服从正态分布的随机变量
《概率论与数理统计》在线作业二 15秋解答
北交《概率论与数理统计》在线作业二一、单选题（共 30 道试题，共 75 分。
）1. 如果X与Y这两个随机变量是独立的，则相关系数为（）. 0. 1. 2. 3正确答案：2. 设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然（）. 不独立. 独立. 相关系数不为零. 相关系数为零正确答案：3. 在参数估计的方法中，矩法估计属于（）方法. 点估计. 非参数性. 极大似然估计. 以上都不对正确答案：4. 下列哪个符号是表示不可能事件的. θ. δ. Ф. Ω正确答案：5. 设随机变量X~(n,p),已知X=0.5,X=0.45,则n,p的值是（）。
. n=5,p=0.3. n=10,p=0.05. n=1,p=0.5. n=5,p=0.1正确答案：6. 假设事件和满足P(∣)＝1，则. 、为对立事件. 、为互不相容事件. 是的子集. P()=P()正确答案：7. 进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知X＝12.8，X=2.56 则n=（）. 6. 8. 16. 24正确答案：8. 有两批零件，其合格率分别为0.9和0.8，在每批零件中随机抽取一件，则至少有一件是合格品的概率为. 0.89. 0.98. 0.86. 0.68正确答案：9. 点估计( )给出参数值的误差大小和范围. 能. 不能. 不一定. 以上都不对正确答案：10. 不可能事件的概率应该是. 1. 0.5. 2. 1正确答案：11. 设X,Y为两个随机变量，已知ov(X,Y)=0,则必有（）。
. X与Y相互独立. (XY)=X*Y. (XY)=X*Y. 以上都不对正确答案：12. 一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。
从袋中取球两次，每次随机地取一只。
采用不放回抽样的方式，取到的两只球中至少有一只是白球的概率（）. 4/9. 1/15. 14/15. 5/9正确答案：13. 设,,是两两独立且不能同时发生的随机事件，且P()=P()=P()=x,则x的最大值为（）。
正态分布
正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。
附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
x服从正态分布 的费希尔信息量
如果一个随机变量x 服从正态分布，则它的费希尔信息量（Fisher information）是一个定量描述随机变量x 的信息内容的度量。
费希尔信息量是一个二次型，定义为：
I(x) = E[(∂/∂θln f(x;θ))^2]
其中f(x;θ) 是随机变量x 的概率密度函数（probability density function，PDF），θ 是概率密度函数的参数，E[·] 表示期望值。
对于正态分布的随机变量x，费希尔信息量可以表示为：
I(x) = 1/σ^2
其中σ 是随机变量x 的标准差。
费希尔信息量反映了随机变量x 对于参数θ 的敏感程度，值越大，则对于参数θ 的估计越精确。
因此，费希尔信息量也可以被用来衡量随机变量x 的信息内容。
当然，费希尔信息量还有其他的用途。
例如，在统计学中，费希尔信息量被用来衡量数据的可信度。
在信息论中，费希尔信息量被用来衡量信息的实际数量。
在机器学习中，费希尔信息量也可以用来评估模型的泛化能力。
此外，费希尔信息量还有一些重要的性质。
例如，费希尔信息量是不负的（nonnegative），并且对于多维随机变量x，费希尔信息量是半正定的（semi-positive definite）。
这些性质在许多应用中都很重要。
正态分布(第3课时)(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
（－∞，１）上的面积减去在区间（－∞，－１）上的面积．这样，就有
同样，
因此，随意购买一袋该产品，约有６８．３％的可能性其质量在μ左
右σ的范围内；约有９５．４％的可能性其质量在μ左右２σ的范围内；
约有９９．７％的可能性其质量在μ左右３σ的范围内，如图７-３-６
是一个服从正态分布的随机变量．
例５ 某公司生产的糖果每包标识质量是５００g，但公司承认实际质量存在
误差．已知每包糖果的实际质量服从μ＝５００、σ２＝２．５２的正态分
布．问：随意买一包糖果，其质量误差超过５ｇ（即１％）的可能性有多
大？（结果精确到０．１％）
解用x表示糖果质量，由题意，可知X ～N
（500, 2.52）．要求｜X －500｜＞５的概率，
和伸缩变换，其形状保持钟形不变
用Φ（ｘ）表示标准正态分布的密度函数y＝φ（ｘ）从－∞到ｘ
的累计面积，如图７-３-４所示，称为标准正态分布函数．
这个函数没有简单的表达式，其函数值可通过近似计算得到．我们
也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如
容易验证y＝φ（ｘ）是一个偶函数，所以该函数在区间
解数据成为非常重要的事．正态分布已经是生活中一个常用
的词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，
某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什
么是正态分布呢？平日所说的正态分布，大体上是指数据对
称地分布在某个中心值两边，且离中心值越远，分布得越少
一包米的外包装上标示的 5 0 0 0 g，但实际上是有误差的．假设
所示．这称为正态分布的３σ（ｓｉｇｍａ）原则．
课本练习
知识讲解_高考总复习：二项分布与正态分布(基础)
高考总复习：二项分布与正态分布【考纲要求】一、二项分布及其应用1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】【考点梳理】考点一、条件概率1．条件概率的定义设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
要点诠释：条件概率不一定等于非条件概率。
若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质①0≤P（B|A）≤1；②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式1．事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B , A 与B 也都相互独立. (3)具体模型①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 要点诠释：要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。
已知两个事件A 、B ，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为AB ；A 、B 恰有一个发生的事件为AB ∪AB ；A 、B 中至多有一个发生的事件为AB ∪AB ∪AB 。
3．独立重复试验 （1）独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用(1,2,,)i A i n =表示第i 次试验结果，则123123()()()()()n n P A A A A P A A A A =（2）独立重复试验的概率公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n k n n P k C P p -=-。
《概率论与数理统计答案》第三章
习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ； （2） EX = 1.7 ； （3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。 答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分 布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α
证明随机变量服从正态分布
证明随机变量服从正态分布1. 引言正态分布（又称高斯分布）是统计学中最重要的分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域。
证明一个随机变量服从正态分布是一项重要的工作，因为正态分布具有许多重要的性质和特征。
在本篇文章中，我们将介绍如何证明一个随机变量服从正态分布的方法。
2. 正态分布的定义正态分布是一种连续型的概率分布，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）可用以下公式表示：f(x)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中，μ是均值，σ是标准差。
3. 中心极限定理证明一个随机变量服从正态分布的常用方法是利用中心极限定理。
中心极限定理指出，当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布将接近于正态分布。
这个定理的重要性在于，它允许我们将许多复杂的随机变量表示为一组简单的随机变量的和。
中心极限定理有多个不同的形式，其中最常用的是基于样本均值的定理，也称为中心极限定理。
4. 证明步骤为了证明一个随机变量服从正态分布，我们可以按照以下步骤进行：步骤 1: 确定随机变量的分布类型首先，我们需要确定随机变量的分布类型。
通常情况下，我们可以通过观察数据的分布形态来初步判断随机变量是否服从正态分布。
如果数据分布呈钟形曲线并且对称分布在均值附近，则很可能服从正态分布。
步骤 2: 收集足够数量的样本为了应用中心极限定理，我们需要收集足够数量的样本。
样本数量的选择通常是根据中心极限定理中的要求，即样本数量应足够大（通常要求大于30）。
步骤 3: 计算样本的均值和标准差对于收集到的样本，我们可以计算其均值和标准差。
均值用来表示分布的中心位置，标准差用来表示分布的离散程度。
步骤 4: 标准化样本接下来，我们需要对样本进行标准化处理，即将样本值减去均值，然后除以标准差。
这样可以将样本值转换为标准正态分布的值。
步骤 5: 统计检验最后，我们可以使用统计检验方法来验证样本是否符合正态分布。
随机变量x服从标准正态分布
随机变量x服从标准正态分布标准正态分布是统计学中非常重要的概率分布之一，也称为正态分布或高斯分布。
在实际应用中，我们经常会遇到服从标准正态分布的随机变量，因此对于这一概率分布的理解和运用显得尤为重要。
首先，让我们来了解一下什么是标准正态分布。
标准正态分布是以数学家高斯命名的，其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\) 为随机变量，\(e\) 为自然对数的底，\(\pi\) 为圆周率。
可以看出，标准正态分布的密度函数是关于 \(x\) 的二次函数，并且在 \(x=0\) 处取得最大值，其图像呈现出典型的钟形曲线。
标准正态分布具有许多重要的性质，其中最为人熟知的是其均值为0，标准差为1。
这意味着在标准正态分布下，随机变量偏离均值越远的概率越小，大部分的随机变量值分布在均值附近，而偏离均值较远的值出现的概率则相对较小。
标准正态分布在实际应用中有着广泛的用途，尤其是在统计推断和假设检验中。
许多统计学的方法和模型都建立在对数据服从正态分布的假设之上，而标准正态分布则为许多统计推断提供了重要的基础。
在实际数据分析中，我们经常会进行正态性检验，以确定数据是否符合正态分布。
而当我们的数据服从正态分布时，许多统计推断的方法就可以得到更加准确和可靠的结果。
此外，标准正态分布还在金融工程、自然科学、工程技术等领域中得到了广泛的应用。
例如，在金融领域，许多金融产品的定价和风险管理都建立在对资产收益率服从正态分布的假设之上，而标准正态分布则为金融风险的度量和管理提供了重要的工具。
总之，标准正态分布作为统计学中的重要概率分布，对于数据分析、统计推断和实际应用都具有重要的意义。
了解和掌握标准正态分布的特性和应用，将有助于我们更好地理解和运用统计学知识，提高数据分析的准确性和可靠性，为实际问题的解决提供有力的支持。
标准正态分布随机变量
标准正态分布随机变量标准正态分布是统计学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在概率论和统计学中，正态分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈现出钟形曲线，因此也被称为钟形曲线分布。
标准正态分布是正态分布的一种特殊情况，它的均值为0，标准差为1。
在本文中，我们将详细介绍标准正态分布随机变量的相关概念和性质。
首先，我们来看一下标准正态分布随机变量的定义。
设X是一个服从标准正态分布的随机变量，其概率密度函数为：f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。
其中，e是自然对数的底，π是圆周率。
这个概率密度函数描述了标准正态分布随机变量X的分布特征，其图像为钟形曲线，关于x=0对称。
接下来，我们来讨论标准正态分布随机变量的期望和方差。
由于标准正态分布的均值为0，因此其期望E(X)为0。
而方差Var(X)则描述了随机变量偏离其均值的程度，对于标准正态分布来说，其方差为1。
这表明标准正态分布随机变量相对于其均值的分散程度较小，大部分的取值都集中在均值附近。
此外，标准正态分布随机变量还具有一个重要的性质，即68-95-99.7法则。
根据这一法则，大约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这一法则在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们对数据的分布进行初步的判断和分析。
在实际应用中，标准正态分布随机变量经常被用来描述各种自然现象和社会现象，例如身高、体重、考试成绩等。
通过对这些现象进行测量和统计，我们可以得到符合标准正态分布的数据，从而进行更深入的分析和研究。
总之，标准正态分布随机变量是统计学中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过对标准正态分布的深入了解，我们可以更好地理解和分析各种数据，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
随机变量的概率密度函数计算方法
随机变量的概率密度函数计算方法随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的可能取值以及取值的概率。
在实际问题中，我们常常需要计算随机变量的概率密度函数，以便进行概率分析和统计推断。
本文将介绍几种常用的随机变量概率密度函数的计算方法。
一、离散型离散型随机变量的概率密度函数描述了随机变量取各个可能取值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率密度函数可以表示为P(X=x)，其中x为X的取值。
计算离散型随机变量的概率密度函数的方法通常有以下几种：1. 列举法：根据问题的具体情况，列出所有可能的取值及其对应的概率。
然后将每个取值的概率填入概率密度函数的相应位置即可。
例如，对于一个骰子的随机变量X，其可能取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，则概率密度函数为P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，以此类推。
2. 概率分布函数法：对于离散型随机变量X，其概率分布函数F(x)定义为P(X≤x)。
利用概率分布函数可以计算出概率密度函数。
对于每个可能的取值x，计算P(X=x)等于F(x)减去F(x-1)。
例如，对于一个服从几何分布的随机变量X，其概率分布函数为F(x)=1-(1-p)^x，其中p为参数。
则概率密度函数为P(X=x)=F(x)-F(x-1)=(1-p)^x-(1-p)^(x-1)。
二、连续型连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度。
对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为f(x)，其中x为X的取值。
计算连续型随机变量的概率密度函数的方法通常有以下几种：1. 几何法：对于一些常见的连续型随机变量，可以利用几何图形的面积来计算概率密度函数。
例如，对于服从均匀分布的随机变量X，其概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中a和b分别为随机变量X的取值范围的下界和上界。
由于均匀分布的概率密度函数在取值范围内是常数，可以用矩形的面积来表示。
2. 密度函数的性质法：对于一些连续型随机变量，可以利用概率密度函数的性质来计算。
计算平时成绩服从正态分布的方法
计算平时成绩服从正态分布的方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在学习过程中，老师会根据学生的平时表现来评价他们的学习情况。
而计算平时成绩是否服从正态分布是一种常见的方法，能够帮助老师更好地了解学生的学习状态。
在本文中，我们将介绍计算平时成绩服从正态分布的方法，希望能帮助到正在进行教育工作的老师们。
要明确什么是正态分布。
正态分布又被称为高斯分布，是一种概率分布，其特点是均值为μ，标准差为σ的钟形曲线。
在正态分布中，大部分的数据会集中在均值附近，且对称分布，即左右两侧的数据相对接近。
要计算平时成绩是否服从正态分布，首先需要明确平时成绩的数据分布情况。
可以通过绘制频率分布直方图或者箱线图来观察数据的分布形式。
若平时成绩的分布呈现较为对称的钟形曲线，则可能服从正态分布；若数据呈现偏态或者离群值较多，则可能不服从正态分布。
接下来，可以通过计算平时成绩的均值和标准差来进一步判断数据是否服从正态分布。
均值代表数据的集中趋势，标准差代表数据的离散程度。
若平时成绩的均值接近于总体分数的平均值，标准差较小，则数据可能服从正态分布；若均值和标准差与总体分数有较大差异，则数据可能不服从正态分布。
可以通过计算偏度和峰度来进一步验证平时成绩是否服从正态分布。
偏度衡量数据分布的对称性，若偏度接近于0，则数据分布较对称；峰度衡量数据分布的尖锐程度，若峰度接近于3，则数据分布较为正态。
通过计算偏度和峰度可以更全面地判断数据的分布情况。
可以使用正态分布的检验方法来验证平时成绩是否服从正态分布。
常见的检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验等，这些方法可以通过计算p值来判断数据是否符合正态分布的假设。
若p值较大，则接受原假设，即数据服从正态分布；若p值较小，则拒绝原假设，即数据不服从正态分布。
第二篇示例：平时成绩是评价学生学习情况的一种重要指标，它能够反映学生在学期内的学习状态与表现。
随机变量及其分布-正态分布
正态分布知识点一、正态曲线函数f(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈R的图象如图所示x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：二、正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)． 三、 3σ原则1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝ 6； (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝ 4； (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝ 4.2．通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．题型一 正态曲线的图象的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．【过关练习】1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．题型二利用正态分布求概率【例1】设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5)．【过关练习】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)等于( )A． B． C． D．2.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)＝( )A．B．C．D．(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.3.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．题型三正态分布的应用【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个【过关练习】在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人课后练习【补救练习】1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图242所示，则有( )图242A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ22．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不确定3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为，则X在(0,2]内取值的概率为________．5.如图243所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．图243【巩固练习】1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( )【导学号：】A ．B ．C ．D ．2．设X ～N ⎝⎛⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－，－]内的概率是( )A ．%B ．%C ．%D ．%3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝%.)A．% B．%C．% D．%4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．5．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人【拔高练习】1.在如图244所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )图244A．2 387 B．2 718C．3 414 D．4 777附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 5.2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝12，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图245(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P <Z <；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间,的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝ 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝ 5.。
高中数学《第二章随机变量及其分布2.4正态分布信息技术应用μ,σ对正...》181PPT课件
人教A版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·数学 ·人教A版 ·选修2-2 、2-3
第二章
随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·数学 ·人教A版 ·选修2-2 、2-3
第二章
2.4 正态分布
第二章 随机变量及其分布
课前自主预习
第二章 2.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·数学 ·人教A版 ·选修2-2 、2-3
1．称函数 φμ，σ(x)＝
1 2πσ
e－x2－σμ22 ，x∈(－∞，＋∞)的图象
为 正态分布密度曲线 ，简称 正态曲线 ，其中 μ 和 σ(σ>0)为
参数．
2．一般地，如果对于任意实数 a<b，随机变量 X 满足
第二章 2.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·数学 ·人教A版 ·选修2-2 、2-3
[ 解 析 ] (1) 设 学 生 的 得 分 情 况 为 随 机 变 量 X ， X ～ N(70,102)，则 μ＝70，σ＝10.
分析在 60～80 之间的学生的比为： P(70－10<X≤70＋10)＝0.6826， 所以不及格的学生的比为12(1－0.6826)＝0.1587， 即成绩不及格的学生占 15.87%.
第二章 2.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·数学 ·人教A版 ·选修2-2 、2-3
(2)成绩在 80～90 内的学生的比为 12[P(70－2×10<X≤70＋2×10)－0.6826] ＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359. 即成绩在 80～90 间的学生占 13.59%.
服从正态分布的随机变量的绝对值
服从正态分布的随机变量的绝对值服从正态分布的随机变量的绝对值1. 引言服从正态分布的随机变量是统计学和概率论中最为重要的分布之一。
它的性质被广泛应用于各个领域，从金融市场的波动性预测到自然科学中的测量误差处理。
然而，在实际问题中，我们有时更关心的是服从正态分布的随机变量的绝对值。
本文将从浅入深，逐步探讨服从正态分布的随机变量的绝对值，并分析其重要性和性质。
2. 理论背景我们需要了解服从正态分布的随机变量的绝对值的定义和特征。
正态分布的概率密度函数是钟形曲线，其均值和标准差决定了分布的位置和形状。
考虑到正态分布是关于均值对称的，服从正态分布的随机变量的绝对值会保留分布的形状，但丧失了对称性。
绝对值的引入还增加了极值的可能性，使得研究变得更加复杂和有趣。
3. 绝对值的性质在研究服从正态分布的随机变量的绝对值时，我们需要探讨一些基本的性质。
首先是绝对值的平均值和方差。
根据统计学的基本原理，我们可以计算出服从正态分布的随机变量的绝对值的均值和方差的表达式。
这些性质对于理解绝对值在实际问题中的应用非常重要。
4. 应用案例：金融市场考虑到金融市场中股票价格的波动性常常服从正态分布，我们可以利用服从正态分布的随机变量的绝对值来研究金融市场的波动性。
通过计算绝对值的均值和方差，我们可以得到波动性的度量，并据此进行风险管理和投资决策。
我们还可以通过研究绝对值的分布形状来预测未来的波动性，并制定相应的投资策略。
5. 应用案例：测量误差在自然科学中，测量误差是不可避免的。
当测量结果服从正态分布时，我们可以利用服从正态分布的随机变量的绝对值来处理误差。
通过计算绝对值的均值和方差，我们可以估计测量误差的大小，并据此修正实验结果。
绝对值的分布形状还可以帮助我们判断测量仪器的准确性和稳定性，以及在数据处理中采取适当的措施。
6. 观点和理解个人观点和理解在学术研究中非常重要。
对于服从正态分布的随机变量的绝对值，我认为它在实际问题中的应用前景广阔。
服从正态分布的随机变量的概率的求法
服从正态分布的随机变量的概率的求法作者：屈卫国来源：《新教育时代·学生版》2018年第27期摘要：本文就正态分布概率的求法提供几个求法，以利于在求服从正态分布的随机变量在某一范围内取值的概率时能贯彻和使用这些方法。
关键词：正态曲线正态分布概率正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中，在《概率和统计学》中正态分布占有极其重要的地位，并且随着社会的不断发展，概率与统计的思想方法也越来越重要。
求服从正态分布的随机变量在某区间内取值的概率也是各地高考必考内容之一，它涉及到数学中的数形结合、等价转化等重要数学思想。
一、利用正态曲线函数图像的性质求服从正态分布的随机变量在某区间内取值的概率因为正态曲线函数图像关于直线对称，所以服从正态分布的随机变量在对称的两个区间内取值的概率相等。
例1（07年浙江理改编）已知随机变量服从正态分布，，则 .解：。
又例2.（08湖南卷改编）设随机变量服从正态分布，若，则c= 。
解：，解得。
二、根据正态总体在三个特殊区间内取值的概率求服从正态分布的随机变量在某区间内取值的概率。
正态总体在三个特殊区间内取值的概率分别是：例3.设X～，求解：= =0.0215.三、利用服从标准正态分布的随机变量在某区间内取值的概率来求服从一般正态分布的随机变量在某区间内取值的概率设X～，记～，记。
若～，则～，例4、设X～求。
解：==== = 2查表得，。
例5、（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。
已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N（70，100），由条件知，P（≥90）=1-P（<90）=1-F（90）=1-=1-（2）=1-0.9772=0.228。
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为;≈526（人）。
服从正态分布的随机变量的绝对值
服从正态分布的随机变量的绝对值
【实用版】
目录
1.服从正态分布的随机变量的绝对值的概念
2.绝对值在正态分布中的性质
3.绝对值在正态分布中的应用
正文
【一、服从正态分布的随机变量的绝对值的概念】
在概率论和统计学中，正态分布是一种常见的概率分布，描述了一组数据大致上呈钟形曲线的分布规律。
随机变量是表示数据集合中某一特性的变量，它可以取不同的值。
绝对值是一个数值的非负版本，表示一个数距离零点的距离。
当一个随机变量的取值服从正态分布时，我们称该随机变量的绝对值服从正态分布的随机变量。
【二、绝对值在正态分布中的性质】
正态分布的随机变量的绝对值具有以下性质：
1.它的均值为 0，即 E(|X|)=0。
这是因为正态分布的随机变量的绝对值的正负取值概率相等，所以它们的平均值是 0。
2.它的方差为σ^2，即 Var(|X|)=σ^2。
这是因为绝对值的平方等于随机变量的平方，而方差是平方的期望。
【三、绝对值在正态分布中的应用】
正态分布的随机变量的绝对值在许多实际应用中有用。
例如，在金融领域，它可以用来描述股票价格的波动情况。
在这种情况下，股票价格的波动可以看作是服从正态分布的随机变量的绝对值。
另外，在医学领域，正态分布的随机变量的绝对值也可以用来描述病人的某种生理指标的波
动情况。
服从正态分布的随机变量
附录1
概率论基本知识
Histogram
50
6 28%
1 5%
2 10% 3 14% 1 2 3 4 5
40
30
5 24%
4 19%
6
20
Frequency
10
Std. Dev = .31 Mean = 1.42 N = 460.00
00 1. 13 1. 25 1. 38 1. 50 1. 63 1. 75 1. 88 1. 00 2. 0 .5 3 .6 5 .7 8 .8
如电话服务、机器检修、库存需求、运
输调度等。
正态分布
在现实中，有一种随机变量，受很多因素
影响，而且每一个因素都不起突出作用，这样 的随机变量服从正态分布。正态分布是在概率 论和统计中有很重要的地位。
适用用领域
一批产品的某个指标，如电阻值、螺栓直径、 砖的强度、灯泡的寿命等是随机变量，服从正 态分布。 在同一条件下，对某一物理量进行独立测量， 测量误差是随机变量，服从正态分布。 同一生物的某一尺寸，如成年人的身高，是随 机变量，服从正态分布。
正态分布
正态分布的表达式
1 p( x ) e 2
式中：m为均值, σ为标准差。 当m = 0;
( x m )2 2 2
σ= 1时，X服从标准正态分布。
1 p( x ) e 2
x2 2
正态分布图
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
NSPEED
1 基本概念
统计总本： 准备观测的满足一定条件的元素或个 体的集合
样本： 从统计总本中抽取一定数量的能代表 总本的元素或个体的集合
随机抽样
随机抽样：
抽取样本时，使总体中的每一个元素有同等被抽 取的机会。
随机样本：
通过随机抽样得到的样本。 随机数（变量）： 取值不确定，只能由实验结果确定；但随机数的 出现有一定的机率（概率）。
如电话服务、机器检修、库存需求、运
输调度等。
正态分布
在现实中，有一种随机变量，受很多因素
影响，而且每一个因素都不起突出作用，这样 的随机变量服从正态分布。正态分布是在概率 论和统计中有很重要的地位。
适用用领域
一批产品的某个指标，如电阻值、螺栓直径、 砖的强度、灯泡的寿命等是随机变量，服从正 态分布。 在同一条件下，对某一物理量进行独立测量， 测量误差是随机变量，服从正态分布。 同一生物的某一尺寸，如成年人的身高，是随 机变量，服从正态分布。
正态分布
正态分布的表达式
1 p( x ) e 2
式中：m为均值, σ为标准差。 当m = 0;
( x m )2 2 2
σ= 1时，X服从标准正态分布。
1 p( x ) e 2
x2 2
正态分布图
Pபைடு நூலகம்x)
m +σ
m +σ
x
-σ
σ
x
p(x±σ)=68.3%
p(x±2σ)=95.5%
p(x±3σ)=99.7%
可以看出，服从正态分布的随机变量，总是围绕在某一个 值（均值）附近变化。
其它分布
根据随机变量的性质来确定，如某一电器产品
发生故障的时间为一随机变量，其概率分布服从指 数分布。
p( x) e
x
END OF SECTION 退出附录1
发生一定次数的概率相等，且不同域上的事件相互 独立，则事件发生r 次的概率服从泊松分布。
P( r ) e
r
r!
λ：分布参数，表示在整个域上事件发生的平均数。
泊松分布图
λ =1 λ =2 λ =3 λ =4
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
r
泊松分布应用
泊松分布在实际中也有很多应用，
常见的概率分布
均匀分布 随机数在取值范围内的概率相同。 如：硬币的正反面；0——1内的随机数等 二项分布： 设实验成功发生的概率为p，则重复n次实验， 成功次数k的概率分布为二项分布， p, n 为分布参数
二项分布图
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 成功次数
2 常见的概率分布
泊松分布 设在时间或空间域上，在大小相等的域上事件
附录1
概率论基本知识
Histogram
50
6 28%
1 5%
2 10% 3 14% 1 2 3 4 5
40
30
5 24%
4 19%
6
20
Frequency
10
Std. Dev = .31 Mean = 1.42 N = 460.00
00 1. 13 1. 25 1. 38 1. 50 1. 63 1. 75 1. 88 1. 00 2. 0 .5 3 .6 5 .7 8 .8
概率
频次： 在一个样本中，某一事件（随机数）出现的次 数除以样本总数。
概率：
当样本数趋于无穷大时，概率 = 频次 （大数定理），在实际中，常将样本数取足够 大，用事件发生的频次代替概率。
概率分布
概率分布： 随机数（变量）的概率在数轴上 （取值范围内）的分布。概率分布的 性质是由随机变量产生的性质所确定 的。