高一数学两平面的平行判定和性质检测试题

典型例题一

例1：已知正方体ABCD-ABQD,. 求证：平面

ABQ,//平面GBD .

证明：T ABCD-A1B1C1D1为正方体，•••

D1A//C1B ,

又GB二平面C1BD ,

故D1A//平面GBD . 同理D1B1 //平面

C1BD .

又D1A D1B^ -D1,

•平面AB1D1//平面GBD .

说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离.

典型例题二

例2：如图，已知'■ // '■ , A a , A三卅a // ：.

证明：过直线a作一平面，

求证：a :-.

:=耳,- =b .

T I

• a^/b

又a/L

/. a//b

在同一个平面内过同一点A有两条直线a,ai与直线b平行

二a与ai重合，即a二：-.

说明：本题也可以用反证法进行证明.

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.

已知：如图，〉// I “A.

求证：丨与］相交.

证明：在［上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点A ,

与1有公共点B .

二与〉、［都相交.

设=a，: = b .

T ： // '■

/. a//b

又I、a、b都在平面内，且I和a交于A .

T I与b相交.

所以I与1相交.

典型例题四

例4:已知平面:// - , AB , CD为夹在a,

CD的中点.

求证：EF //■ , EF // -.

证明：连接AF并延长交［于G .

•/ AG CD=F

••• AG , CD确定平面，且 :=AC ,

'■ = DG .

，所以AC // DG ,

.ACF =/GDF ,

又.AFC "DFG , CF =DF ,

△ ACF 也厶DFG .

• AF =FG .

又AE =BE ,

••• EF // BG , BG

故EF // .

同理EF // :

说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.

典型例题六

例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为

A、B i、C i、D i，且A、B i、C i、D i互不重合，也无三点共线.

求证：四边形ABiGD i是平行四边

形.

证明：T AA _〉，DD i _ ：■

二AA // DD i

不妨设AA和DD i确定平面1 . 同理BB i和CG确定平面.

又AA 〃BB，且BB i

二AA〃

同理AD //

又AA AD = A

'-//

又口仃0 =AD i，□仃Y = B i C i

…A i D i // B i C i .

同理A i B i//C i D i.

.四边形A i B i C i D i是平行四边形.

典型例题七

例7设直线l、m ,平面:、，下列条件能得出:「的是（）.

A . I 二汽，m 二汽，且l // '- , m/「

B . I 二：z , m 二，，且l // m

C. l _ ：• , m .I 匸，且l // m D . \ II 工,m// -，且l 〃m

分析：选项A是错误的，因为当l//m时，：•与［可能相交.选项

B是错误的，理由同A .选项C是正确的，因为l_〉，m〃l，所以m_：・，又//■.选项D也是错误的，满足条件的:可能与1相交.

答案：C

说明：此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致. 本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.

典型例题八

例8 设平面:•一平面，平面1 一平面，且:1分别与相交于a、b ,

a//b .求证：平面://平面一：.

分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 :上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与-平行（如图）.

证明：在平面〉内作直线PQ _直线a，在平面一：内作直线MN _直

•••平面〉—平面，

/. PQ _平面 ,MN —平面 ,

/. PQ// MN .

又；a〃p , PQ a 二Q , MN b 二N ,

「•平面〉〃平面一：.

说明：如果在〉、1内分别作PQ _ , MN _，这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在:•、［内，如果直接在：•、1内作a、b的垂线，就可推出PQ//MN .

由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面

平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”.其核心是要形成

应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要.

典型例题九

例9 如图所示，平面://平面［，点A > C :,点B、D「，AB二a 是〉、

［的公垂线，CD是斜线.若AC二BD二b , CD二c, M、N分别是AB和CD

的中点，

(1)求证：MN // 一：；

(2)求MN的长.

分析：(1)要证MN // 1，取AD的中点P，只要证明MN所在的平面PMN 11■:.为此证明PM 111 , PN I/'■-即可.⑵要求MN之长，在：CMA 中，CM、CN 的长度易知，关键在于证明MN _CD，从而由勾股定理可以求解.

证明：(1)连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PN .

•/ M 是AB 的中点，••• PM II BD .

又BD 一：，二PM II -.