甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021学年第一学期期末高三文科数学试题(word版,含详细答案)

甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021学年第一学期

高三期末数学试题（文科）

第I 卷（选择题）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上。

1．若集合(){}

2log 1A x y x ==-，{}

2

60B x x x =--≤，则A

B =（ ）

A ．[)2,-+∞

B ．

[]1,3

C ．

(]1,3

D ．()1,+∞

2．已知i 是虚数单位，则复数37i

i

z +=的实部和虚部分别为（ ） A ．7，3i -

B ．7-，3

C ．7-，3i

D ．7，3-

3．已知λ∈R ，向量,1(1)λ=-a ，)2(,λ=-b ，且⊥a b ，则λ=（ ）

A ．1-

B ．2

C ．1-或2

D ．1或2-

4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

．它

表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，

信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S

N

叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以

忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S

N 从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）

附：lg 20.3010≈． A ．10%

B ．20%

C ．50%

D ．100%

5．已知直线1(2)10l ax a y +++=:，2:20()l x ay a ++=∈R ，则“12l l ∥”是“1a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要

6．在等比数列

中，1310a a +=，57160a a +=，则1a =（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

7．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为

0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若2

4m

n +=，则

2

2cos 271

m n

=︒-（ ） A ．8 B ．4

C ．2

D ．1

8．已知函数()21x

f x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．我国南宋时期数学家秦九韶在其著作（数术九章》中提出了解决多项式求值的秦九韶算法，其程序框图如图所示，若输入3x =，则输出v 的值为（ ）

A ．11

31-

B ．11312-

C ．12312-

D ．10312

-

10．设12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y

C a b a b

-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，若

1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）

A ．13+

B ．3

C ．23+

D ．423+

11．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )

A.15

B.25

C.35

D.4

5

12．对于函数()22,0

1

2,0

2x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪

=⎨-+>⎪⎩

，有下列命题：

①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22

e

-；

②函数()f x 的最小值为2

e

-；

③该函数图象与x 轴有4个交点；

④函数()f x 在(],1-∞-上为减函数，在(]

0,1上也为减函数． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．①②③

C ．①②④

D ．②③④

第II 卷（非选择题）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．若实数,x y 满足3

3901x y x y y +≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

，则3z x y =-的最大值为_______．

14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=，则9S =______．

15．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则

12

m n

+的最小值为_______． 16．已知ABC △中，P 在边BC 上且⊥AP BC ，现以AP 为折痕将ABC △折起，使得π

2

BPC ∠=

．若224PA PB PC ===，则该三棱锥P ABC -的外接球的体积是________；它的内切球的表面积是

_________．

三．解答题：本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数22()sin 3sin cos 2cos f x x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，()1f C =且π

2

C ≠，求ABC △周

长的最大值．

18．(2019·西安模拟)某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：

月份x

1

2

3

4

5

销量y (百台) 0.6 0.8 1.2 1.6 1.8

(1)经分析发现1月到5y (百件)与月份x

之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测6月份该商场空调的销售量；

(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

有购买意愿对应的月份 7

8

9

10 11 12

频数

60 80 120 130 80 30

6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．

参考公式与数据：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^

＝