最新电大作业-工程数学考核作业(第四次)

第3章 统计推断

一、单项选择题

1 设1x ，2x ，…，n x 是来自正态总体()2,σμN ()均未知2,σμ的样本，则（A ）是统计量。

A 1x

B μ+1x

C 22

1σ

x D 1x μ

2 设1x ，2x ，3x 是来自正态总体()2,σμN ()均未知2,σμ的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计。 A {}321,,max x x x B

()212

1

x x + C 212x x - D 321x x x -- 二、填空题

1 统计量就是不含未知参数的样本函数。

2 参数估计的两种方法是点估计和区间估计。常用的参数点估计有矩估计法和极大似然估计法两种方法。

3 比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性。

4 设1x ，2x ，…，n x 是来自正态总体()2,σμN ()已知2σ的样本值，按给定的显著性水平α检验00:μμ=H ；01:μμ≠H ，需选取统计

量

U =

5 假设检验中的显著性水平α为“弃真”错误（或“第一类错误”）发生的概率。 三、解答题

1 设对总体X 得到一个容量为10的样本值

4.5，2.0，1.0，1.5，3.5，4.5，6.5，

5.0，3.5，4.0 试分别计算样本均值x 和样本方差2s 。

解：样本均值：()45.355.65.45.35.1125.410

1

101101+++++++++==∑=i i x x

6.33610

1

=⨯=

样本方差：

()

()2

10

1

212

6.39111∑∑==-=--=i i n i i x x x n s

()()()()()()()[]

22222226.35.66.35.46.35.36.35.16.316.326.35.491

-+-+-+-+-+-+-=

+()()()[]

2226.346.35.36.3591

-+-+- ()16.001.096.141.881.001.041.476.656.281.091

+++++++++= 88.29.2591

=⨯= 2 设总体X 的概率密度函数为

()()1,01

;0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩

其它

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ。3P 214例 解：⑴矩估计法求θ的估计量

()()()θθ

θ

θθθθ

++=

++=+==+∞

+∞-⎰⎰210121121

0x dx x x dx x xf X E 样本的一阶原点矩为∑==n

i i x n x 1

1

令()x X E =，得x =++θθ

21，从中解出∑∑==Λ--=--=n

i i

n

i i x n x n x

x 1

11112112θ

θθ是Λ

的矩估计量。

⑵ 极大似然估计法求θ的估计量

似然函数：()()()()n n x f x f x f x x x L ⋯=⋯2121;,,θ ()()θθn n x x x ⋯⋅+=211 两边取对数，得()()()121n lnL nln ln x x x θθθ=++⋯ 求导，()121n dlnL n

ln x x x d θθ

=+⋯+， 令

0dlnL

d θ

=，得 ()1201n n

ln x x x θ

+⋯=+，从中解得 ()

()

()

1

121

1n

i i n

n i

i n ln x n

ln x x x ln x θΛ

==+=--=-

⋯∑∑，

Λ

θ是θ的极大似然估计。

3 测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）： 108.5，109.0，110.0，110.5，112.0

测量值服从正态分布()2,σμN ，在⑴5.22=σ⑵2σ未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间。

解：⑴在5.22=σ情况下，有95.01=-α，所以05.0=α，2

12

α

α-

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛ΦZ

975.0=，查正态分布数值表有()975.096.1=Φ，于是96.12

=αZ ，

又()1101125.1101101095.1085

1

11=++++==∑=n i i x n x

于是6141.1083859.11102

1

96.11105

5.29

6.11102

=-=⋅

-=⋅

-=-n

Z x σ

α

3859.1113859.11102

1

96.11105

5.29

6.11102

=+=⋅

+=⋅

+=+n

Z x σ

α

于是μ的置信度为0.95的置信区间是[]3859.111,6141.108 ⑵在2σ未知的情况下，有 总体均值μ的置信区间是：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡

+-n s x n s x λ

λ

, 查t 分布数值表可知，

()776.205.0,4==t λ

计算知：()1101125.1101101095.1085

1

5151=++++==∑=i i x x

()

()()()()[]

22222

12

1105.1101101101101091105.1084

1

11-+-+-+-=--=∑=n i i

x x n s ()21101124

1-+

()875.1425.00125.24

1

=++++= 所以70.15

875

.1776.2=⨯

=n

s λ

3.10870.1110=-=-n s x λ

70.11170.1110=+=+n

s x λ

故μ的置信度为0.95的置信区间是[]70.111,3.108。

4 设某产品的性能指标服从正态分布()2,σμN ，从历史资料已知

4=σ，抽查10个样本，求得均值为17，取显著水平05.0=α，问原

假设20:0=μH 是否成立。 解：作假设20:0=μH ；20:1≠μH

由样本均值：17=x ，又40=σ，选统计量：