控制系统CAD控制系统数字仿真

第4章控制系统数字仿真

数字仿真就是采用数学模型，在数字计算机上借助数值解法所进行的仿真实验。所谓数值解法，就是寻求y(t)在[a,b]区间内的一系列离散节点t1

4.1 数值积分法

系统的动态特性通常用一阶微分方程组来描述，也即状态空间表达式。一般来说，只有极少数的微分方程能用到初等方法得其解析解（或用解析的方法得到精确解），多数只能用近似数值求解。利用计算机求微分方程主要使用数值积分法，它是系统仿真的一个重要方法。

在这里，我们主要研究一阶微分方程的形式，如：

⎪⎩⎪⎨⎧===0

0)(),(y t t y y t f dt

dy

（1）， 求y(t)

解：

⎰⎰

⎰

+==

==t

t o t

t t

t dt

y t f t y t y dt

y t f dy dt

y t f dy y t f dt

dy

),()()(),(),(),(

当t=t m+1，t 0=t m 时

⎰

++=+1

),()()(1m m

t t m m dt

y t f t y t y

（2）

数值积分法时在已知初值的情况下，对f(t, y)进行近似积分，从而对y(t)进行数值求解的方法。

下面介绍几种在数字仿真常用的数字积分法。

1.欧拉法

欧拉法又称为折线法，是最简单，也是最早的一种数值计算方法。

对于式（2），如果积分间隔h=t m+1 - t m 取得足够小，使得在t m 与t m+1之间的f(t, y)可近似看做常数f(t m , y m )。

这样式（2）可化为：

),()()(1m m m m y t hf t y t y +≈+

即

),(1m m m m y t hf y y +≈+ （3）

（3）式即为欧拉公式。

欧拉公式的几何解释：对于微分方程（1）的解y(t)看作是一条曲线，在任一步长内，用一段直线代替函数y(t)的曲线，此直线段得斜率等于该函数在步长起点的斜率。

基于上述的几何解释，我们从初始点 (t 0, y 0)出发向前推进(t 1, y 1)点，(t 2, y 2)点，…

)

,(),(),(111120001m m m m y t hf y y y t hf y y y t hf y y +=+=+=+M

图中阴影部分即为误差。

欧拉法的特点是：计算简单，但精度较低。

例：用欧拉法求解初值问题⎪⎩⎪⎨

⎧=-

='

1

)0(2y y t y y （10≤≤t ），h=0.1。

解：因为

)

2(),(1

m m

m m m m m m y t y h y y t hf y y -+=+=+

则，

7848

.1)2(1918

.1)1.11

.021.1(1.01.1)2(1

.111.01)2(9

9

9910

111120

001=-+==⨯-+=-+==⨯+=-+=y t y h y y y t y h y y y t y h y y M 该题解为：

t

y 21+=

，将准确解y(t m )与近似解y m 一起放入下表，可得：

由此表可以看出欧拉公式的精度很差。

2.后退的欧拉法

若用f(t m+1,y m+1)来代替f(t m ,y m )，则（3）式可变为：

),(111++++=m m m m y t hf y y （4）

则（4）式称为后退的欧拉公式。

后退的欧拉公式是隐式的（因为（4）式右边的y m+1是未知的），此时通常需要用迭代法求解，即：

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++++),(),()0(111

)

0(1m m m m m m m m y t hf y y y t hf y y （5）

后退的欧拉公式的几何解释：

在任一步长内，用一段直线代替函数y(t)的曲线，此直线段得斜率等于该函数在步长终点的斜率。

例：用后退的欧拉法求解初值问题⎪⎩⎪⎨

⎧=-

='

1

)0(2y y t y y （10≤≤t ），h=0.1。

解：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-+=+=-+=+=+++++++)2(),()2(),()

0(11)0(1)0(111)

0(1m m m m m m m m m m m m m m m m y t y h y y t hf y y y t y h y y t hf y y

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=⨯-⨯+==-⨯+=1918.1)1.11.021.1(1.011.1)101(1.011)

0(1y y

M

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=⨯-⨯+==⨯-⨯+=2903.1)2942.12.022942.1(1.01918.12942.1)1918.11.021918.1(1.01918.12)

0(2y y

后退的欧拉公式和欧拉公式的精度相同，都是一阶精度。