一元二次方程的解法归纳及四大解法练习

一元二次方程的解法归纳总结

一、直接开平方法

解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2

（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:

（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2

（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;

（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

注意:

（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;

（2）对于一元二次方程p x =2,当0

（3）对于一元二次方程()c b ax =+2

: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;

③当0

例1. 解下列方程:

（1）022=-x ; （2）081162=-x .

分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1）22=x

2±=x ∴2,221-==x x ;

（2）16

81,811622==x x 4

91681±=±=x

∴4

9,4921-==x x . 例2. 解下列方程:

（1）()0932=--x ; （2）()092122

=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2

（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.

解:（1）()932=-x

33±=-x

∴33=-x 或33-=-x

∴0,621==x x ;

（2）()92122=-x

()43

12922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或23

2-=-x

∴23

2,23221-=+=x x .

习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是

【 】 （A ）032=-x （B ）()0412=--x

（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x

习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.

习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a

【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3

习题4. 解下列方程:

（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .

习题5. 解下列方程:

（1）()09142=--x ; （2）4312

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .

习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.

（1）{}=--3,2min _________;

（2）若(){}

1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+

-y x ,求这个直角三角形第三边

的长.

（注意分类讨论第三边的长）

二、因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:

（1）移项 把方程的右边化为0; （2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;

（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.

解:032=-x x

()03=-x x

∴0=x 或03=-x

∴3,021==x x .

例2. 用因式分解法解方程:()()01212

=---x x x . 解:()()0211=---x x x

()()()()0110

11=+-=---x x x x

∴01=-x 或01=+x

∴1,121-==x x .

例3. 解方程:121232-=-x x .

解:0121232=+-x x

()()0230

44322=-=+-x x x

∴221==x x .

例4. 解方程:332+=+x x x .

解:()0332=+-+x x x

()()()()0310

131=-+=+-+x x x x x

∴01=+x 或03=-x

∴3,121=-=x x .

因式分解法解高次方程

例5. 解方程:()()0131222=---x x .

解:()()031122=---x x

()()()()()()022110

4122=-+-+=--x x x x x x

∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x

∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .

例6. 解方程:()()034322

2=+-+x x . 解:()()043322=-++x x

()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x

∵032>+x

∴()()011=-+x x

∴01=+x 或01=-x

∴1,121=-=x x .

用十字相乘法分解因式解方程

对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.

例7. 解方程:0652=+-x x .

分析:()124256452

=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x

∴02=-x 或03=-x

∴3,221==x x .

例8. 解方程:03722=++x x .

分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解:()()0312=++x x

∴012=+x 或03=+x ∴2

11-=x ,32-=x .