 L2
L1 , L1 L2 N1 N 2 n
M L2 1 L1 L1 n
1 i1 (t ) i2 (t ) n
大小，不改变阻抗的性质。
n2Z
注意 理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的
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已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为 例1 使RL获得最大功率，求理想变压器的变比n。 RS RS n:1 + + * * uS RL uS n2RL _ – 解 应用变阻抗性质 当 n2RL=RS 时匹配，即
M k 1 L1L2
def
F11= F21 ，F22 =F12
M M2 ( Mi1 )( Mi2 ) 12 21 k 1 L1L2 L1i1L2i2 11 22 L1L2
注意 耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、
空间磁介质有关。
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例
i1
M
i2
i1 + * u1 L1 _
返 回 上 页 下 页
②反接串联 R1 L1 i
+ + u1 * M – + u
L2 R2 *u – 2 –
+ i R
u
–
L
u R1i L1 di M di L2 di M di R2i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2M ) di Ri L di dt dt
10n2=1000
电路理论基础习题答案第十章
答案解：0<t 时，电容处于开路，故V 20k 2m A 10)0(=Ω⨯=-C u由换路定律得：V 20)0()0(==-+C C u u换路后一瞬间，两电阻为串联，总电压为)0(+C u 。
所以m A 5k )22()0()0(1=Ω+=++C u i再由节点①的KCL 方程得：m A 5m A )510()0(m A 10)0(1=-=-=++i i C答案解：0<t 时电容处于开路，电感处于短路，Ω3电阻与Ω6电阻相并联，所以A 3)363685(V45)0(=Ω+⨯++=-i ，A 2)0(366)0(=⨯+=--i i L V 24)0(8)0(=⨯=--i u C 由换路定律得：V 24)0()0(==-+C C u u ，A 2)0()0(==-+L L i i 由KVL 得开关电压：V 8V )2824()0(8)0()0(-=⨯+-=⨯+-=+++L C i u u答案解：0<t 时电容处于开路，0=i ，受控源源电压04=i ，所以V 6.0V 5.1)69(6)0()0()0(1=⨯Ω+Ω===--+u u u C C0>t 时，求等效电阻的电路如图(b)所示。
等效电阻Ω=++-==5)36(4i ii i i u R时间常数s 1.0i ==C R τ0>t 后电路为零输入响应，故电容电压为：V e 6.0e )0()(10/t t C C u t u --+==τΩ6电阻电压为：V e 72.0)d d (66)(101t Ctu Ci t u -=-⨯Ω-=⨯Ω-=)0(>t答案解：0<t 时电感处于短路，故A 3A 9363)0(=⨯+=-L i ，由换路定律得： A 3)0()0(==-+L L i i求等效电阻的电路如图(b)所示。
(b)等效电阻Ω=+⨯+=836366i R ，时间常数s 5.0/i ==R L τ 0>t 后电路为零输入响应，故电感电流为 A e 3e )0()(2/t t L L i t i --+==τ)0(≥t电感电压V e 24d d )(21t L tiL t u --==)0(>tΩ3电阻电流为A e 23632133t L u i u i --=Ω+⨯Ω=Ω=Ω3电阻消耗的能量为：W 3]e 25.0[1212304040233=-==Ω=∞-∞-∞Ω⎰⎰t t dt e dt i W答案解：由换路定律得0)0()0(==-+L L i i ，达到稳态时电感处于短路，故A 54/20)(==∞L i求等效电阻的电路如图(b)所示。
电路原理--第十章--邱关源全文编辑修改
(R2 jL2 )I2 jL2I3 jM (I1 I3) kI1
(
jL1
jL2
j1
C
)I3
jL1I1
jL2 I2
jM (I3 I1) jM (I3 I2 ) 0
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例2 求图示电路的开路电压。
I1 R1
M12
• L1
L2 •
US +
_
解1
M31 L3 *
*+
M23 U oc
+ R1 I1
US _
+
L3+M12–M23 –M13
U o_c
I1
R1
U S
j(L1 L3
2M31)
Uoc
j(L3 M12 M 23 M 31)U S R1 j(L1 L3 2M )31
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例3 要使 i=0，问电源的角频率为多少？
M R
i
解
当 M 1 C
L1
L2
解
10V 0 t 1s
u2 (t)
M
di1 dt
10V 0
1t 2 t
2s
10t 0 t 1s
i1 20 10t 1 t 2s
0
2 t
u(t)
R1i1
L
di1 dt
10100t0t
50 V 150V
0
0 t 1s 1 t 2s 2 t
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10.2 含有耦合电感电路的计算
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4.互感线圈的同名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i 与 符合右螺旋定则，其表达式为：
u11
dΨ11 dt
《电路》邱关源g(第五版)第10章
u1
–
º
Z = 混联电路
例2. 列写下图电路的方程。
I1
•
M R1 L1 L3 R3 L2 R2
I2
+
_
•
US 1
•
+ _
I3
•
US 2
•
• R1 I 1 + • 支路电流法： R2 I 2 + • •
• • • • • + + + = j L1 I 1 j MI 2 j L3 I 3 R3 I 3 U S 1 • + • + • + • = • j L2 I 2 j MI 1 j L3 I 3 R3 I3 U S 2 • I 3 = I1 + I 2
di > 0 dt
u21 = M di > 0 dt
电压表正偏
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线，要确定其 同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
当断开S时，如何判定？
在正弦交流电路中，相量形式的VAR： • j M •
+
U1
I1
•
* j L1
+ * •2 j L2 U _
I2
_
I1
•
+
N 1Φ 11 , i1 N 2Φ i1
21
实际互感 最大互感
L2 = N 2Φ i2 N 1Φ i2
22
L1 = M =
, M =
12
一般情况存在漏磁 \
即 F11> F21 ，F22 >F12 K<1 即 F11= F21 ，F22 =F12 K=0 K=1
M 2 < L1 L2
第10章 非正弦周期电流电路
P0 P1 P2 ......
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有
P I 2R I02R I12R I22R Ik2R
注意
1. 只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。 非同频率的平均功率为零。
10.3 有效值、平均值和平均功率
非正弦周期函数的有效值
若 i(t ) I0 Ikmcos(kω1t ψk )
则有效值:
k 1
I 1 T i2dt
T0
1 T
T
2
0
I0
Ikmcos kω1t
k 1
ψk
dt
I
I
2 0
1 2
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
非正弦周期函数的频谱
由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数
的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。 频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为
频谱图或频谱。
1. 幅度频谱：f(t)展开式中Akm与 (=k 1)的关系。反映了各频率成份
2. 电路中产生非 正弦周期波的原 因是什么？试举 例说明。
3. 有人说：“只要 电源是正弦的，电 路中各部分的响应 也一定是正弦波” ，这种说法对吗？ 为什么？
4. 试述谐波分析法 的应用范围和应用 步骤。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数 f(t) = f(t+kT) (k = 1, 2, 3, …) 若满足狄里赫利条件
非正弦 周期量 (激励)
不同频率 正弦量的和
电路基础 第十章
+ + R2 － －ki1 M * L2
C
解
R1 + + R2
I1
US
1
－
－k
I
2
1
*jωL1 jωM * jωL2 3
j 1
C
(R1 jL1) I l1 jL1 I l3 jM (I l2 I l3 ) U S
(R2 jL2 ) I l2 jL2 I l3 jM (I l1 I l3 ) k I 1
di dt
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
0
3.耦合电感的T型等效
①同名端为共端的T型去耦等效
1
I1
j M
I2
2
I1 1
jL*1
*jL2
j(L1-M)
I2 2
j(L2-M)
3I
jIM
3
U 13 jL1 I 1 jM I 2 j (L1 M ) I 1 jM I
空间磁介质有关。
互感现象
利用——变压器：信号、功率传递
避免——干扰
克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感 作 用。
3. 耦合电感上的电压、电流关系
当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从 而在线圈两端产生感应电压。
当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋法则时，
根据电磁感应定律和楞次定律有
U 23 jL2 I 2 jM I 1 j (L2 M ) I 2 jM I
I I1 I2
小结
如果耦合电感的2条支路各有一端与第3条支路形
成一个仅含3条支路的共同结点，则可用3条无耦合的
电感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为：
电路分析基础[第十章状态方程]课程复习
![电路分析基础[第十章状态方程]课程复习](https://img.taocdn.com/s3/m/df687b6c1ed9ad51f01df26c.png)
第十章状态方程10．2．1 基本概念与定义一、状态变量在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来确定电路全部响应的一组独立完备的变量。
对于一个电路，状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容上的电压和电感电流作为状态变量。
在含R、L、C的动态电路中，状态变量的数目就等于电路图中独立储能元件的数目。
二、状态方程用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程，称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系。
三、输出方程用来从已知的激励和状态变量求响应的代数方程，称为输出方程。
它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
10．2．2 状态方程的列写方法线性电路状态方程的列写方法主要有：观察法、叠加法和拓扑法。
一、观察法观察法列写状态方程的步骤：(1)选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；(2)对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独立电感的回路列写KVL 方程；(3)若第(2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则利用适当的KCL 和KVL方程，将非状态变量消去；(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
二、叠加法叠加法是基于替代定理和线性叠加定理的一种方法，用叠加法列写状态方程的步骤为：(1)用电压为UC 的电压源替代电路中的电容、用电流为iL的电流源替代电路中的电感；(2)求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流iC 和电感中的电压uL；(3)应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程；(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
三、拓扑法拓扑法即是借助网络图论法列写状态方程的方法，用拓扑法列写状态方程的步骤为：(1)将电路图变为拓扑图；(2)选择一棵常态树，它的树枝包含了电路中所有电压源支路和电容支路，以及一些必要的电阻支路，不包含任何电流源支路和电感支路；(3)对单电容树枝割集列写KCL方程，对单电感连枝回路列写KVL方程，消去非状态变量；(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
电子科大《电路分析》第10章 正弦稳态分析
解： 2f 100 rad / s
u1 (t ) 50 cos(100t 30)V u2 (t ) 100 cos(100t 150)V
今后我们所见到的正弦波无非以三种形式来描述：
u2 (t ) 100 cos(100t 150)V I1m 560 A 2. I m I m I cos I sin I1m 6 j 7 A 3. I m m m
§10-4 三种基本电路元件伏安关系的相量形式
电阻:
U m RI m ,
U RI
U RI ,
u i
同相 正交
正交
电感:
U m jLI m ,
U jLI
U LI ,
u i 90
I jCU
电容:
I m jCU m ,
12 90,13 210, 23 120
13 150
规定相位差
二、正弦电压电流的相量表示
由欧拉公式有:
e
j
cos j sin
e
j (t )
cos(t ) j sin( t )
U e j 令U m m
§10-3 基尔霍夫定律的相量形式
虽然相量法将微分方程在正弦激励下的特解化成了
复数方程的求解，但对高阶电路，微分方程的建立仍是
一件很困难的工作。
对正弦激励下的电路，能否象直流激励下的电阻电 路那样，用观察法直接写出复数方程，回答是肯定的. 只要引入KCL, KVL和元件VCL的相量形式及相量模 型，就可以将电阻电路的所有分析方法推广到正弦稳态 电路。
一、简单推导
i1 i2 i3 0
电路原理第十章：分布参数电路总复习(总结)
1'
匹配线） （1）终端接 Z 2 = Z C（匹配线） ）
& （2）终端开路 ( I 2 = 0) ）
u2 = 230sin(ω t )
λ
i3 = 0.15 2 sin(ω t + 900 )
u(t)
R
C
1
l
2
2′
i
1' ZC
i2
1 图示电路， 例：图示电路，无损线长为 λ ， 4 一端开路， 另一端短路， 一端开路， 另一端短路，试证无论电压源
λ/4
1
x
2
接在何处（除二端部外），电压源输出 接在何处（除二端部外），电压源输出 ）， 功率始终为零。 功率始终为零。
. Us
ZC ,α
2′
Z1短 = jZ C tgα l
Z1开 = − jZ C ctgα l
1 1 1 1 1 1 1 = − − = + j( + ) Z Z C Z开 Z短 150 50 3 150 3
Z = 60∠ − 67 Ω
0
1
l1
Z
a
l2
2
u2
2′
（2）u2 , i3 ）
uS
1'
& = U [cos( 2π l ) + sin( 2π l )] & US a λ 1 λ 1 & & U a = −U S
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0
i
去耦等效电路
+
u
Leq
如全耦合：L1L2=M2
–
当 L1L2 ，Leq=0 (短路)
当 L1=L2 =L ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变)
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② 异侧并联
i
M
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
+ u
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
–
i1 *
i2
L1 * L2
i = i1 +i2
定义 ：磁链 ， =N
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空心线圈， 与i 成正比。当只有一个线圈时：
1 11 L1i1 L1为自感系数，单位亨(H)。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自 磁链与互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2i2 M i21 1
称M12、M 21为互感系数，单位亨(H)。
当 L1=L2 时 , M=L
L= 4M 顺接 0 反接
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在正弦激励下：
j M
R1 j L1
j L2
I + U 1 *• – *+ •U 2 –
+
U
–
U ( R1 R2 ) I jω( L1 L2 – 2M ) I
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相量图： (a) 顺接
j M
R1 j L1
j L2
u11
dΨ11 dt
N1
dΦ11 dt
L1
di1 dt
i1 u11
上式说明，对于自感电压由于电压电流为同 一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述 便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。
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对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈 上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈 的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决 这个问题引入同名端的概念。
②注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含 互感电压。
③一般采用支路法和回路法计算。
例1 列写电路的回路
电流方程。
R1 i1 uS * L1
+ + R2 － －ki1 M * L2
C
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解
R1
+ + R2
i1 1uS － －ki12
* L1
M3
* L2
C
(R1 jL1)I1 jL1I3 jM (I2 I3) US
L
di dt
R R1 R2 L L1 L2 2M
注意 L L1 L2 2M 0
M
1 2
(L1
L2 )
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互感的测量方法：
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
M L顺 L反 4
全耦合时 M L1L2
L L1 L2 2M L1 L2 2 L1L2 ( L1 L2 )2
注意 线圈的同名端必须两两确定。
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确定同名端的方法：
(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入2
•*
1
2
3
1'
2' 1'
2*'
•
3'
(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入 时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
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同名端的实验测定：
+
R S 1i i *
1'
2 *
+
V
2'
–
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di dt
0,
u22'
M
di dt
0
电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，
要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加
以判断。
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由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程
L2
di2 dt
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
i1
M
i2 _
+* u_1 L1
L2 u2 *+
写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
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例 已知R1 10, L1 5H, L2 2H, M 1H,求u(t)和u2(t)
U 1
jL1
I1
jM
I2
U 2 jM I1 jL2 I2
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注意
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取 正，否则取负。表明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关； （2）与线圈的相对位置和绕向有关。
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4.互感线圈的同名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i 与 符合右螺旋定则，其表达式为：
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
首页
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
返回
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
0
0 t 1s 1 t 2s 2 t
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10.2 含有耦合电感电路的计算
1. 耦合电感的串联
R1 L1
M
L2 R2
①顺接串联
i + u1 * – +* u2 –
+
u
–
u
R1i
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2i
(
R1
R2
)i
(L1
L2
2M
)
di dt
+i R
++ LL22 uu22
–
––
––
iM
+
i1
u (L1－M)
–
i2 (L2－M)
i1
(L1－M)
i2
(L2－M) M
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4. 受控源等效电路
i1
M i2
+ u1
** L1
+ L2 u2
–
–
I1
+ j L1
U1
+
jMI2
––
•
•
•
U 1 jL1 I1 jM I 2
•
•
•
U 2 jL2 I 2 jM I1
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
0
返回 上页 下页
3.耦合电感的T型等效
①同名端为共端的T型去耦等效
I1 j M
1
jL*1 *
I2
2
jL2
1 I1
j(L1-M)
I
I2 2 j(L2-M)
jM
同名端 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流
入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两 个对应端子称为两互感线圈的同名端。
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11
s
0
i1 *• N1 i2 •△ N2 i3
N3 *△
+ u11 – + u21 – + u31 –
u21
M
21
di1 dt
u31
M 31
d i1 dt
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2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
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等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
*
M31
L3
*
M23
L1–M12 L2–M12
*
L3+M12
M31 *
M23
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13 L1–M12 +M23
L3+M12–M23 –M13
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变压器
返回 上页 下页
变压器
返回 上页 下页
有载调压变压器
返回 上页 下页
小变压器
返回 上页 下页
调压器 牵引电磁铁
整流器
电流互感器
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1. 互感
11
21
N1 i1
+ u11 –
N2 + u21 –
线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通， 同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称 为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。