数理逻辑与集合论—参考试卷解答
高等数理逻辑作业答案
无限集合初步z写出集合论公理的一阶描述. 解答外延公理:空集公理:偶对公理:并集公理:子集公理:幂集公理:无穷公理:替换公理:正规公理:选择公理：□z证明:可数符号表上有限长字符串集合是可数的.证明假设给定的可数符号表是集合 , 则 {长度是 的字符串的集合 . {长度是 的字符串的集合 .{每个 都是可数集合, 这可数个可数集合的并集是可数的.高等数理逻辑作业全部]xy(]z(z J x ?z J y)> x =y )^x ]y(y J x)./]xy ^u ]z(z J u ?z=x Z z=y).]x ^u ]y(y J u ?(^z(z J x [y J z))).]x 1,l ,x n ]x ^y ]z(z J y ?z J x [9).]x ^y(]z(z J y ?z N x )).^x(IJ x [(]y(y J x >y +J x ))).]x 1,l ,x n ]x(<> ^y ]z(z J y ?^u J x 9[u,z])).]x(x=I> ^y(y J x [y Q x=I ))./]x(x=I> ^y(91[92))./A 1S 1=A 2S 2={ab|a,b J A}l S n□z证明: .证明可以仅考虑开区间 内的实数, 证明可以按照以下方式构造双射: □公理集合论初步z空集是函数. 证明是一个函数, 当且仅当以下性质成立:其中{ 是公式 {是公式是一个函数. 这是因为:在上述定义中, 两个蕴涵式的前提不成立.□z对于集合 及 , 则它们的交集是集合.证明这个集合是存在的, 是由子集公理保证的:相应的集合是 、一阶公式是 . □z对于集合 及 ,它们的卡氏积 是集合. 对于以下两个实数:对应于以下实数:R .R #R (0,1)(0,1)#(0,1).(0,1).u=0$a 0a 1a 2l v=0$b 0b 1b 2l w=0$a 0b 0a 1b 1a 2b 2l a 91[92.91]x(x J a > ^uv(x=< u ,v> )).92]uvw(< u ,v> J a [< u ,w> J a > v =w ).I x J a > ^uv(x=< u ,v> ),< u ,v> J a [< u ,w> J a > v =w x y a-b={x|x J a [x J b}./a-b={x J a|x J b}./a x Jb /x y x #y={<u ,v> |u J x,v J y}证明对于集合 及 , 乘积 的存在性可以由子集公理保证:其中:{ 是集合:{ 是公式: . □z假设 是两个集合, 存在 到 的满射. 证明: 存在 到 的单射.证明假设 是满射, 则可以定义 到 的映射 : 是单射, 这是因为当 时, , 所以□公理集合论及自然数理论初步z证明: 存在无限集合 证明定义以下公式 :其中{ 是公式: . {是公式: .对任意的 , 存在唯一一个函数 满足由此可知, 对任意的 , 存在唯一的 使得根据替换公理, 可知存在集合这时对每个 , 考虑集合因为 是满射, 所以 不是空集, 任取 作为 的象, 则可以定义 到 的映射 . a b a #b a #b={w|w J c [9(w)}.c 3(3(x)P 3(a P b)).9(w)^uv(u J a [v J b [w=<u ,v> )A,B A B B A f:A >B B A g y J B f -1({y})={x J A|f(x)=y},f f -1({y})x J f -1({y})y B A g g y 1=y 2J B /f -1({y 1})Q f -1({y 2})=I g(y 1)=g(y 2)./{0,{1},{{2}},{{{3}}},l }.)(x,y)(x=0> y =x )[(\x=0> ^f(91[92[y=f(x)))91func (f)[0J dom (f)[f(0)=x [dom (f)=x +92]u(u J dom (f)[u +J dom (f)> f (u +)={f(u)})n J =f 91[n][92.n J =a )[n,a]..={a|^n(n J =[)[n,a])}.0,{1},{{2}},{{{3}}},lJ ..□z证明: 证明假设 是两个自然数, 满足 , 这时, 根据定义可知:若 , 则 {从 可知 , 因而 .{从 可知 , 因而 .这时集合 不满足正规公理:这个矛盾表明 .□命题逻辑的可靠性证明命题逻辑具有可靠性. 证明如下定义公理系统:z公理:{ : . { : . {: .z规则:定义 为: 存在公式序列 使得z 或者 ;z 或者 是公理; z 或者存在 , 使得 是 . 且 是 .这时, 对任意的赋值 , 都有同时所以这是命题逻辑的可靠性质. 如下定义公理系统:当 且 ,时, . 若 , 则 .]mn(m J =[n J =[m +=n +> m =n).m,n m +=n +m P {m}=n P {n}.m=n/m J m P {m}m J n P {n}m J n n J n P {n}n J m P {m}n J m x={m,n}x=I> ^y(y J x [y Q x=I )./m=n 91A > (B > A )92(A > (B > C ))> ((A > B )> (A > C ))93(\A > B )> ((\A > \B)> A )A,A > B B.D U C < A 1,A 2,l ,A n > A iJ > A ij,k< i A k A j > A i A n C v v(91)=1,v(92)=1v(93)=1.v(A)=1v(A >B )=1v(B)=1D UCD X Cz公理:z规则:{ . 单调性{反证法{三段论{演绎定理 {,{{{, {,{可以类似地验证可靠性.□命题逻辑完备性对任意的极大协调集合 及公式 , 有以下性质:z当且仅当 . 证明若 则 . 若 , 则这时 , 与 的协调性相矛盾.所以 . 若 则 . 若 , 则根据极大协调集合的定义, 可知 是不协调的,所以 , 这与 相矛盾, 所以 .□A U A.D U A D ,D d U AD ,\A U B 且D ,\A U\B D U A.D U A 且D U A > B D U B.D ,A U B D U A > B .D U A [B D U AD U A [B D U B.D U A 且D U B D U A [B.D ,A U C 且D ,B U C D ,A Z B U C.D U A D U A Z BD U A D U B Z A.D U A ?B 且D U A D U BD U A ?B 且D U B D U A.D ,A U B 且D ,B U A D U A ?B.D A,B \A J D A J D /\A J D A JD /A J D A,\A J D D A JD /A JD /\A J D \A JD /D P {\A}D ,\A U 0,A J D A JD /\A J Dz当且仅当 并且 . 证明若 则 并且 . 因为所以当 时,因为极大协调集合对 是封闭的, 所以若 并且 则 . 若 并且 ,则因而根据极大协调集合对 是封闭的,可知 .□z 当且仅当 或者 .z 当且仅当 蕴涵 . z当且仅当 等价于 .命题逻辑公理独立性(1)z独立于 . 证明选择以下真值表验证: □z独立于 . 证明选择以下真值表验证:A [B J D A J D B J D A [B J D A J D B J D A [B U A 且A [B U B,A [B J D D U A 且D U B.U A J D 并且B J D .A J D B J D A [B J D A J D B J D D U A 且D U B,D U A [B,U A [B J D A Z B J D A J D B J D A > B J D A J D B J D A ?B J D A J D B J D 92{91,93}> 0123\00113310010020003030000093{91,92}> 01\0010□命题逻辑公理独立性(2)z单调性规则是独立的 证明在单调规则之外的规则, 前提都不增加, 若不使用此规则, 则以下推演关系是不可证的:由此可得独立性证明.□z反证法规则是独立的 证明对于任意的真值赋值 及公式 , 定义可以得到新的逻辑推出关系 . 除反证法规则之外, 其他规则都是可靠的. 使用反证法规则可得推演关系但由此可得独立性的证明.□z演绎定理规则是独立的证明对于任意的真值赋值 及公式 , 定义可以得到新的逻辑推出关系 . 对于与 无关的规则, 都是可靠的. 以下考虑三段论规则:需证明:对任意的赋值 , 若 , 则从1000A,B U A.v A v(\A)=1.X d \\p U p.\\p X d/p.v A,B v(A > B )=i aa a aa e a a a a j0,若v(A)=1,1,否则.X dd > D U A 且D U A > B D U B.D X dd A且D X dd A > BD X ddB.v v(D )=1可知这与定义相矛盾, 所以 .所以是成立的. 因此使用演绎定理规则, 可得推演关系但由此可得独立性的证明.□z... 证明同理可以证明其他规则是独立的.□直觉主义逻辑证明以下推导关系成立:z证明从 及 , 可知同理可知所以□z若 , , 且 , 则 . D X dd A 且D X dd A > B ,v(A)=1且v(A > B )=1,v(D )=0v(D )=1D X dd A D X dd A >B v(B)=1D X ddB.p U q > p ,p X dd/q > p .\(A Z B)U c \A [\B.C >D U c \D > \C U c A > A Z B U c \(A Z B)> \A.U c \(A Z B)> \B.\(A Z B)U c \A [\B.\A [\B U c \(A Z B).证明. .所以 . 所以集合不是 协调的.由 可知□z证明 集合不是 协调的.所以□z证明 集合不是 协调的.所以□证明以下推导关系不成立:z证明假设 分别是命题变元 , 构造模型 使得其中{ 使得 及 ,{ 使得 及 .这时 , , 所以但是 , 所以\A,\B,A U c 0\A,\B,B U c 0\A,\B,A Z B U c 0{\A [\B,A Z B}U c -(\+)\A [\B U c \(A Z B).A Z B U c \(\A [\B).{\A [\B,A Z B}U c -A Z B U c \(\A [\B).\A Z\B U c \(A [B).{A [B,\A Z\B}U c -\A Z\B U c \(A [B).\A >B U c \B > A A,B p,q K =<V ,R> ,V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0v(q)=0w w(p)=1v(q)=0q K ,v =0q K ,w =0(\q)K ,v=1.p K ,v =0另一方面,所以即在模型 的第一层, 左边取 而右边取 . 因而上述公式是不永真的, 因而是不可证的.□z证明假设 是命题变元 . 构造模型 , 使得其中{ 使得 ,{ 使得 .这时 , 但 , 所以□z证明假设 分别是命题变元 , 构造模型 , 使得其中{ , , { , , {, .□假设 是命题逻辑公式集合,是命题逻辑公式,则 其中证明以下证明:z .(\q > p )K ,v =0.(\p)K ,v=0,(\p)K ,w=0,(\p > q )K ,v=1.K 10U c A Z\A A p K =< V ,R> V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0w w(p)=1p K ,v =0(\p)K ,v =0(p Z\p)K ,v=0.\(A > \B)U c A [B A,B p,q K =< V ,R> V={v 1,v 2,v 3},R={(v 1,v 1),(v 2,v 2),(v 3,v 3),(v 1,v 2),(v 1,v 3)}.v 1(p)=0v 1(q)=0v 2(p)=1v 2(q)=0v 3(p)=0v 3(q)=1D A \D U\A \D U c \A \D ={\B|B J D }.\\\A U c\Az若 , 则 .则可知以下条件是等价的:z .z . z .. 因为 , 所以是不相容的, 因而 .若 , 则 . 因为 , 所以存在一个 推演, 将出现的所有公式 都换为 , 以下证明这样得到一个 推演. 以应用 为例. 这时有被转换为将前提推演序列中的 换为 , 则可以由 得到□模态命题逻辑z证明以下推演关系:证明假设 是 . 从 及 , 根据 推演规则, 可知 . 所以 . 同理可知 . 由此可知 □证明: {D U A \\D U c \\A \D U\A \\\D U c\\\A \D U c\A \\\A U c \A A U c \\A {\\\A,A}\\\A U c \A D U A \\D U c \\A D U A U -C \\C U c -(\-)> ,\E U F 且> ,\E U\F >U E ,\\> ,\\\E U \\F 且\\> ,\\\E U \\\F \\>U \\E ,\\\E \E (\+)\\> U \\E.U T (`(A > B )[`(B > A ))> (`A ?`B).D {`(A >B ),`A}D U T `(A >B )D U T `A T-D U T `B `(A >B )U T `A > `B `(B >A )U T `B > `A U T (`(A >B )[`(B > A ))> (`A ?`B)U T `(A [B)?(`A [`B).`(A [B)U T (`A [`B)A [B U A{ (性质){ (同理){{{ (规则){ (性质){ (性质){{ (性质)□证明{ (已证){ (性质){ (性质){ (定义)□z证明 可靠性.证明只需证明对任意 及 , 若 , 则从 可知 :因而对任意的 , 都有根据定义, 当且仅当 当且仅当(1)对任意的 , 都有`(A[B)U`A`(A[B)U`B`(A[B)UT(`A[`B)`A[`B UT`(A[B)U A> (B> A[B)UT`(A> (B> A[B))UT`A> `(B> A[B)`A UT`(B> A[B)`A UT`B> `(A[B)`A,`B UT`(A[B)UTa(A Z B)?(a A Za B).UT`(\A[\B)?(`\A[`\B)UT\`(\A[\B)?\(`\A[`\B)UT\`\(A Z B)?(\`\A Z\`\B)UTa(A Z B)?(a A Za B)S4-D XS4`AD XS4``A.M=< V,R> J KS4v J V D M,v=1D XS4`A `A M,v=1,w:vRwA M,w=1.``A M,v=1v 1:vRv1`A M,v1=1.对任意的v1,v2:vRv1,v1Rv2,都有A M,v2=1但根据传递性可知 , 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立. 所以 .□z证明 可靠性. 证明只需证明对任意 及 , 若 , 则从 可知 :因而存在 , 都有根据定义,当且仅当当且仅当这时 成立 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立.所以 .□谓词逻辑推演规则 以下规则是可靠的:证明以下证明 (:左规则) 是可靠的, 其他规则的可靠性可以类似证明. 需要证明以下事实:对任意的模型 及一个赋值, 当 时, 从 可知, 对任意的, 都有(1)对任意的 , 都有(2)vRv 2D X S 4``A S 5-D X S 5a AD X S 5`a A.M =<V ,R> J K s 5v J V D M ,v =1D X S 5a A a AM ,v=1,w:vRw A M ,w =1.`a AM ,v=1v 1:vRv 1a AM ,v1=1.对任意的v 1:vRv 1,存在v 2:v 1Rv 2,使得AM ,v2=1wRv 2D X S 5`a A ]]^^]D ,A x tX B D ,]xA X B.M M X D ,]xA M X]xA a J |M |M X A[a].而每个项 在 中代表一个具体的值, 所以 , 因而□谓词逻辑完备性质已知 是公式集合,是公式, 常元 不在 中出现, 证明: 证明根据谓词逻辑的完备性质, 只需证明 即因为常元 不出现在 中, 所以任意改变 在 中的取值, 都不影响 的真值.假设 的取值是 , 从 及可靠性,可知因为 是任意的, 所以□已知 是协调公式集合,且证明这些公式集合的并集是协调的. 证明假设 是公式集合若 不协调, 则 . 因为每个推演仅涉及有限多个公式, 所以存在 , 使得根据 的定义, 可以假设 .假设 , 则 . 这与 的协调性相矛盾. 所以 是协调的.□实闭域的判定性质语言 的理论 具有量词消去性质, 当且仅当 若 , 则对于任意的模型 , 当 时,对 的任意 个原子公式或者原子公式的否定t M M X D ,A x t M X B.D A c D P {A}D U A x c D U]xA.D X]xA,M M X D M X]xA.c D P {A}c M D P {A}c a D U A x c M X A[a].a M X]xA.D n (n=0,1,2,l )D 0N D 1N D 1Nl > D 0P D 1P D 1Pl > >U 0A 1,A 2,l ,A m J > A 1,A 2,l ,A m U 0.> A i J D k il=max {k 1,k 2,l ,k m }A 1,A 2,l ,A m J D l D l > L T L k证明(结构归纳法)假设已证明以下结论 (*):对任意的开公式 因为而 是一个开公式, 所以存在开公式 使得这里的 是一个开公式.由此可知, 每个前束范式都等值于一个开公式. 对于结论 (*), 可以将开公式 写为其中每个 是一些原子公式或者原子公式的否定的合取式. 这时所以, 只需对上述 这一类公式考察量词消去性质.□(介值定理)证明在实闭域内, 每个多项式可以分解为 次及 次多项式的乘积, 可以假设这些多项式的最高项系数都是 .次多项式 可以写为z若 , 则 可以分解为 次多项式的乘积.z若 , 则 .所以, 当 的取值在一个区间 内改变符号时, 一定有一个 次因子, 它在这个区间内取值改变符号, 该 次因子在这个区间内有零点, 因而 在这个区间内有零点.□存在 的一个开公式 , 使得对任意的开公式 , 存在开公式 , 使得9i (x ,x 1,x 2,l ,x n ),i=1,2,l ,k,L <(x 1,x 2,l ,x n )T X]x 1,x 2,l ,x n (^x (91[92[l[9k )?< (x 1,x 2,l ,x n )).))d T X^x )?)d.3]x 3等值于\^x \3,\33d T X^x \3?3d,T X]x 3?\3d,\3d))1Z )2ZlZ )k ,)i X^x()1Z )2ZlZ )k )?(^x )1Z^x )2ZlZ^x )k ),)i RCF X]xy(x< y [f(x)f(y)< 0> ^z(x< z [z< y [f(z)=0)).1212x 2+ax+b (x+a 2)2+(b-a24),(b-a 24)50x 2+ax+b 1(b-a24)>0RCF X x 2+ax+b> 0f(x)[a,b]f(x)11f(Rolle 定理) 证明(由介值定理证明 Rolle 定理)每个多项式最多有有限个零点, 当 时, 可以假设在区间 内, 不再有其他零点.所以 在区间 内不可能是单调的, 因而存在 使得 . 对于多项式 , 根据介值定理可知: 存在 使得 .□一阶逻辑的不可判定性质写出以下 Turing 机对应的一阶语句:解答这些转换规则对应以下语句: ::::□RCF X]xy(x< y [f(x)=0[f(y)=0> ^z(x< z [z< y [f d (z)=0)).f(a)=f(b)=0[a,b]f f [a,b]u<v J [a,b]f d (u)f d (v)< 0f d c J [a,b]f d (c)=0{q 01Rq 0,q 00Rq 2,q 110q 2,q 10Rq 1}q 01Rq 0]xy(R 0(x,f 1(y))> R 0(f 1(x),y))q 00Rq 2]xy(R 0(x,f 0(y))> R 2(f 0(x),y))q 110q 2]xy(R 1(f 0(x),f 1(y))> R 2(x,f 0(f 0(y))))]xy(R 1(f 1(x),f 1(y))> R 2(x,f 1(f 0(y))))q 10Rq 1]xy(R 1(x,f 0(y))> R 1(f 0(x),y))。
高中数学集合与常用逻辑用语100题(含答案解析)
高中数学集合与常用逻辑用语100题(含答案解析)一、单选题1．已知集合{}2,0xA y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(),-∞+∞2．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤ B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥ C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +>4．若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,2C ．{}0,1D ．{}1,25．已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（ ） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞7．已知集合{}2()1A xx a =-<∣，{1,0,1,2,3}B =-，若{0,1}A B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[1,)+∞D ．(,0)-∞8．方程22x x =的所有实数根组成的集合为（ ） A ．()0,2B ．(){}0,2C ．{}0,2D ．{}22x x =9．设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（ ）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-10．已知0a >，则“3a a a >”是“3a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件12．设π:3p α=；:tan q α=p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．设{M x x =≥，b = ） A ．b M ⊆B ．b M ∉C ．{}b M ∉D ．{}b M ⊆14．已知集合{A x y ==，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}2,3,415．已知非零向量a ，b ，c ，则“||1a b -≤，||2b c -≤”是“||3a c -≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设集合{}|33A x x =-<<，集合{}|25B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．{}|35x x -<≤B ．{}|32x x -<≤-C ．{}|23x x -≤<D ．{}|35x x <≤17．已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （ ）A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅18．命题“0x ∀>，2x x >”的否定是（ ）A ．00x ∃>，200x x ≤B ．00x ∃≤，200x x ≤C ．0x ∀>，2x x ≤D ．0x ∀≤，2x x >19．若01a <<，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．若数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．设集合{}1,0,1,2A =-，{B y y ==，则A B =（ ） A ．{}0B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}0,2 22．已知集合(){}ln 3A x N y x =∈=-，{}12B x x =-≤<，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,223．已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．424．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件25．设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1,3A =-，{}2,0,2B =-，则U ()A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2B ．2,0,2C ．{}0,2D ．{}1,1,3-26．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题 ①若“2lg 0x =，则1x =-”的逆命题 ①“若x y ≠或x y ≠-，则x y ≠”的逆否命题.其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．327．已知全集2,1,0,1,2U ，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,128．已知集合{}2230A x x x =∈--<Z ，{}1,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,2-B ．{}1,1,2,3-C ．{}1,2D ．{}1,329．“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．已知集合{1,0,1,2,3,4,5}A =-，集合{|34}=-<<B x x ，则 A B =（ ） A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1,2,3,4}-31．设集合{}12022A x x =-<<，{}22530B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．{}32022x x -<≤B ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x ≥-32．已知集合(){}2log 12A x x =-≤，{}2230B x x x =--≤，则()RA B =（ ）A ．[]1,3B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．(]1,3D ．(](),13,-∞⋃+∞33．已知集合{}2,3,4,5A =，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．{}2,3,434．“b <是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件35．设命题3:,3n p n N n ∀∈>，则命题p 的否定为（ ） A ．3,3n n N n ∃∉> B ．3,3n n N n ∃∉≤ C ．3,3n n N n ∃∈≤D ．3,3n n N n ∀∈>36．已知α，R β∈，则“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件37．将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（ ）A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 38．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件39．设集合{}{}|14|3A x x B x x =-<<=≤，，则()B A =R （ ）A ．{}|34x x ≤<B ．{}|34x x <<C ．{}|13x x -<≤D ．{}1x x >-40．若01a <<，则“log log a a b c <”是“b c >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件41．已知集合{}03A x x =<<，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)2,0-C ．[)0,3D ．(]0,242．已知集合{}02A x x =<<，{}2230B x x x =+-≥，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞B ．()[),32,-∞-⋃+∞C ．()(),02,-∞+∞D ．(][),02,-∞⋃+∞43．若向量(),3a m =-，()3,1b =，则“1m <”是“向量a ，b 夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件44．设集合{}A y y x ==，{B x y ==，全集为R ，则RA B =（ ）A ．[)0,∞+B ．(),0∞-C ．{}0,1D ．()(){}0,0,1,145．已知集合1|0,N 4x A x x x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{0,1,2,3,4}B =，则（ ） A ．A B = B ．B A C ．A B B = D ．A B46．若集合12xA x x ⎧⎫-=∈>⎨⎬⎩⎭R ，(){}2log 11B x x =+<，则A B =( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭47．若集合{}20A x x x =-=，B x y ⎧=⎨⎩，则A B =（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,148．已知集合{}24A x Z x =∈<，{}1,B a =，B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{1,0}-D ．{}1-49．若集合61A x ZN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，(){}lg 3B x y x ==-，则A B =（ ） A ．{}2,3,4,7 B ．{}3,4,7 C ．{}1,4,7 D ．{}4,750．已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,5-B ．(]1,1-C ．()1,3D ．[)1,351．已知,l m 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，命题p ：若m α⊂，m β∥，则αβ∥；命题q ：若m α⊥，l β⊥，αβ∥，则m l ∥；则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．p q ⌝∧⌝52．“2x =”是“2320x x -+=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件53．已知命题p ：0x ∃∈R ，0sin 1x <；命题q ：0x ∃∈R ，00sin cos x x +，则下列命题中的真命题是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨54．已知集合{}2,x A y y x R ==∈，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A ．[]22-,B ．[)2,0-C ．[]0,2D ．(]0,255．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3B ．4C ．8D ．1656．已知全集{}N 27U x x =∈-≤<，(){}1,5,6UA B ⋃=，{}2,4B =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}2,1,0,3--B ．{}0,3C ．{}0,2,3,4D ．{}357．已知集合{}34A x x =-<<，{}250B x x x =+>.则A B （ ）A ．()5,4-B ．()0,4C ．()3,0-D ．()5,0-58．已知集合(){},22,0M x y y x xy ==-≤，(){}2,5N x y y x ==-，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．l 或259．设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}22x x -<< B ．{}22x x -≤≤ C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥60．设非零复数1z ，2z 在复平面内分别对应向量OA ，OB ，O 为原点，则OA OB ⊥的充要条件是（ ）A ．211z z =-B ．21i zz =C ．21z z 为实数D ．21z z 为纯虚数61．命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若22x -<<，则24x < B ．若24x ≥，则2x ≥或2x -≤ C ．若22x -<<，则24x ≥ D ．若2x ≥或2x -≤，则24x ≥62．已知集合(){}22,4A x y xy =+=，(){},2B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．063．已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞D ．(),1-∞64．已知集合{}23180A x x x =--≤，{}2log 1B x x =>，则A B =（ ）A ．[)(]3,22,6-B ．[)(]3,22,6--⋃C ．[)3,2--D ．(]2,665．已知命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=--表示椭圆”的充要条件；命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ⌝∧⌝66．已知命题p ：()010,x ∃∈+∞，0lg 1x >，则命题p 的否定为（ ） A ．()10,x ∀∈+∞，1lg x ≤ B ．()10,x ∀∈+∞，lg 1x C ．()10,x ∀∉+∞，lg 1xD ．()10,x ∀∉+∞，1lg x ≤67．集合{}0,1,2,3A =的真子集的个数是（ ） A ．16B ．15C ．8D ．768．已知集合{}1A x x =>，{}13B x x =-≤<，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}13x x <<B ．{}11x x -≤<C ．{}13x x ≤<D ．{}11x x -≤≤69．若p ：24x ≤≤，q ：13x ≤≤，则p 为q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件70．若命题p 为“0x ∃≥，()10x x -<”，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀<，()10x x -≥ B ．0x ∀≥，()10x x -≥ C ．0x ∃≥，()10x x -≥D ．0x ∃<，()10x x -<71．已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．272．命题“0x ∀>，210x ->”的否定为( ) A ．0x ∀>，210x -≤ B ．0x ∀≤，210x -≤ C ．00x ∃>，0210x -≤D ．00x ∃>，0210x ->73．已知{}2430M x x x =-+<，{|N x y ==，则M N ⋃=（ ）A ．(]1,2B ．(](),21,3-∞-⋃C ．(](),23,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-⋃+∞74．命题“0x ∃∈R ，使得320000x ax bx c +++=”的否定是（ ） A ．x ∃∉R ，320x ax bx c +++≠ B ．x ∀∈R ，320x ax bx c +++≠ C ．x ∀∉R ，320x ax bx c +++≠D ．x ∀∈R ，320x ax bx c +++=75．已知集合{}220A xx x =+-≤∣， 集合(){}2log 1B x y x ==+∣， 则A B ⋂=（ ） A ．[-21]，B ．(-11]，C ．(]12-，D ．[)1，∞+ 76．若集合{12}A x x =-<<∣，{|1B x x =<或}3x >，则()R A B ⋂=（ ） A ．{13}xx -<<∣ B ．{11}xx -<<∣ C ．{23}x x <≤∣ D ．{12}xx ≤<∣ 77．已知命题20:,0p x x ∃∈R ，则p ⌝是（ ）A ．2,0x x ∀∉RB ．2,0x x ∀∈<RC ．200,0x x ∃∈RD ．200,0x x ∃∈<R78．若方程22121x y m m +=+--表示的曲线为C ，则（ ）A ．21m -<<-是C 为椭圆的充要条件B ．21m -<<-是C 为椭圆的充分条件C ．312m -<<-是C 为焦点在x 轴上椭圆的充要条件D ．302m -<<是C 为焦点在x 轴上椭圆的充分条件79．已知集合{}{|ln 1|A x x B x =<=，，则()R A B =（ ） A ．[2，e ）B ．（0，2）C ．（2，e ]D ．（0，e ）80．“0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题81．已知函数()()2221e xf x ax x =-+，则（ ）A ．()f x 有零点的充要条件是1a <B ．当且仅当(]0,1a ∈，()f x 有最小值C ．存在实数a ，使得()f x 在R 上单调递增D ．2a ≠是()f x 有极值点的充要条件 82．下列选项中，能够成为“关于x 的方程2||10x x a -+-=有四个不等实数根”的必要不充分条件是（ ） A ．51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．51,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．()1,2a ∈D ．91,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭三、解答题83．若实数数列()12:,,,2n n A a a a n ≥满足()111,2,,1k k a a k n +-==-，则称数列nA 为E 数列.(1)请写出一个5项的E 数列5A ，满足150a a ==，且各项和大于零； (2)如果一个E 数列n A 满足：存在正整数()1234512345,,,,i i i i i i i i i i n <<<<≤使得12345,,,,i i i i i a a a a a 组成首项为1，公比为2-的等比数列，求n 的最小值；(3)已知()122,,,2m a a a m ≥为E 数列，求证：3211,,,222m a a a -为E 数列且224,,,222m a a a 为E 数列”的充要条件是“122,,,m a a a 是单调数列”.84．已知命题p ：实数x 满足()42220x x a a ⋅+-⋅-≤；命题q ：实数x 满足2320x x -+<．若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．85．设p ：()224300x ax a a -+<>，q ：211180x x -+≤.(1)若命题“()1,2x ∀∈，p 是真命题”，求a 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.86．著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为120,,,133⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭. (1)求第二次操作后的“康托尔三分集”；(2)定义[],s t 的区间长度为t s -，记第n 次操作后剩余的各区间长度和为()*n a n N ∈，求4a ；(3)记n 次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为n T ，若使n T 不大于原来的110，求n 的最小值.（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）87．已知命题p ：“0x R ∃∈，20048x a x +≤”为假命题，命题q ：“实数a 满足415a>-”．若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求a 的取值范围． 88．求证：角θ为第二象限角的充要条件是sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩． 89．已知P ＝{x |x 2－x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ①P 是x ①S 的必要条件，求m 的取值范围.90．已知p ：()222100x x a a -+-≥>，q ：()()150x x +-<.(1)当3x =-时，p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ⌝是q 的充分不必要条件：求实数a 的取值范围.91．已知集合{}2,12x A y y x ==-≤≤，集合{}1ln 2B x x =<≤，集合{}22320,0C x x ax a a =-+≤>. (1)求A B ；(2)若C A ⊆，求实数a 的取值范围.92．判断命题的真假：如果12,n n 分别是直线12,l l 的一个方向向量，则1l 与2l 垂直的充要条件是1n 与2n 垂直．四、填空题93．设集合{}{}240,,20A xx x A x x a =-≤∈=+≤R ∣∣，且[]2,1A B =-，则=a ___________.94．以下有关命题的说法错误的命题的序号是_______．①若命题p ：某班所有男生都爱踢足球，则¬p ：某班至少有一个男生爱踢足球； ①已知a ，b 是实数，那么“a b >”是"ln ln "a b >的必要不充分条件；①若αβ>则sin sin αβ>；①幂函数253(1)m y m m x --=--在,()0x ∈+∞时为减函数，则2m =.95．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.96．曲线0:p x ∃∈R ，320010x x -+≥，则p ⌝为___________.97．命题“0x ∃①R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．98．命题“x R ∃∈，20x +≤”的否定是______．五、概念填空99．存在量词与存在量词命题100．判断正误．（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )（2）命题“三角形的内角和是180 ”是全称量词命题．( )（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )参考答案：1．C【解析】【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】 由已知{}2,0[1,)x A y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，①[1,2)A B ⋂=．故选：C ．2．A【解析】【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解．【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-，则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件．故选：A ．3．C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C4．C【解析】【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =， 所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =． 故选：C5．B【解析】【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断.【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.6．D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥，所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞.故选：D .7．B【解析】【分析】按照交集的定义，在数轴上画图即可.【详解】由题可得集合{}{}2()111A xx a x a x a =-<=-<<+∣，所以要使{0,1}A B =，则需110112a a -≤-<⎧⎨<+≤⎩，解得01a <<， 故选：B.8．C【解析】【分析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；【详解】解：由22x x =，解得2x =或0x =，所以方程22x x =的所有实数根组成的集合为{}{}2|20,2x R xx ∈==； 故选：C9．A 【解析】【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴.故选：A.10．B【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式3a a a >，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若01a <<，由3a a a >可得3a <，此时01a <<；若1a =，则3a a a =，不合乎题意；若1a >，由3a a a >可得3a >，此时3a >.因此，满足3a a a >的a 的取值范围是{01a a <<或}3a >， 因为{01a a <<或}3a > {}3a a >，因此，“3a a a >”是“3a >”的必要不充分条件.故选：B.11．C【解析】【分析】解不等式化简命题q ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：13x ，即:13q x -<<，显然{|13}x x -<< {|3}x x <，所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：C12．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值以及充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】当π3α=时，tan α=p 则q 成立；当tan α=,3k k Z παπ=+∈，即若q 则p 不成立；综上得p 是q 充分不必要条件，故选：A.13．D【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可得解.【详解】解：因为{M x x =≥，b =所以b M ∈，{}b M ⊆.故选：D.14．C【解析】【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{{}4A x y x x ==≤，{}1,2,3,4,5B =，所以A B = {}1,2,3,4，故选：C15．A【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由||1a b -≤，||2b c -≤，如下图示，||||||3a c a b b c -≤-+-≤，当且仅当a ，b ，c 共线时前一个等号成立，充分性成立；当||3a c -≤，不一定有||1a b -≤，||2b c -≤，必要性不成立. 综上，“||1a b -≤，||2b c -≤”是“||3a c -≤”的充分而不必要条件. 故选：A16．C【解析】【分析】利用集合的交运算求A B 即可.【详解】由题设，A B ={}|33x x -<<⋂{}|25{|23}x x x x -≤≤=-≤<. 故选：C17．A【解析】【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤， 所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12R A x x ⎧=≤⎨⎩或x >92}， 由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤，所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A18．A【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题“0x ∀>，2x x >”的否定是：00x ∃>，200x x ≤．故选：A.19．A【解析】【分析】根据一直关系判断,x y 的大小关系进行等价转化即可得解.【详解】由01a <<，log log 0a a x y y x >⇔>>，x y a a y x ≥⇔>，故为充分不必要条件. 故选：A20．A【解析】【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．【详解】解：“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”，取1m =，则11n n a a +=-， {}n a ∴为等比数列．反之不成立，{}n a 为等比数列，设公比为q ()0q ≠，则1m n m n a q +-+=-，()()112n n m m m n a a q q q --+-=-⨯-=，只有1q =-时才能成立满足m n m n a a a +=． ∴数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的充分不必要故选：A ．21．B【解析】【分析】求得集合B 中对应函数的值域，再求A B 即可.【详解】因为{B y y ==∣{|0}y y =≥，又{}1,0,1,2A =-， 故A B ={}0,1,2.故选：B22．C【解析】【分析】由对数函数定义域可求得集合A ，由交集定义可得结果.【详解】由30x ->得：3x <，(){}{}ln 30,1,2A x N y x ∴=∈=-=，{}0,1A B ∴⋂=.故选：C.23．C【解析】【分析】由Venn 图得到()A M A B =⋂求解. 【详解】如图所示()A M A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=-又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}A A B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C24．B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件．故选：B ．25．D【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由已知{1,1,3}U B =-，所以U (){1,1,3}A B =-．故选：D ．26．B【解析】【分析】写出相应命题，根据相关知识直接判断可得.【详解】“全等三角形的面积相等”的否命题为：不全等的三角形的面积不相等.易知为假命题；若“2lg 0x =，则1x =-”的逆命题为：若1x =-，则2lg 0x =.显然为真命题；“若x y ≠或x y ≠-，则x y ≠”的逆否命题为：若x y =，则x y =且x y =-.易知为假命题. 故选：B27．C【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．{2,1,2}U A =-，(){1}U B A =．故选：C ．28．C【解析】【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得结果.【详解】{}{}{}2230130,1,2A x x x x x =∈--<=∈-<<=Z Z ，因此，{}1,2A B =. 故选：C.29．B【解析】【分析】先由已知得点()1,1在圆2220x y y a ++-=外，求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断【详解】由已知得点()1,1在圆2220x y y a ++-=外，所以22211210240a a ⎧++⨯->⎨+>⎩，解得14a -<<， 所以“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的必要不充分条件， 故选：B30．A【解析】【分析】根据交集的定义计算．【详解】由已知{1,0,1,2,3}A B =-．故选：A ．【解析】【分析】化简集合B ，结合交集运算即可．【详解】 因为集合{}21253032B x x x x x ⎧⎫=+-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以112A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭， 故选：C ．32．D【解析】【分析】先解出集合A 、B ，再求A B ，从而求解补集．【详解】由()2log 12x -≤，即014x <-≤，解得15x <≤，所以(]1,5A =.由2230x x --≤得()3x -⋅()10x +≤，即13x -≤≤，所以[]1,3B =-，由此(]1,3A B =，于是()(]()R ,13,A B ⋂=-∞⋃+∞，故选：D.33．C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求出函数y B ，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}2,3,4,5A =，集合{{}{}23003B x y x x x x x ===-≥=≤≤，所以{}2,3A B ⋂=.故选：C.34．A【分析】根据直线和圆的位置关系求出b ，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】①圆22:9C x y +=的半径3r =，若圆C 上恰有4个不同的点到直线l 的距离等于1，则必须满足圆心(0,0)到直线:l y x b =-的距离2d =<，解得b -<<又((⊆-，①“b <是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的充分不必要条件.故选：A.35．C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题3:,3n p n N n ∀∈>的否定命题为3,3n n N n ∃∈≤，故选：C36．D【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-时， 则()cos ,2,cos cos (1)cos ,21,k k n n Z k k n n Z βαπββ=∈⎧=+-=⎨-=+∈⎩；即不能推出cos cos αβ=.(2)当cos cos αβ=时，2k αβπ=+或2k απβ=-，k Z ∈,所以对第二种情况，不存在k Z ∈时，使得()1kk απβ=+-成立，故“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1k k απβ=+-”的既不充分不必要条件.故选：D37．A【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ，不能满足M①N=Q ，A 错误；若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素， N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．38．D【解析】 【分析】 首先解出绝对值不等式与分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为322x -≤，所以33222x -≤-≤，解得1722x ≤≤；由2102x x +≤-，即()()212020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得122x -≤<；所以1722x ≤≤与122x -≤<互相不能推出，故“322x -≤”是“2102x x +≤-”的既不充分也不必要条件； 故选：D39．B【解析】【分析】根据补集运算得{}R |3x B x =>，再根据交集运算求解即可.【详解】解：因为{}{}|14|3A x x B x x =-<<=≤，，所以{}R |3x B x =>，所以{}()|34R B A x x ⋂=<<故选：B40．A【解析】【分析】利用函数log a y x =在(0,)+∞单调递减，可得log log 0a a b c b c <⇔>>，分析即得解【详解】由01a <<，故函数log a y x =在(0,)+∞单调递减故log log 0a a b c b c <⇔>>即log log a a b c b c <⇒>，充分性成立； b c >推不出log log a a b c <，必要性不成立；故“log log a a b c <”是“b c >”的充分不必要条件．故选：A41．D【解析】解一元二次不等式求集合B ，再利用集合交运算求A B .【详解】 由题设，{}24{|22}B x x x x =≤=-≤≤，又{}03A x x =<<， 所以{}(]{|22}030,2A x x B x x -≤≤⋂<<==．故选：D42．A【解析】【分析】根据阴影部分表示的集合为R A B ⋂求解.【详解】 因为集合{}02A x x =<<，所以R {|0A x x =≤或2}x ≥， 又因为{}2230{|3B x x x x x =+-≥=≤-或1}x ≥， 所以阴影部分表示的集合为R {|3A B x x ⋂=≤-或2}x ≥，故选：A43．B【解析】【分析】 由向量a ，b 夹角为钝角可得0a b ⋅<且a ，b 不共线，然后解出m 的范围，然后可得答案.【详解】若向量a ，b 夹角为钝角，则0a b ⋅<且a ，b 不共线所以330133m m -<⎧⎨⋅≠-⋅⎩，解得1m <且9m所以“1m <”是“向量a ，b 夹角为钝角”的必要不充分条件故选：B44．B【分析】化简集合A ，B ，根据补集及交集运算即可.【详解】{}A y y x R ===,{[0,)B x y ∞===+(,0)R R A B B ∴==-∞,故选：B45．D【解析】【分析】解分式不等式求集合A ，再判断集合之间的包含关系，即可判断各选项的正误.【详解】由题设，{|14,N}{0,1,2,3}A x x x =-≤<∈=，又{0,1,2,3,4}B =，所以A B ，即A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D46．C【解析】【分析】根据分式不等式解法解出集合A ，根据对数的运算法则计算出集合B ，再根据集合交集运算得结果. 【详解】(){}113003A x x x x x ⎧⎫=-⋅>=<<⎨⎬⎩⎭， (){}{}{}2log 1101211B x x x x x x =+<=<+<=-<<，①10,3A B ⎛⎫ ⎪⎝=⎭. 故选：C.47．B【解析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】 因为{}{}200,1A x x x =-==，B x y ⎧=⎨⎩={}|1x x <， 所以A B ={}0，故选：B48．C【解析】【分析】先解出集合A ，再根据B A ⊆确定集合B 的元素，可得答案.【详解】由题意得，{}{|22}1,0,1A x Z x =∈-<<=-，①{}1,B a =，B A ⊆， ①实数a 的取值集合为{}1,0-,故选:C.49．D【解析】【分析】首先用列举法表示集合A ，再根据对数函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】 解：集合{}62,3,4,71A x Z N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭，集合(){}{}lg 33B x y x x x ==-=>，则{}4,7A B ⋂=，故选：D ．50．D【解析】【分析】先根据一元二次不等式解得集合A ，然后利用交集运算法则求出答案.【详解】解：由题意得：{}{}2230|13A x x x x x =--<=-<<，{}15B x x =≤≤ {}[)|131,3A B x x ∴=≤<=故选：D51．B【解析】【分析】先根据空间线面位置关系判断命题,p q 的真假，再根据且、或、非命题判断真假即可.【详解】解：命题p ：若m α⊂，m β∥，则αβ∥，还可能相交，故是假命题，；命题q ：若m α⊥，l β⊥，αβ∥，则m l ∥，是真命题.所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，所以p q ∧，p q ∨⌝，p q ⌝∧⌝均为假命题，p q ⌝∧为真命题，故选：B52．A【解析】【分析】解方程2320x x -+=，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解方程2320x x -+=可得1x =或2x =，{}2 {}1,2，因此，“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.故选：A.53．A【解析】【分析】判断命题p ，q 的真假，再借助真值表逐一判断作答.【详解】因当00x =时，0sin 01x =<，即命题p 是真命题，因当04x π=时，00sin cos x x +，即命题q 是真命题， 因此，p q ∧，p q ∨都是真命题，()p q ⌝∨是假命题，而p ⌝是假命题，则()p q ⌝∧是假命题，同理()p q ∧⌝是假命题，所以，B ，C ，D 都不正确，A 正确.故选：A54．D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据指数函数的性质求出集合A ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由24x ≤，即()()220x x -+≤，解得22x -≤≤，所以{}{}24|22B x x x x =≤=-≤≤，又{}()2,0,x A y y x R ∞==∈=+，所以(]0,2A B ⋂=. 故选：D55．C【解析】【分析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.56．B【解析】【分析】确定全集中的元素，根据(){}1,5,6U A B ⋃=可确定A B ⋃={}0,2,3,4，再结合图中阴影部分的含义即可得答案.全集{}{}N 270,1,2,3,4,5,6U x x =∈-≤<=,又因为(){}1,5,6U A B ⋃=，所以A B ⋃={}0,2,3,4,而{}2,4B =所以阴影部分表示的集合是()U A B ∩即为{}0,3，故选：B.57．B【解析】【分析】解不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】()()()2550,50,x x x x B +=+>⇒=-∞-⋃+∞， 又{34}A x x =-<<，所以()0,4A B =.故选：B58．A【解析】【分析】首先联立方程，然后判断交点个数，即可判断选项.【详解】首先联立方程22250y x y x xy =-⎧⎪=-⎨⎪≤⎩，得2230x x --=，解得：1x =-或3x =，当1x =-时，4y =-，此时0xy >，舍去；当3x =时，4y =，此时0xy >，舍去，所以M N ⋂为空集.故选：A59．B【分析】根据不等式的解法，分别求得集合,A B ，结合集合补集和交集的运算，即可求解.【详解】 由不等式402x x ->+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >， 又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ， 可得R {|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤.故选：B.60．D【解析】【分析】设()11111i ,z x y x y R =+∈，()22222i ,z x y x y R =+∈，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，计算出21z z ，然后结合OA OB ⊥可得答案. 【详解】设()11111i ,z x y x y R =+∈，()22222i ,z x y x y R =+∈，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =， 且21212122122111()i z x x y y x y x y z x y ++-=+， 由OA OB ⊥知12120x x y y +=且12x y -210x y ≠，故OA OB ⊥的充要条件是21z z 为纯虚数， 故选：D ．61．D【解析】【分析】根据命题和逆否命题的关系可得答案.【详解】 原命题的条件是“若24x <”，结论为“22x -<<”，则其逆否命题是：若2x ≥或2x -≤，则24x ≥，故选：D ．【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断.【详解】因为圆心（0,0）到直线y =2的距离d =2=r ，所以直线2y =与圆224x y +=相切，所以A B 的元素的个数是1，故选：C ．63．C【解析】【分析】根据集合的包含关系，列出参数a 的不等关系式，即可求得参数的取值范围.【详解】①集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，①1a ≤.故选：C ．64．B【解析】【详解】先求解集合A 和集合B 中的不等式，利用交集的定义即得解【分析】由2318(6)(3)0x x x x --=-+≤，解得36x -≤≤，则[]3,6A =-， 不等式2log 1x >，即2x ，可得2x <-或2x >，则(,2)(2,)B =-∞-⋃+∞所以[)(]3,22,6A B ⋂=--⋃故选：B ．65．C【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，从而判断,p q ⌝⌝的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【详解】 当52m =时，22123x y m m+=--表示圆， 故命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=-- 表示椭圆”的充要条件是假命题， 命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，故p q ∧是假命题，p q ∨⌝是假命题，p q ⌝∨⌝是真命题，p q ⌝∧⌝是假命题， 故选：C66．A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为命题p ：()010,x ∃∈+∞，0lg 1x >，故命题p 的否定为：()10,x ∀∈+∞，1lg x ≤. 故选：A.67．B【解析】【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合A 的元素个数为4，故集合A 的真子集个数为42115-=.故选：B.68．D【解析】【分析】先求出集合A 的补集，进而求交集即可.【详解】①{}1A x x =>，①(]R ,1A ∞=-，又{}13B x x =-≤<，①()[]R 1,1A B ⋂=-.故选：D69．D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为p ：24x ≤≤，q ：13x ≤≤， 所以,p q q p ⇒⇒，所以p 为q 的既不充分又不必要条件.故选：D.70．B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0x ∃≥，()10x x -<”的否命题为“0x ∀≥，()10x x -≥”，故选：B71．C【解析】【分析】 由一元二次方程根的分布可得010a∆>⎧⎪⎨<⎪⎩求命题q 的参数a 范围，再由命题间的关系求m 的最值即可.【详解】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-.故选：C72．C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法进行求解.【详解】全称命题的否定是特称命题，则命题“0x ∀>，210x ->”的否定为“00x ∃>，0210x -≤”. 故选：C.73．D【解析】【分析】利用集合M 、N 的含义，将其化简，然后求其并集即可.【详解】解：由2430x x -+<可得13x <<，所以(1,3)M =,由240x -≥可得2x -≤或2x ≥，所以(][),22,N =-∞-+∞, 所以(](),21,M N =-∞-+∞.故选：D.74．B【解析】【分析】根据特称命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意否定结论，所以，命题“0x ∃∈R ，使得320000x ax bx c +++=”的否定是x ∀∈R ，320x ax bx c +++≠.故选：B75．B【解析】【分析】先求出集合A ,B ，进而根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，()(){}[]()|1202,1,1,A x x x B =-+≤=-=-+∞，所以(1,1]A B ⋂=-故选：B.76．D【解析】【分析】先求得R B ，然后求得正确答案.【详解】{}R |13B x x =≤≤，()R A B ⋂={12}x x ≤<∣故选：D77．B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以B 选项符合. 故选：B78．C【解析】【分析】根据椭圆的性质及焦点的性质可写出其充要条件，然后逐项分析即可.【详解】解：对于A 、B 选项： 曲线22:121x y C m m -=++表示椭圆的充要条件是2010,2121m m m m m +>⎧⎪-->⇔-<<-⎨⎪+≠--⎩且32m ≠-，所以A ，B 不正确；对于C 、D 选项： 方程22121x y m m +=+--表示焦点在x 轴上椭圆321012m m m ⇔+>-->⇔-<<-，所以C 对，D 错.故选：C79．A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为集合{}(){|ln 10,|[1,2)A x x e B x =<==-=，， 所以{|1R B x x =<-或2}x ≥，()[. 2,)R A B e ⋂=故选：A80．C【解析】【分析】 先求出方程221x y m n -=表示双曲线时,m n 满足的条件， 然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】 因为方程221x y m n-=为双曲线方程，所以0mn >， 所以“0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的充要条件. 故选：C.81．BCD【解析】【分析】对于A ，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正误；对于B ，分类讨论a 的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C ，可举一具体实数，说明()f x 在R 上单调递增，即可判断其正误；对于D ，根据导数与函数极值的关系判断即可. 【详解】对于A ，函数()()2221e xf x ax x =-+有零点⇔方程2210ax x -+=有解，当0a =时，方程有一解12x =； 当0a ≠时，方程2210ax x -+=有解01,0440a a a a ≠⎧⇔⇒≤≠⎨∆=-≥⎩， 综上知()f x 有零点的充要条件是1a ≤，故A 错误；对于B ，由()()2221e xf x ax x =-+得()()222e x f x x ax a '=+-，当0a =时，()24e xf x x '=-，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，此时()f x 有最大值()0f ，无最小值；当01a <<时，方程2210ax x -+=有两个不同实根1x ，()212x x x <，当[]12,x x x ∈时，()f x 有最小值()00f x <，当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x >；当1a =时，()()221e x f x x =-有最小值0；当1a >时，()0f x >且当x →-∞时，()0f x →，()f x 无最小值； 当0a <时，x →+∞时，()f x →-∞，()f x 无最小值, 综上，当且仅当(]0,1a ∈时，()f x 有最小值，故B 正确；对于C ，因为当2a =时，()()22221e xf x x x =-+，()224e 0x f x x '=≥在R 上恒成立，此时()f x 在R 上单调递增，故C 正确；对于D ，由()()222e xf x x ax a '=+-知，当0a =时，0x =是()f x 的极值点，当0a ≠，2a ≠时，0x =和2ax a-=都是()f x 的极值点，。
山东大学离散数学题库及答案(计本)
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y ，x))∧ ∃z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
数理逻辑参考答案
以下是参考答案。
对于较长的答案，只要回答出要点即可。
每题10分。
酌情评分。
1（A）、答案：300元。
源源，田田，晖晖每人拿出100元即可。
1（B）、答案：故选派方案有：(1)派A、C出差；(2)派A、D出差；(3)派A、B、D出差；(4)派C出差(5)派D出差；(6)派B出差；(7)派B、D出差由于题目要派两个人去出差，因此只有方案(1)、(2)、(7)满足要求，即：派A、C出差；派A、D出差；派B、D出差。
2（A）、答案：底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。
另外参考：要两人才能做到，先在平面上摆放一枚，再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样，这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。
剩下的两枚在空隙处交叉就行了，注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度。
2（B）、答案：a=a+b；b=a-b；a=a-b；3（A）、答案：根据I，每条供词都是由供词中没有提到的怀疑对象所作的。
因此，供词与怀疑对象之间的对应关系只有两种可能：A B(1)布拉德：亚当是无辜的。
(1)科尔：亚当是无辜的6(2)科尔：布拉德说的是真话。
(2)亚当：布拉德说的是真话。
(3)亚当：科尔在撒谎。
(3)布拉德：科尔在撒谎。
对于A，(2)支持(1)；而(3)否定(2)，进而否定(1)。
事实上，供词变成了：(1)布拉德：亚当是无辜的。
(2)科尔：亚当是无辜的。
(3)亚当：亚当有罪。
如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。
根据Ⅱ，这是不可能的。
如果“亚当是无辜的”是真话，那么布拉德和科尔说了真话，而且其中有一人是有罪的。
根据Ⅱ，这也是不可能的。
因此，A是不可能的。
对于B，(3)否定(1)；而(2)支持(3)，进而否定(1)。
事实上，供词变成了：(1)科尔：亚当是无辜的。
(2)亚当：亚当有罪。
(3)布拉德：亚当有罪。
如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。
根据Ⅱ。
逻辑学习题完整版
逻辑学习题完整版练习题（－）引论一、指出下列各段文字中“逻辑”一词的含义：1、实现四个现代化，这个宏伟任务是我国半个多世纪以来，在中国共产党领导下全部革命过程的合乎逻辑的继续。
2、写文章要讲逻辑。
就是要注意整篇文章、整篇讲话的结构，开头、中间、尾巴要有一种关系，要有一种内部的联系，不要互相冲突。
3、这样，对于已经从自然界和历史中被驱逐出去的哲学来说，要是还留下什么的话．那就只留下一个纯粹思想的领域：关于思维过程本身的规律的学说，即逻辑和辩证法。
4、……出现重复，部分是由于术语上的缺点，部分是由于缺乏逻辑修养。
5、跨过战争的艰难路程之后，胜利的坦途就到来了，这是战争的自然逻辑。
6、使我佩服的是列宁演说中那种不可战胜的逻辑力量，这种逻辑力量紧紧地抓住听众，一步一步地感染听众，然后把听众俘虏得一个不剩。
7、在这些人看来，清官比贪官还要坏，这真是个奇怪的逻辑。
8、帝国主义的逻辑和人民的逻辑是这样的不同。
捣乱、失败、再捣乱、再失败，直至灭亡，这就是帝国主义和世界上一切反动派对待人民事业的逻辑，他们是决不会违背这个逻辑的。
9、虽说马克思没有遗留下“逻辑”（大写字母的），但他遗留下《资本论》的“逻辑”。
10、语法、逻辑、修辞、音韵等等都是没有阶级性的。
〔例示〕题：“我们但愿法国历史的无意识的逻辑将战胜所有政党（指当时法国的资产阶级政党——编者注）对逻辑的有意识的违反。
”答：本题中的两个“逻辑”，均指客观事物发展的规律。
二、请指出下列各段文字中具有共同逻辑形式的判断或推理，并用公式表示之。
1、鸟都是有脊椎骨的；天鹅是鸟；所以，天鹅是有脊椎骨的。
2、如果火箭的速度超过9．8公里／秒，那么它就会飞出地球的引力场。
3、只有历史清楚，才能加入中国共产党。
4、如果人们要使工作得到预想的结果，那么就要使自己的思想合乎客观外界的规律性。
5、玛丽喜欢滑冰，而且喜欢打网球，喜欢游泳。
6、或者张明去参观画展，或者李玲去参观画展。
7、如果一部作品获奖，那么，它一定是优秀作品；《芙蓉镇》是获奖作品；所以，它是一部优秀作品。
集合论公理
A UB＝{a，b，c ，d，e ，f}＝BUA，
A B＝{a，d}＝B A，
A－B＝{b，c}，B－A＝{e，f}， 一A＝{e，f，g}，－B＝{b,c，g)， AB＝{b，c，e，f}=BA． 并集AUB中的元素是A和B中所有的元素，公共元素只出现一次．交集A
例4 (内涵表示法，递归)
G＝{x|x＝1 V(y)(yG x={y})}．
集合G是用递归方法定义的．这个定义是构造性 的，可以由该定义求G的每个元素，从而构造出 G．构造G的过程是
由1G，有{1} G，
由{1} G，有{{1}} G，
…
这个构造过程是无止境的，因此G的元素有无限 多个．
(1)以后将证明，对任意的集合A，AA．
(2)以后将证明，对任意的集合A和B，﹁(AB BA)．
(3)对任意的集合A、B和C，当AB和BC时，不一定有AC．以 后将指出，C为传递集合时才能推出AC
4、定义9．2．3 对任意两个集合A和B，若AB 且A≠B，就称A为B的真子集，或称B真包含A，或 称B是A的真超集合，记作
{x|(x-7)(x-8)(x-9)=0}，
表示同一个集合，即三个集合相等．
2、包含关系：定义9．2．2 对任意两个集合A和B，若A 的每个元素都是B的元素，就称A为B的子集合，或称B包 含A，或称B是A的超集合，记作
AB 或 BA．这个定义也可以写成
AB(x)(xA→xB) 两命题间的关系．
(1)若yH．由于y是H的元素,y就具有H中元素的性质yy.考虑 到y就是H，所以yH．这与yH矛盾．
(2)由于y不是H的元素，y就没有H中元素的性质，因此yy．又 因y就是H，则yH．这与yH矛盾．两种情况都存在矛盾，所 以yH和yH都不成立，集合H不存在．
高三数学集合与逻辑100道真题(含答案)
xxx 学校2016-2017学年度3月同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题（本题共72道小题，每小题0分，共0分） 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.1303.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D4.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件5.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝6.16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件7.设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞8.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A.()()p q ⌝∨⌝B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.p q ∨9.已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =I （ ）A.{}|0x x ≤B.C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或10.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]11.（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 12.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i13.4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈14.1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =I （ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅15.2、命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A 、对任意x R ∈，都有20x <B 、不存在x R ∈，都有20x <C 、存在0x R ∈，使得200x ≥D 、存在0x R ∈，使得200x <16.1、已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B U ð（ ）A 、{}134，，B 、{}34，C 、 {}3D 、 {}417."0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件18.10. 设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,19.2.已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则”“3=a 是”“B A ⊆的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件20.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件21.设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=A (1,4)B (3,4)C (1,3)D (1,2)∪（3,4）22.“ϕπ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”（ ）（A ）充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件23.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =I （ ）（A ）{0} （B ）{1,0}- （C ）{0,1} （D ）{1,0,1}-24.已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A ∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B25.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）626.给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件27.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.928.（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =(） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3}（D ）{0，1，2，3} 29.设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( ) A . {}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2- 30.设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 31.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=125|,2)3(log |21x x B x x A ＞，则A I B =（ ）A ．()3,1-B ．[)+∞,3C ．[]3,1-D ．)1,2(--32.设∈b a ,R ，则使b a ＞成立的一个充分不必要条件是 （ ）A ．33b a ＞B ．0)(log 4＞b a -C ．22b a ＞D ．ba 11＜ 33.已知集合}{01|=-=ax x A ，∈≤=x x x B ,2log 12＜｛N ｝，且A B A =I ，则a 所有可能组成的集合是 （ ）A ．φB ．｝｛31C ．｝｛41,31D ．｝｛41,31,0 34.下列四个命题：（Ⅰ）∈∀n ，n n ≥2； （Ⅱ）∈∃n ，n n ＜2； （Ⅲ）∈∀n ，∈∃m ，n m ≤2； （Ⅳ）∈∃n ，∈∀m ，m n m =⋅．请在①自然数集N ；②整数集Z ；③有理数集Q ；④实数集R ；⑤区间(]1,0，中任选一个填在上面四个空中，使其中至少有三个命题为真命题的是 (把所有符合题意的序号都填上)．35.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]={5n+k n ∈Z}，k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“b a -∈[0]”.其中正确的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．436.设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数t 和向量M a ∈ρ,都有M a t ∈ρ,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①2{(,)|}x y x y ≥；②0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭； ③22{(,)|20}x y x y x +-≥； ④22{(,)|3260}x y x y +-<；上述为“点射域”的集合的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．437.在四棱锥V-ABCD 中，B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 上的点，则命题P ：“若B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体AB 1CD 1的体积与四棱锥V-ABCD 的体积之比为1：4”和它的逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．438.对于数列{}n a ，“)3,2,1(,,21⋯=++n a a a n n n 成等比数列”是“221++=n n n a a a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件39.已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，试求[1,1]x ∀∈-，ax x f ≥|)(|成立的充要条件（ ）A ．(][)+∞--∞∈,01,Y aB ．[]0,1-∈aC ．[]1,0∈aD ．[)0,1-∈a40.设有两个命题，命题p ：对a ρ，b ρ均为单位向量，其夹角为θ，＞b a ρρ+1是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈32,0πθ的充要条件，命题q ：若函数28y kx kx =--的值恒小于0，则320k -<<，那么 （ ）A ．“p 且q ”为真命题B ．“p 或q ”为真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题 41.在下列结论中，正确的结论为 （ ）①“q p 且”为真是“q p 或”为真的充分不必要条件;②“q p 且”为假是“q p 或”为真的充分不必要条件;③“q p 或”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件;④“p ⌝”为真是“q p 且”为假的必要不充分条件.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④42.已知平面向a ρ，b ρ满足1=a ρ，2=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为ο60，则1=m 是()a b m a ρρρ⊥-的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条43.若三角方程cos 0x =与cos20x =的解集分别为E,F ，则 （ ）A ．E ⊃≠FB ．E ⊂≠FC ．E=FD ．φ=FE I 44.下列命题中的真命题是 （ ）A ．3是有理数B ．22是实数C ．2e 是有理数D ．{}R x x =是小数|45.下列特称命题中，假命题是 （ ）A ．∃x ∈R ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x ∈{x |x 是无理数}，使x 2是有理数46.非负整数a ,b 满足1=+-ab b a ，记集合(){}b a M ,=，则M 的元素的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个47.若集合22310.5|25|1{|3},{|log (44)0},{|2}252x x x A x B x x x C x x -+-=<=-+>=<-，则“B A x I ∈”是“C x ∈” （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件48.命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是 （ ）A ．所有不能被5整除的数都是偶数B ．所有能被5整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被5整除的数都是偶数D ．存在一个能被5整除的数不是偶数49.定义集合}{n x x x A ,...,,21=，{}()+∈=N m n y y y B m ,,,...,21，若m n y y y x x x +++=+++......2121则称集合A 、B 为等和集合。
完整版)集合与常用逻辑用语测试题及详解
完整版)集合与常用逻辑用语测试题及详解本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.（文）（2011·巢湖市质检）设U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则下列结论中正确的是（）。
A。
A⊆BB。
A∩B={2}C。
A∪B={1,2,3,4,5}D。
A∩(∁U B)={1}答案：C解析：由集合的定义可知，XXX表示A是B的子集，即A中的每个元素都在B中出现。
显然，A不是B的子集，排除A选项。
XXX表示A和B的交集，即A和B中都出现的元素构成的集合。
根据A和B的定义可知，它们的交集为{2,3}，因此排除B选项。
A∪B表示A和B的并集，即A和B中所有元素构成的集合。
根据A和B的定义可知，它们的并集为{1,2,3,4,5}，因此选C。
A∩(∁U B)表示A和B的补集的交集，即除去B中所有元素后，A中剩余的元素构成的集合。
根据A和B的定义可知，它们的补集分别为{4,5}和{1}，因此A∩(∁U B)={1}，排除D选项。
2.（2011·安徽百校联考）已知集合M={-1,0,1}，N={x|x=ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是（）。
A。
M=NB。
MNC。
NMD。
M∩N=∅答案：C解析：根据集合N的定义可知，N中的元素是由M中的元素相乘得到的，其中a≠b。
因此，当a=-1时，b为0或1，x 为-1或0；当a=0时，x为0；当a=1时，b为-1或0，x为-1或0.综上所述，N={-1,0}，因此M和N的关系是NM。
3.（2011·福州期末）已知p：|x|<2；q：x^2-x-2<0，则綈p是綈q的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充要条件D。
数理逻辑考试题及答案
数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。
B. 所有的鸟都会飞。
C. 所有的人都是哲学家。
D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。
B. A且B。
C. A或B。
D. A当且仅当B。
答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。
B. 从A∨B，可以推出A。
C. 从A，可以推出A∨B。
D. 从A∧B，可以推出B。
答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。
[试题]离散数学复习题（请参考课件）
![[试题]离散数学复习题（请参考课件）](https://img.taocdn.com/s3/m/f28571b7294ac850ad02de80d4d8d15abe230009.png)
离散数学Part1_数理逻辑部分1．将下列命题符号化。
P48（1）豆沙包是由面粉和红小豆做成的.（2）苹果树和梨树都是落叶乔木.（3）王小红或李大明是物理组成员.（4）王小红或李大明中的一人是物理组成员.（5）由于交通阻塞，他迟到了.（6）如果交通不阻塞，他就不会迟到.（7）他没迟到，所以交通没阻塞.（8）除非交通阻塞，否则他不会迟到.（9）他迟到当且仅当交通阻塞.分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及必要充分条件答案：（1）是简单命题（2）是合取式（3）是析取式（相容或）（4）是析取式（排斥或）请分别写出（1）—（4）的符号化形式设p: 交通阻塞，q: 他迟到（5）p→q, （6）⌝p→⌝q或q→p（7）⌝q→⌝p或p→q, （8）q→p或⌝p→⌝q（9）p↔q或⌝p↔⌝q可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）3．用真值表判断下面公式的类型P51（1）p r (q p)（2）((p q) ( q p)) r（3）(p q) (p r)按层次写真值表，由最后一列判类型答案：（1）为矛盾式，（2）为重言式，（3）为可满足式例用等值演算法判断下列公式的类型P59（1）q (p q)（2）(p q) ( q p)（3）((p q) (p q)) r)解（1）q (p q)q ( p q) （蕴涵等值式）q (p q) （德摩根律）p (q q) （交换律，结合律）p 0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，（1）为矛盾式.（2）(p q) ( q p)( p q) (q p) （蕴涵等值式）( p q) ( p q) （交换律）1由最后一步可知，（2）为重言式.问：最后一步为什么等值于1？说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.（3）((p q) (p q)) r)(p (q q)) r（分配律）p 1 r（排中律）p r（同一律）由最后一步可知，（3）不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.总结：从此例可看出A为矛盾式当且仅当A 0A为重言式当且仅当A 1例求公式A=(p q) r的主析取范式与主合取范式. P71（1）求主析取范式(p q) r(p q) r（析取范式）①(p q)(p q) ( r r)(p q r) (p q r)m6 m7②r( p p) ( q q) r( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r)m1 m3 m5 m7 ③②, ③代入①并排序，得(p q) r m1 m3 m5 m6 m7 （主析取范式）（2）求A的主合取范式(p q) r(p r) (q r) （合取范式）①p rp (q q) r(p q r) (p q r)M0 M2 ②q r(p p) q r(p q r) ( p q r)M0 M4 ③②, ③代入①并排序，得(p q) r M0 M2 M4 （主合取范式1．设A与B均为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？P85（1）A B当且仅当A与B有相同的主析取范式（2）若A为重言式，则A的主合取范式为0（3）若A为矛盾式，则A的主析取范式为1（4）任何公式都能等值地化成{ , }中的公式（5）任何公式都能等值地化成{ , , }中的公式（1）为真，这是显然的（2）为假. 注意, 任何公式与它的主范式是等值的，显然重言式不能与0等值。
x本科数理逻辑一阶逻辑与集合4-6
例4： 前提∀x F(x)∨∀x G(x)) 结论 ∀x （F(x)∨ G(x)) 可用反证法 例5: 前提∀x (F(x)∨G(x)) , ∀x （F(x)→ H(x)) 结论 ∀x ( ┑H(x) → G(x)) 例6: 前提∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) → L(x,y)) ), ∀x（F(x)→ ∀y( H(y) → ┑L(x,y)) ) 结论 ∀x (G(x) → ┑H(x)) 作业：第五章
三、集合的幂集
1、 n个元素集合A的m元子集 集合A的所有子集个数 2．幂集 定义5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)(或2A) 幂集的符号化表示为： P(A) ＝{ x | x ⊆ A } 注：幂集是以子集合为元素的集合 任何集合A一定有二个平凡子集 ：Ø 和 A 例：设 S＝｛a,{a}, Ø ｝ 求P(S) 3、对于隶属关系和包含关系要明确 例：证明 A ⊆ B 的充要条件是P（A）⊆ P（B）
例:判断真假
1) a ∈{ {a}} 2){a}∈{ {a}}
例:设S＝｛2，a,{3},4｝ R={ {a},3,4,1 }判断真假 1) {a,4,{3}}⊆ S 2) {a} ⊆ S 3) {a} ∈ R 4) {a} ⊆ R 5) Ø ∈ R 6){Ø} ∈ R 7） Ø ⊆ {a} 8) Ø ⊆ ｛{a}｝⊆R ⊆E
A(y)= ∃x P(x,y)：x>y 若用x取代y 成为 ∀x∃x P(x,x)：x>x错误结论 3) 存在量词引入规则(简称EG规则或EG) A(c ) ⇒ ∃xA(x) 该式成立的条件是： (1) c是特定的个体常项； (2) 取代c的x不能在A(c)中出现过； 4) 存在量词消去规则(简记为EI规则或EI) ∃x A(x) ⇒ A(c) 该式成立的条件是： (1)c是使A为真的特定的个体常项；（有时可能仅有一个） (2) c不在A(x)中出现； (3)若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现的个体变 项，此规则不能使用． 如：设F(x):x为奇数 G(x)：为偶数 ∃xF(x)∧∃xG(x) 可推出假的结论
《离散数学》题库大全及答案
为离散数学领域的经典教材,全世界几乎所有知名的院校都曾经使用本书作为教材.以我个人观点看来,这本书可以称之为离散数学百科.书中不但介绍了离散数学的理论和方法,还有丰富的历史资料和相关学习网站资源.更为令人激动的便是这本书少有的将离散数学理论与应用结合得如此的好.你可以看到离散数学理论在逻辑电路,程序设计,商业和互联网等诸多领域的应用实例.本书的英文版(第六版)当中更增添了相当多的数学和计算机科学家的传记,是计算机科学历史不可多得的参考资料.作为教材这本书配有相当数量的练习.每一章后面还有一组课题,把学生已经学到的计算和离散数学的内容结合在一起进行训练.这本书也是我个人在学习离散数学时读的唯一的英文教材,实为一本值得推荐的好书。
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
离散数学集合论部分综合练习
离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次, 分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习, 这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目, 目的是经过综合练习, 使同学自己检验学习成果, 找出掌握的薄弱知识点, 重点复习, 争取尽快掌握。
本次是集合论部分的综合练习。
一、单项选择题1．若集合A={a, b}, B={ a, b, { a, b }}, 则( ) ． A．A B, 且A B B．A B, 但A BC．A B, 但A B D．A B, 且A B 2．若集合A＝{2, a, { a }, 4}, 则下列表述正确的是( )．A．{a, { a }}A B．{ a }AC．{2}A D． A3．若集合A＝{a, {a}, {1, 2}}, 则下列表述正确的是( )． A．{a, {a}}A B．{2}AC．{a}A D．A4．若集合A={a, b, {1, 2 }}, B={1, 2}, 则( ) ．A．B A, 且B A B．B A, 但B AC．B A, 但B A D．B A, 且B A5．设集合A = {1, a }, 则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}} C．{∅,{1}, {a}, {1, a}} D．{{1}, {a}, {1, a}} 6．若集合A的元素个数为10, 则其幂集的元素个数为( ) ．A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x, y>|x+y=10且x, y∈A}, 则R的性质为( ) ．A．自反的 B．对称的C．传递且对称的 D．反自反且传递的8．设集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }上的二元关系R ={<a , b>a , b∈A , 且a +b = 8}, 则R具有的性质为( ) ．A．自反的 B．对称的C．对称和传递的 D．反自反和传递的9．如果R1和R2是A上的自反关系, 则R1∪R2, R1∩R2, R1-R2中自反关系有( ) 个．A ．0B ．2C ．1D ．310．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>, <2 , 2>, <2 , 3>, <4 , 4>},S = {<1 , 1>, <2 , 2>, <2 , 3>, <3 , 2>, <4 , 4>}, 则S 是R 的( ) 闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如图一所示, 若A 的子集B则元素3为B 的( ) ．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对12．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, R 是A 上的整除关系, B ={2, 4, 6}, 则集合B 的最大元、 最小元、 上界、 下界依次为 ( )．A ．8、 2、 8、 2B ．无、 2、 无、 2C ．6、 2、 6、 2D ．8、 1、 6、 113．设A ={a , b }, B ={1, 2}, R 1, R 2, R 3是A 到B 的二元关系, 5图且R1={<a, 2>, <b, 2>}, R2={<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>}, R3={<a, 1>, <b, 2>}, 则( ) 不是从A到B的函数．A．R1和R2 B．R2 C．R3 D．R1和R3二、填空题1．设集合A有n个元素, 那么A的幂集合P(A)的元素个数为．2．设集合A＝{a, b}, 那么集合A的幂集是．应该填写: {,{a,b},{a},{b }}3．设集合A={0, 1, 2, 3}, B={2, 3, 4, 5}, R是A到B的二元关系,∈R⋂xy∈x且=且<>∈{B,,}AyyBxA则R的有序对集合为．4．设集合A={0, 1, 2}, B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系,∈∈R⋂x∈y且=且<>A{B,,}xyAxyB则R的关系矩阵M R＝．5．设集合A={a,b,c}, A上的二元关系R={<a, b>,<c. a>}, S={<a, a>,<a, b>,<c, c>}则(R S)－1= ．6．设集合A=｛a,b,c｝, A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}, 则二元关系R具有的性质是．7．若A={1,2}, R={<x, y>|x A, y A, x+y=10}, 则R的自反闭包为．8．设集合A={1, 2}, B={a, b}, 那么集合A到B的双射函数是．9．设A={a, b, c}, B={1, 2}, 作f: A→B, 则不同的函数个数为．三、判断说明题( 判断下列各题, 并说明理由．)1．设A、B、C为任意的三个集合, 如果A∪B=A∪C, 判断结论B=C是否成立? 并说明理由．图一。
15春地大《数理逻辑与集合论》在线作业一答案
15春地大《数理逻辑与集合论》在线作业一答案1. 问题一解答：这是一个关于集合论的基本问题。
根据题目条件，我们可以得到两个集合的定义：集合A包含元素1、2、3、4、5，集合B包含元素3、4、5、6、7。
我们需要找到这两个集合的交集。
根据集合的定义，交集是指同时属于集合A和集合B的元素构成的新集合。
在本题中，集合A和集合B的交集就是包含元素3、4、5的新集合。
因此，答案为{3, 4, 5}。
2. 问题二解答：这是一个关于集合论的运算问题。
根据题目条件，我们可以得到三个集合的定义：集合A包含元素1、2、3、4、5，集合B包含元素3、4、5、6、7，集合C包含元素5、6、7、8、9。
根据集合的定义，差集是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素构成的新集合。
在本题中，集合A和集合B的差集就是不属于集合B但属于集合A的元素构成的新集合。
根据题目条件，集合A和集合B的差集为{1, 2}。
同理，集合B和集合C的差集为{3, 4}，集合C和集合A的差集为{8, 9}。
3. 问题三解答：这是一个关于命题逻辑的问题。
根据题目条件，有三个命题P、Q、R。
我们需要根据命题的逻辑关系给出相应的真值表。
根据题目中的逻辑连接词，可以得到以下逻辑关系：- 命题P与命题Q的合取为真，则P为真，Q为真。
- 命题P或命题R的析取为真，则P为真，R为真。
- 命题Q与命题R的蕴含为真，则R为真，Q为真。
- 命题P与命题Q的等价为真，则P为真，Q为真。
- 命题P蕴含命题R的否定为真，则P为真，R为假。
根据上述逻辑关系，可以得到以下真值表：| P | Q | R |4. 问题四解答：这是一个关于集合的证明题。
根据题目条件，我们需要证明一个集合关系：若集合A包含集合B，且集合B为空集，则集合A也为空集。
根据集合的定义，集合A包含集合B是指集合B的所有元素都属于集合A。
而集合B为空集，意味着集合B不包含任何元素。
因此，根据集合的包含关系，集合A也不包含任何元素，即集合A 为空集。
五证明解答(一逻辑集合关系)
五、证明或解答：（数理逻辑、集合论与二元关系部分）1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言：(1) ∃x∀y（xy=1）; (2) ∀x∃y(xy=1);(3) ∀x∃y (xy=0); (4) ∃x∀y（xy=0）;(5) ∀x∃y (xy=x); (6) ∃x∀y（xy=x）;(7) ∀x∀y∃z (x-y=z)答：（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1;（2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1;（3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0;（4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1;（5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x;（6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x;（7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
2、设A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): x<y, G(x,y): x>y，个体域为自然数。
将下列命题符号化：（1）没有小于0的自然数;（2）x<z是x<y且y<z的必要条件;（3）若x<y，则存在某些z，使z<0, xz>yz;（4）存在x，对任意y 使得xy=y;（5）对任意x，存在y使x+y=x。
答：（1）∀x（G(x,0)∨M（0,0,x））或⌝∃x L(x,0)（2）∀x∀y∀z ((L(x,y)∧L(y,z))→L(x,z))（3）∀x ∀y ((L(x,y)∃→z(L(z,0)∧G(xz,yz)))（4）∃x ∀yM （x,y,y ）（5）∀x ∃yA(x,y,x)3、列出下列二元关系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={<x,y>|x,y B A ⋂∈};（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={<x,y>|2≤x+y ≤4且x A ∈且y ∈B};（3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={<x,y>||x|=|y|且x A ∈且y ∈B};解：(1) R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}(2) R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>};(3) R={<1,1>,<1,-1>,<2,-2>,<3,-3>}。
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 命题逻辑中的“与”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：B2. 如果命题P为真，命题Q为假，则命题P∨Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：A3. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. P → Q, ¬Q → ¬P, 因此P → ¬QB. P → Q, ¬P → Q, 因此QC. P → Q, Q → R, 因此P → RD. P ∧ Q, ¬P, 因此¬Q答案：C4. 命题逻辑中的“非”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：D5. 如果命题P为假，命题Q为真，则命题P∧Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：B6. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. ∧D. ¬答案：A7. 在谓词逻辑中，全称量词“∀”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：B8. 在谓词逻辑中，存在量词“∃”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：A9. 以下哪个是谓词逻辑中的等价关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个是谓词逻辑中的偏序关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是命题逻辑中的联结词？A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：ABCD12. 以下哪些是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. →D. ¬答案：AB13. 以下哪些是谓词逻辑中的等价关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 非对称性答案：ABC14. 以下哪些是谓词逻辑中的偏序关系的性质？A. 自反性B. 反对称性C. 传递性D. 对称性答案：ABC15. 以下哪些是谓词逻辑中的逻辑推理规则？A. 普遍实例化B. 存在概括C. 模态逻辑D. 条件证明答案：ABD三、填空题（每题2分，共20分）16. 命题逻辑中的“或”运算符用符号________表示。
集合与常用逻辑用语测试题和答案完整版
集合与常用逻辑用语测试题和答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]集合与常用逻辑用语测试题1.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A={x|x2-2x>0}，B={x|-5<x<5}，则()A.A∩B=B.A∪B=RC.BAD.AB2.(2014·昆明模拟)已知集合S={1,2},集合T={a},表示空集,如果S∪T=S,那么a的值构成的集合是()A. B.{1} C.{2} D.{1,2}3.已知命题p:x0∈R, x2-3x+3≤0,则下列说法正确的是()A.p: x0∈R, x2-3x+3>0,且p为真命题; B.p: x∈R, x2-3x+3>0,且p为假命题；C.p: x∈R, x2-3x+3>0,且p为真命题；D.p: x∈R, x2-3x+3>0,且p为假命题4.（2013·辽宁高考）已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x||x|<2}，则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}5.已知ab>0,若a>b,则1/a<1/b的否命题是()A.已知ab≤0,若a≤b,则1/a≥1/bB.已知ab≤0,若a>b,则1/a≥1/bC.已知ab>0,若a≤b,则1/a≥1/bD.已知ab>0,若a>b,则1/a≥1/b6.(2014·西城模拟)已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A具有性质P:当a∈A时,必有6-a∈A.则具有性质P 的集合A的个数是() A.8 B.7 C.6 D.57.设a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1/a”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2014·哈尔滨模拟)给定下列两个命题:①“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;②“x∈R,使sinx>0”的否定是“x∈R,使sinx≤0”.其中说法正确的是( )A.①真②假B.①假②真C.①和②都为假D.①和②都为真9.(2013·山东高考)给定两个命题p,q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q的()A.充分而不必要条件；B.必要而不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件10.(2014·金华模拟)给出下列命题:(1)等比数列{an }的公比为q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N*)”的既不充分也不必要条件;(2)“x≠1”是“x2≠1”的必要充分条件;(3)函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R,则实数-2<a<2; (4)“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充要条件. 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.411.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“x0∈R,使f(x)<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.已知下列四个命题:①命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题为假命题;②命题p:x∈R,sinx≤1,则p:x∈R,使sinx0>1;③“φ=+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;④命题p:“x∈R,使sinx0+cosx=”;命题q:“若sinα>sinβ,则α>β”,那么(p)∧q为真命题.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.413.(2014·银川模拟)若命题“x0∈R,+(a-3)x+4<0”为假命题,则实数a的取值范围是14.(2014·青岛模拟)已知A={x|1/8<2-x<1/2<1},B={x|log2(x-2)<1},则A∪B=15.已知下列四个结论:①命题“若p,则q”与命题“若q,则p”互为逆否命题;②命题p:x∈[0,1],≥1,命题q:x0∈R,+x+1<0,则p∨q为真;③若p∨q为假命题,则p,q均为假命题;④“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是 .16.(12分)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题、p∧q为假命题,求实数m的取值范围.17.(12分)(2014·黄山模拟)已知全集U=R,集合A={x|(x-2)(x-3)<0},B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}.B)∩A. (2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.(1)当a=1/2时,求(U答案解析1.【解析】选B.由A={x|x2-2x>0}得，A={x|x<0或x>2}，又B={x|-5<x<5}，所以A∪B=R.2.【解析】选D.因为S={1,2},T={a},S∪T=S,所以TS,a∈S,所以a=1或a=2,故选D.3.【解析】选C.依题意,命题p:x0∈R,-3x0+3≤0的否命题为不存在x∈R,使得x2-3x+3≤0,即对任意的x ∈R,x2-3x+3>0.又x2-3x+3=+>0,所以命题p为假命题,所以p为真命题.4.【解析】选B.B={x||x|<2}={x|－2<x<2}，则A∩B={0,1,2,3,4}∩{x|－2<x<2}={0,1}.5.【解析】选C.条件ab>0是大前提,所以其否命题是:已知ab>0,若a≤b,则≥.6.【解析】选B.由题意,知3∈A可以,若1∈A,则5∈A,若2∈A,则4∈A,所以具有性质P的集合A有{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.7.【解析】选D.若0<ab<1,则当a>0时,有b<,当a<0时,有b>.当b<时,不妨设b=-1,a=1,满足b<,但ab=-1,不满足0<ab<1.所以0<ab<1是b<成立的既不充分也不必要条件,选D.8.【解析】选D.①中,“p∨q”为真,说明,p,q至少有一为真,但不一定p为真,即“p”不一定为假;反之,“p”为假,么p一定为真,即“p∨q”为真,命题①为真;特称命题的否定是全称命题,所以,②为真,综上知,①和②都为真.9.【解析】选A.因为p是q的必要而不充分条件,所以q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件..10.【解析】选B.若首项为负,则公比q>1时,数列为递减数列,an+1<an(n∈N*),当an+1>an(n∈N*)时,包含首项为正,公比q>1和首项为负,公比0<q<1两种情况,故(1)正确;“x≠1”时,“x2≠1”在x=-1时不成立,“x2≠1”时,“x≠1”一定成立,故(2)正确;函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R,x2+ax+1=0的Δ=a2-4≥0,解得a ≥2或a≤-2,故(3)错误;“a=1”时,“函数y=cos2x-sin2x=cos2x的最小正周期为π”,但“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”时,“a=〒1”,故“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件,故(4)错误.故选B.11.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以x0∈R,使f(x0)<0,成立.若x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件,故选A.12.【解析】选B.①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定是特称命题知,②为真.③当函数偶函数时,有φ=+kπ(k∈Z),所以为充要条件,所以③正确.④因为sinx+cosx=sin的最大值为<,所以命题p为假命题,p为真,三角函数在定义域上不单调,所以q为假命题,所以(p)∧q为假命题,所以④错误.所以正确的个数为2,故选B。
面试数理逻辑面试题目(3篇)
第1篇一、题目一：命题逻辑1. 题目描述：（1）已知命题P：“今天是星期一”和命题Q：“明天是星期二”。
请判断以下命题的真假：A. P∧Q（P且Q）B. P∨Q（P或Q）C. ¬P（非P）D. P→Q（如果P，则Q）2. 解答思路：（1）根据题目，我们知道P为真，Q为假。
（2）根据逻辑运算规则，我们可以得出以下结论：A. P∧Q为假，因为Q为假；B. P∨Q为真，因为P为真；C. ¬P为假，因为P为真；D. P→Q为真，因为P为真且Q为假，不满足充分条件假言判断的假命题条件。
3. 解答：A. P∧Q为假；B. P∨Q为真；C. ¬P为假；D. P→Q为真。
二、题目二：谓词逻辑1. 题目描述：（1）已知谓词函数F(x)：“x是偶数”，请判断以下命题的真假：A. F(2)∧F(3)（2是偶数且3是偶数）B. F(2)∨F(3)（2是偶数或3是偶数）C. ¬F(2)∧F(3)（2不是偶数且3是偶数）D. F(2)→F(3)（如果2是偶数，则3是偶数）2. 解答思路：（1）根据题目，我们知道F(2)为真，F(3)为假。
（2）根据逻辑运算规则，我们可以得出以下结论：A. F(2)∧F(3)为假，因为F(3)为假；B. F(2)∨F(3)为真，因为F(2)为真；C. ¬F(2)∧F(3)为假，因为F(2)为真；D. F(2)→F(3)为假，因为F(2)为真且F(3)为假，不满足充分条件假言判断的假命题条件。
3. 解答：A. F(2)∧F(3)为假；B. F(2)∨F(3)为真；C. ¬F(2)∧F(3)为假；D. F(2)→F(3)为假。
三、题目三：推理证明1. 题目描述：（1）已知以下条件：A. 如果今天下雨，则明天会打雷；B. 今天没有下雨；C. 如果明天打雷，则会影响户外活动；请根据以上条件，判断以下命题的真假：A. 明天一定会打雷；B. 明天不会打雷；C. 明天会影响户外活动。
数理逻辑部分综合练习附答案
数理逻辑部分综合练习及答案一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．所以选项B 是正确的．正确答案：B问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，怎么符号化呢？2．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的． 正确答案：C3．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．由教材第167页中的蕴含等价式知道，公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A 是正确的．正确答案：A注：第2，3题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。
如果题目改为求一个变元（P 或⌝P ）命题公式的合取范式或析取范式，那么答案是什么？4．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨QB ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →QC ．Q →P ⇒ PD ．⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q因为： ⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q （析取三段论，P171公式(10)）所以，选项D 是正确的．正确答案：D5．下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q )) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q ))C ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q ))D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔Q由教材第167页中的蕴含等价式，得(P →(⌝Q →P )) ⇔⌝P ∨(Q ∨ P )，(⌝P →(P →Q )) ⇔ P ∨ (⌝P ∨Q )所以，C 是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式 ( )为永真式”，应该是一样的．6．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ ）．A ．(∀x )(A (x )∧B (x )) B ．⌝(∃x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))由题设知道，A (x )→B (x )表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x ，得到公式C ．正确答案：C7．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）．A ．(∃x )(A (x )∧B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))选项A 中的A (x )∧B (x )表示x 是人，而且是工人，∃x 表示存在一个人，有一个人，因此(∃x )(A (x )∧B (x ))表示“有人是工人”．正确答案：A8．表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )．A ．P (x , y )B ．P (x , y )∨Q (z )C ．R (x , y )D ．P (x , y )∧R (x , y )所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x 之后最小的子公式是什么呢？显然是P (x , y )∨Q (z )，因此，选项B 是正确的．正确答案：B注：如果该题改为判断题，即表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是P (x , y )如何判断并说明理由呢？9．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（ ）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的． 正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )A ．)1(=⋅∃∀y x y xB ．)0(=+∃∀y x y xC ．)(x y x y x =⋅∀∃D ．)2(y y x y x =+∀∃因为选项A 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足xy =1，这样的y 是不存在的选项B 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足x +y =0，这样的y 也是不存在的选项C 表示：存在一自然数x 自然数对任意自然数y 满足xy =x ，取x =0即可，故选项C 正确正确答案：C二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是 ．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P ) ⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 ．一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→． 应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))注：如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值为 ．因为 (∃x )A (x )⇔A (1)∨A (2)∨A (3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：1注：若个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值是什么？或：设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x是奇数”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值是什么？6．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?判断：谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为x，是否正确?为什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．注：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）⌝∧的真值是1．1．命题公式P P解错误．⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．因为P P2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x)A(x) ∧ B(x) 前提引入(2) A(y) ∧B(y) US (1)解：错第2步应为：A(y) ∧B(x)因为A(x)中的x是约束变元，而B(x)中的x是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．分析：定义6.6.7 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有大项的合取组成，则该等价式称为原式的主合取范式．定义6.6.6 n个命题变元的析取式，称为布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．解析取范式，合取范式、主析取范式的定义前面复习过了，由教材167的蕴含等价式P→Q∨R ⇔⌝P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )（补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”． 例如：求（P ∨Q ）→R [或(P ∨Q )→(R ∨Q )，P →Q ∧R ]的合取范式、析取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解 （1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y ) ⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q⇔((⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P )∧Q⇔⌝P ∧Q （吸收律）⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）2．试证明(∃x )(P (x )∧R (x ))⇒(∃x )P (x )∧(∃x )R (x )．分析：前提：(∃x )(P (x )∧R (x ))，结论：(∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) ．证明 (1) (∃x )(P (x )∧R (x )) P(2) P (a )∧R (a ) ES (1) (存在指定规则)(3) P (a ) T (2) I （化简）(4) (∃x )P (x ) EG (3) (存在推广规则)(5) R (a ) T (2) I （化简）(6) (∃x )R (x ) EG (5) (存在推广规则)(7) (∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) T (4)(6)I （合取引入）。
（完整版）集合与简易逻辑试卷及详细答案
（完整版）集合与简易逻辑试卷及详细答案集合与简易逻辑⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．每⼩题中只有⼀项符合题⽬要求)1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表⽰的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}3．已知?Z A＝{x∈Z|x＜6}，?Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是() A．A?B B．A?BC．A＝B D．?Z A?Z B4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第⼆象限C．p：x＝1，q：x2＝x D．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是() A．(⾮p)或q B．p且qC．(⾮p)且(⾮q) D．(⾮p)或(⾮q) 7．下列命题中，真命题是()B．?x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件，则()A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假9．命题p：?x∈R，x2＋1>0，命题q：?θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是()A．p∧q B．(⾮p)∧qC．(⾮p)∨q D．p∧(⾮q)10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平⾏”的否命题为() A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平⾏B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平⾏C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平⾏D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平⾏11．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的⼀个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤512．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的()A．充分⽽不必要条件B．必要⽽不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有⼀个元素，则实数a的值为________．14．命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(?U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17．(本⼩题满分10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A??R B，求实数m的取值范围．18．(本⼩题满分12分)已知命题“?x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．19．(本⼩题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10x＋6>1}．(1)若m＝3，求E∩F；(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．20．(本⼩题满分12分)已知全集U＝R，⾮空集合A＝{x|x－2x－(3a＋1)<0}，B＝{x|x－a2－2x－a<0}．(1)当a＝12时，求(?U B)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．21．(本⼩题满分12分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．22．(本⼩题满分12分)已知命题p：⽅程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有⼀个实数x0满⾜不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案：⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．每⼩题中只有⼀项符合题⽬要求)1．答案C解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|12解析依题意知A＝{0,1}，(?U A)∩B表⽰全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表⽰的集合等于{－1,2}，选A.3．答案A4．D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，⽽“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因⽽p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因⽽p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因⽽p为q的充要条件．故选A.6．答案D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．7．答案D解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1?ab>1.8．答案A解析由x>3能够得出x2>9，反之不成⽴，故命题p是假命题；由ac2>bc2能够推出a>b，反之，因为1c2>0，所以由a>b能推出ac2>bc2成⽴，故命题q是真命题．因此选A.9．答案D解析易知p为真，q为假，⾮p为假，⾮q为真．由真值表可知p∧q假，(⾮p)∧q假，(⾮p)∨q假，p∧(⾮q)真，故选D.10．答案A解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a ＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平⾏”的否定为“直线l1与l2不平⾏”，所以选A.11．答案C解析命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的⾮空真⼦集，正确选项为C.12．答案B⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.⽽a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0⽆解．∴a＝0或a＝－2.14．答案充要解析∵“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，∴“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．15．答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(?U B)＝{m|m＝2n＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．16．答案(0，1 2]解析由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的⼦集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12，⼜a>0，故a的取值范围是(0，12]．三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17 答案 (1)2。
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暨 南 大 学 试 卷 答 案
一、填空、选择题（15小题，每题2分，共30分）
1. 真
2. 设P:2+2=5， Q:地球是静止不动的，¬P → Q; 真值为：假
3. 236，230
4. (()()(,))x y T x C y F x y ⌝∀∀∧→
5. 并非所有的智能工作都能由计算机来完成。
6. ∨∨→∧∧((1)(2)(3))((1)(2)(3))P P P Q Q Q
7. 大华的孩子
8. 极大元：e,f; 极小元：a,最大元：无，最小元：a 9. =-},{y x A {{,},}x y ∅ =∅-}{A {{,},,}x y x y
=-A y x }},{{∅ =-∅A ∅
10.E
11. A
12. D
13.（a ）V, VI, XI （b ）II, IV, VII, IX （c ）I, III, VIII 14.自反性、对称性、传递性 15.C 、D
二、逻辑谬误辨析（6小题，每小题2分，共12分）
1. 夸张、歪曲，甚至凭空创造对方的观点，使自己能够更加轻松地攻击对方。
2. 不讨论现下的事物，而过分推演对方论点以致荒谬
3. 不能证伪一个事物，或者举出反例，并不能证明这个事物的合理性。
4. 在大量的数据/证据中小心的挑选出对自己的观点有利的证据，而不使用那些对自己不利的数据/证据。
5. 采用循环论证的方法来证明一个被包含在前提里面的观点。
6. 在提出问题的时候加入了诱导的成分，使得对方只能按着你的意思来回答。
三、简答题（5小题，每小题4分，共20分）
1. 解答：
(1) 12()()P Q P Q m m ⌝∨⌝↔⌝→⇔∨ (2) 主合取范式为∧03M M 2.
(1) 一个是空集，一个仅含有∅这个元素的集合。
(2) 若A = ∅，仅能构造一个空函数，故B A
= {∅}；若B = ∅，A ≠ ∅，A 中的元素无法在B 中找到元素对应，无法定义任何函数，故B A
= ∅
3. 如果A 是不可数集合，B 是可数集合，那么A –B 一定不可数吗？简要描述你的推理过程，仅仅给出正确结论者只得1分。
答：一定不可数。
假设A-B 可数，又因为B 可数，则A 中所有元素可以由A-B, B 两个可数集合中的元素轮流枚举，则A 可数，与前提矛盾。
故假设不成立，A-B 一定不可数。
4. （1）对称 （2）自反、传递 (3) 对称
5. 证明或者给出以下结论的反例：对于集合A及A上的二元关系R，如果R是自反和对称的，则R一定是传递的。
解答：结论不成立。
反例：A = {1,2,3}，R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}
四、证明、推理题（4小题，每小题6分，共24分）
甲说：杰哥不是广东人，是广西人。
乙说：杰哥不是广西人，是广东人。
丙说：杰哥既不是广西人，也不是云南人。
杰哥听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各半。
试推理杰哥到底是哪里人？
解答：
符号化：P：杰哥是广东人Q：杰哥是广西人R：杰哥是云南人
则甲：¬ P∧Q乙：¬Q∧P丙：¬Q∧¬R
丙不可能全错，只能是甲或者乙全错。
若甲全错，则杰哥是广东人，乙全对，丙也全对，矛盾。
因此只能是乙全错，则杰哥是广西人，甲全对，丙一对一错。
与题意吻合。
故最终答案为：杰哥为广西人。
2.根据推理理论证明：所有有意义的非分析命题原则上都可以证伪，宗教命题
不是分析命题，原则上也不能证伪，因此，宗教命题是没有意义的命题。
论域为全总论域，不得篡改论域！
证明：：令M(x)表示“x是有意义的命题”，F(x)表示“x是原则上可证伪的命题”，A(x)表示“x是分析的命题”，L(x)表示“x是宗教命题”。
则命题“所有有意义的非分析命题原则上都可以证伪”符号化为：
∀x(M(x) ∧¬ A(x) →F(x))；
命题“宗教命题不是分析的命题，原则上也不能证伪”符号化为：
∀x(L(x) →¬A(x) ∧¬F(x))；
命题“宗教命题是没有意义的命题”符号化为：∀x(L(x) →¬M(x))
因此要验证的推理是
前提：∀x(M(x) ∧¬ A(x) →F(x)), ∀x(L(x) →¬A(x) ∧¬F(x))
结论：∀x(L(x) →¬M(x))
(1) ∀x(M(x) ∧¬ A(x) →F(x)) // 前提引入
(2) M(y) ∧¬ A(y) →F(y) // (1)全称量词消除
(3) ∀x(L(x) →¬A(x) ∧¬F(x)) //前提引入
(4) L(y) →¬A(y) ∧¬F(y) // (3)全称量词引入
(5) L(y) //附加前提引入
(6) ¬A(y) ∧¬F(y) // (4),(5)假言三段论
(7) ¬A(y) // (6)合取消除
(8) M(y) //结论的否定作为附加前提引入
(9) M(y) ∧¬ A(y) // (7),(8)合取引入
(10) F(y) // (2),(9) 假言三段论
(11) ¬F(y) // (6)合取消除
(12) ¬M(y) // (8),(10),(11)归谬法
(13) L(y) →¬M(y) // (5),(12)附加前提法
(14) ∀x(L(x) →¬M(x)) // (13)全称量词引入
3.判断下列命题的真假，真命题给出详细证明，假命题给出理由。
（1）P(A) ⋂ P(B) = P(A ⋂ B)
（2）若集合A的基数为5，则A上恰有31个不同的等价关系。
(1) 真。
证明如下：
(2) 假。
因为集合A上的等价关系与A的划分是一一对应的，|A|=5，其中一共有52种划分，因此其上可定义52种不同的等价关系。
4. 设偏序集<A,R>和<B,S>，定义A⨯B上二元关系T:
<x,y>T<u,v> ⇔xRu∧ySv
证明T为偏序关系。
证
证明自反性任取<x,y>,
<x,y>∈A⨯B ⇒x∈A∧y∈B ⇒xRx∧ySy ⇒ <x,y>T<x,y> 证明反对称性任取<x,y>,<u,v>
<x,y>T<u,v>∧<u,v>T<x,y> ⇒xRu∧ySv∧uRx∧vSy
⇒ (xRu∧uRx) ∧ (ySv∧vSy) ⇒x=u∧y=v
⇒ <x,y>=<u,v>
证明传递性任取<x,y>,<u,v>, <w,t>
<x,y>T<u,v>∧<u,v>T<w,t> ⇒xRu∧ySv∧uRw∧vSt
⇒ (xRu∧uRw) ∧ (ySv∧vSt) ⇒xRw∧ySt
⇒ <x,y>T<w,t>
四、计算题（1小题，共14分）
对给定的A, B和f, 判断是否构成函数f：A→B. 如果是, 说明f：A→B是否为单射、满射、双射的. 并根据要求进行计算.
（1） A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f = {<1,8>,<3,9> ,<4,10>, <2,6>, <5,9>}.（2分）
（2） A,B同(1), f ={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}.（2分）
（3） A=B=R, f(x)=x3.（2分）
（4） A=B=R×R, f(<x,y>)=<x+y,x-y>. 令L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}, 计算f(L). （4分）
（5）A=N×N, B=N, f(<x,y>)=|x2-y2|. 计算f -1({0}).（4分）
解答：
（1）能构成函数，f 既不是单射也不是满射, 因为f(3)=f(5)=9, 且7∉ran f. （2）不能构成函数, 因为<1,7>∈f且<1,9>∈f, 与函数定义矛盾.
（3）能构成函数, f是双射。
（4）能构成函数, f是双射。
f(L) = {<2x-3, 3>|x∈R}=R×{3}
（5）能构成函數，f既不是单射的也不是满射的.
f--1({0}) = {<n,n>|n∈N}.。