组合数学习题答案卢开澄

解：C（24，5）*13！
题 求 3000 到 8000 之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
解：根据题意，千位可以从 3，4，5，7，6 中选取，个位可以从 1，3，5，7，9 中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232
题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！
解：由序数法公式可知 1!+1=2!
分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n 个女生先排成一排，形成 n+1 个空。因为 m n 1正好 m 个男生可以插在 n+1 个空中，形成不相邻的关系。
p p n n1
则男生不相邻的排列个数为 nm
(b) n 个女生形成一个整体有 n！种可能，把它看作一个整体和 m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。
列？(c) 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少？
解：（a）可将 5 个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，
（b）用 x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有 8 个空缺，
YXYXYXYXYXYXYXY
在其中任取 5 个得到女生两两不相邻的排列数：
题 证明 nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.
证： nC(n 1, r) n (n 1)!
(r 1) n!
(r 1) n! (r 1)C(n, r 1)
r ! (n r 1)! (r 1) r! (n r 1)! (r 1)! (n r 1)!
所以左边等于右边 组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出 1 个，再从余下的 n-1 个中取 r 个；
2．若 A，B 之间存在 2 个男生，A，B 之间共有 5 个人，所有的排列应为
P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2
3．若 A，B 之间存在 3 个男生，A，B 之间共有 6 个人，所有的排列应为
P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2
4．若 A，B 之间存在 4 个男生，A，B 之间共有 7 个人，所有的排列应为
题 证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式: ,0≤ai≤i,i＝1,2,…。
证：对 n 用归纳法。
先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。
假设对小于 n 的非负整数，命题成立。
对于 n,设 k!≤n＜(k+1)!,即 0≤n-k!＜k·k!
由假设对 n-k!,命题成立，设，其中 ak≤k-1,，命题成立。
r 1
(n r)! (n r)! r
p p (b) (n r 1)
n
(n r 1) •
n!
n! n 等式成立。
r 1
(n r 1)! (n r)! r
p p (c)
n
n1
n
•
(n 1)!
n!
n 等式成立。
n r r n r (n r 1)! (n r)! r
p p p (d)
题 有 N 个不同的整数，从中间取出两组来，要求第 1 组的最小数大于另一组的最大数。 解题思路：（取法由大到小） 第 1 步：从 N 个数由大到小取一个数做为第一组，其它 N-1 个数为第二组， 组合数为：c（n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)} 第 2 步：从 N 个数由大到小取两个数做为第一组，其它 N-2 个数为第二组， 组合数为：c（n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)} … 第 n-2 步：从 N 个数由大到小取 n-2 个数做为第一组，其它 2 个数为第二组，组合数为：c（n,n-2）*{c(2,1)} 第 n-1 步：从 N 个数由大到小取 n-1 个数做为第一组，其它 1 个数为第二组，组合数为：c（n,n-1）*{c(1,1} 总的组合数为：
题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b| 5；
解：（1）：由|a-b|=5 a-b=5 或者 a-b=-5，
由列举法得出，当 a-b=5 时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有 45 对。
当 a-b=-5 时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有 45 对。
2·2!+1·1!+1=3!
3·3！+2·2！+1·1！+1=4！
n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!
所以 1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！=(n+1)!－１
题 试证： (n 1)(n 2)(2n) 被 2n 除尽。
证明：因 (2n)! 2n n!(2n 1)!!
C(n,1) {C(n 1,1) C(n 1, 2) C(n 1, n 1)} C(n, 2) {C(n 2,1) C(n 2, 2) C(n 2, n 2)} C(n, n 2) {C(2,1) C(n, n 1) C(1,1)}
题 6 个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？ 解：第 1 步从特定引擎对面的 3 个中取 1 个有 C(3,1)种取法， 第 2 步从特定引擎一边的 2 个中取 1 个有 C(2,1)种取法， 第 3 步从特定引擎对面的 2 个中取 1 个有 C(2,1)中取法，剩下的每边 1 个取法固定。 所以共有 C(3,1)• C(2,1)• C(2,1)=12 种方案。
第六位为 0 时，只有 1 个 0； 这样总共的 0 数为：100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。
题 n 个相同的球放到 r 个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。 解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用 r-1 个“|”把 n 个“O”分成 r 份，要求是每份至少
题 求 1 至 1000000 中 0 出现的次数。 解：当第一位为 0 时，后面 6 位组成的数可以从 1-100000，共 100000 个 0； 当第二位为 0 时，当第一位取 0-9 时，后面 5 位可以取 1-9999，此外当第一位取 0 时，后面 5 位还可以取为
10000，这样共有 9999*10+1=99991 个 0； 同理第三位为 0 时，共有 99901 个 0； 第四位为 0 时，共有 99001 个 0；第五位为 0 时，共有 90001 个 0；
n
n
r
n!
r
n!
n!(n r 1) r
n!
(n 1)! n! r r n! (n 1)! n1
r r1 (n r)! (n r 1)! (n r 1)! (n r 1)!
(n r 1)!
(n 1 r)! r
(e)利用(d)的结论可证明本题。
p p n
n1
(a) n
r
r 1
p p p n1
n
n
(d) r
r
r
r 1
(b) pn (n r 1) pn
r
r 1
p p p n1
n
n1
(e) r! r(
r
r 1
r 1
pr ) r 1
p p (c)
n
n
n1
r nr r
,r n
p p 解：(a) n n1 n • (n 1)! n! n 等式成立。
2030 260 *530 240 * 220 *530
它们最大公因子为 240 *530 转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它的整数是
2a *5b ,0 a 40,0 b 30
根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=1271
题 试证 n2 的正除数的数目是奇数。
证明：设有 0 a n, n b n2 , 则一定有表达式 n2 a b ， 则 可知符合范围的 a 和 b 必成对出现，所以为偶数。 又当 a=b=n 时，表达式 n2 =a b 仍然成立。 所以 n2 的正除数的数目是“偶数 1”为奇数。
因此，共有 n ! (m 1)!种可能。
(c)男生 A 和女生 B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有 2！种可能，
A、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！
(这里实际上是 m+n-2 个学生和 AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为 2! (m n 1)!
题 26 个英文字母进行排列，求 x 和 y 之间有 5 个字母的排列数
所以这样的序列有 90 对。
（2）：由题意知，|a-b| 5 |a-b|=1 或|a-b|=2 或|a-b|=3 或|a-b|=4 或|a-b|=5 或|a-b|=0；
由上题知当|a-b|=5 时 有 90 对序列。
当|a-b|=1 时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有 49*2=98 对。
等式右边：n 个不同球中任意取出 r+1 个，并指定其中任意一个为第一个。 所以两种方案数相同。
n
题 证明等式： kC(n, k) n2n1 k 1
证明：
等式左边
n k 1
n
n k
1 1
n
n k 1
n k
1 1
n
n1 s0
n
1
s
nC(n
1,
0)
C(n
1,1)
C(n 1,n 1) n2n1 右边
P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2
5．若 A，B 之间存在 5 个男生，A，B 之间共有 8 个人，所有的排列应为
P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2
所以总的排列数为上述 6 种情况之和。
题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中 m,n 都是正整数，若
(a)男生不相邻 (m n 1) ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生 A 和女生 B 排在一起；
(n
1)(n
2)(2n) 2n
n!(n
1)(n 2)(2n) n!2n
(2n)! nБайду номын сангаас2n
(2n
1)!!
因为(2n-1)!!是整数所以 (n 1)(n 2)(2n) 能被 2n 除尽。
1．8 题 求1040 和 2030 的公因数数目。
解：因为1040 240 *540 240 *530 *510
C（8，5）×7！×5！
（c）先取两个男生和 3 个女生做排列，情况如下：
6. 若 A，B 之间存在 0 个男生，
A，B 之间共有 3 个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2
1．若 A，B 之间存在 1 个男生，
A，B 之间共有 4 个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2
有一个球。如下图所示： 00|00000000|00000000|00000|000000…… 对于第一个分界线，它有 n-1 种选择，对于第二个分界线只有 n-2 个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们
之间就没有了球，这不合要求)，依次第 r-1 个分界线只有 n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!, 所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。 题 8 个盒子排成一列，5 个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
再证表示的唯一性：设, 不妨设 aj＞bj,令 j=max{i|ai≠bi}
aj·j!+aj-1·(j-1)!+…+a1·1! =bj·j!+bj-1·(j-1)!+…+b1·1!,
(a j bj ) j! (bi ai ) i! j! i i! bi ai i! (bi ai ) i! 矛盾，命题成立。
解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有 8 种。而不同标志的球的排列有 p55 5!。所以共有 8*5！种排列。
8 种排列如下两类。因为要求空盒不相邻，途中 1 代表球
a) 1
1
1
1
b)
1
1
1
1
在 a)中 剩下的一个球有四种位置，b)中剩下的一个球也有四种位置，两者合起来一共有 8 种
题 n 和 r 都是正整数，而且 r n ，试证下列等式：
当此类推当|a-b|=2，序列有 48*2=96 对，当|a-b|=3 时，序列有 47*2=94 对，当|a-b|=4 时，序列有 46*2=92 对，
当|a-b|=0 时有 50 对
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
题 5 个女生，7 个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排