宁波市2018学年高三第一次模拟检测考试

宁波市2018学年高三第一次模拟检测考试
高三
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{08}P x x =∈≤
≤R ，{||7}Q x x =∈<R ，则P Q = A.[7,8]
B.(7,8]
- C.(,8]
-∞ D.(7,)
-+∞2.已知平面α，直线,m n 满足m α⊄，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知()()y f x x =∈R 存在导函数，若()f x 既是周期函数又是奇函数，则其导函数A.既是周期函数又是奇函数 B.既是周期函数又是偶函数C.不是周期函数但是奇函数
D.不是周期函数但是偶函数
4.设24280128(32)x x a a x a x a x -+=++++ ，则7a =A.4
- B.8
- C.12
- D.16
-5.关于,x y 的不等式组230,0,0x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩
表示的平面区域存在点00(,)P x y ，满足0023x y -=，
则实数m 的取值范围是A.(,3)
-∞- B.(1,1)
- C.(,1)
-∞- D.(1,)
-+∞6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.
12
31π+ B.
4
21π+ C.4
1π+
D.
12
π
7、数列{}n a 满足321=a ，1)12(21++=+n n n a n a a ，则数列{}n a 的前2018项和=2018S A.
4037
4036 B.
4036
4035 C.
4035
4034 D.
4044
40338、已知ξ是离散型随机变量，则下列结论错误的是A.1(1(2
≤≤≤ξξP P B.)())((2
2ξξE E ≤C.)
1()(ξξ-=D D D.)
)1(()(2
2
ξξ-=D D 9、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e 的取值范围为]2
1
,31[，
直线1+-=x y 交椭圆于点N M ,，O 是坐标原点，且ON OM ⊥，则椭圆长轴长的取值范围是A.8,7[ B.]
76[ C.]
6,5[ D.9,8[10.在空间直角坐标系中，(2,2,0),(,,1)OA a b OB c d d ==-uur uuu r
，O 为坐标原点，满足22221,4a b c d +=+=，则下列结论不正确的是（）
A.OA OB ⋅uur uuu r
的最小值为6
- B.OA OB ⋅uur uuu r
的最大值为10
C.||AB
D.||AB 最小值为1
二.填空题（多空题每空3分，单空题每空4分，共计36分）
11.设i 为虚数单位，给定复数2
(1)1i z i
-=+，则z 的虚部为________,模为___________.
12.已知实数0a >且1a ≠，若7log 28a =，则1a a +=_________;若7
0log 18
a <<，则实数a 的取值范围为_____________.
13.将函数()2sin f x x =的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12
π
个单位长度得到()g x 的图像，则()g x =___________,若函数()g x 在区间[0,]3a ，7[2,
6
a π
上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.
14.在ABC ∆中，D 为边BC 中点，经过AD 中点E 的直线交线段,AB AC 于点,M N .若
,,AB mAM AC nAN ==uuu r uuur uuu r uuu r
则m n +=___________;该直线将原来的三角形分成的两部分，
则
三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值是______________.
15.设等差数列}{n a 的前14项77...1421=+++a a a ，已知111,a a 均为正整数，则公差=
d 16.农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康，小梁，小谭，小刘，小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶，现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应漂流瓶”的概率为
17.已知不等式
0ln 32>-+-k
x k
k x 对任意正整数k 均成立，则实数x 的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.（本大题共14分）如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为
3
π
的扇形，O 是坐标原点，OP 落在x 轴非负半轴上，点Q 在第一象限，C 是扇形弧上一点，ABCD 是扇形内接矩形.
（1）当C 是扇形弧上的四等分点（靠近Q ）时，求点C 的坐标.
（2）当C 在扇形弧上运动时，求矩形ABCD 面积的最大值
19.如图所示，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，O 是AC 的中点，且ABD CBD ∠=∠，AB BD =（1）求证：OD ⊥平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值
20.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的
1,3,6,10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数：类似地，称图2中的1,4,9,16， ，这样的数称为正方形数。

某位同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9， ，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数。

（1）请写出梯形数的通项公式n a（不要求证明），并求数列{}n a的前n项和n S；
（2）若
1
n
n
b
S=，数列
{}
n
b的前n项和记为n T，求证：1
n
T<
21.（本题满分15分）过抛物线y x 22
=的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，抛物线在
B A ,处的切线交于E .
（1）求证：AB EF ⊥；
（2）设FB AF λ=，当]2
1,31[∈λ时，求ABE ∆的面积S 的最小值.
22.（本题满分15分）已知函数bx ax x x f ++=2
3)(，其中b a ,为实数.（1）若函数)(x f 的图像关于点)0,1(对称，求)(x f 的解析式；（2）若36-
≤≤-a ，且032=++b a ，t 为函数bx ax x x f ++=2
3)(的极小值点，求a
t f )
(的取值范围.。