衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)2-1-1
高中数学必修5第1章1.2.2同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C. 3 D ．2 3解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝sin 60°＝32. 2．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120°解析：选D.∵S ＝12bc sin A ＝32，∴12×2×3sin A ＝32. ∴sin A ＝32.∴A ＝60°或120°. 3．在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝2，cos A ＝255，则S △ABC ＝________. 解析：在△ABC 中，cos A ＝255， ∴sin A ＝55， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×5×2×55＝22. 答案：224．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB .解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114. 又0°＜C ＜180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝AB sin C， ∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314×2×7＝562.一、选择题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：选A.∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即A ＝π3. 2．在△ABC ，下列关系一定成立的是( )A ．a ＜b sin AB ．a ＝b sin AC ．a ＞b sin AD ．a ≥b sin A解析：选D.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b asin A . 又∵在△ABC 中，0＜sin B ≤1，∴0＜b asin A ≤1， ∴a ≥b sin A ．故选D.3．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1 D ．2∶3∶1解析：选D.由已知得A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.又由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶32∶12＝2∶3∶1.故选D. 4．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：选A.b 2－bc －2c 2＝0，∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∴b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，∵cos A ＝78，∴sin A ＝158， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×158＝152. 5．三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的两边长分别是( )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和7解析：选D.设a －b ＝2，∵cos C ＝35，∴sin C ＝45. 又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴ab ＝35.由a －b ＝2和ab ＝35，解得a ＝7，b ＝5.6．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝( ) A.12B ．1C ．2 2 D.522解析：选D.S△ABC＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.二、填空题7．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则△ABC是________三角形．解析：法一：∵72＞52＋32，即a2＞b2＋c2，∴△ABC是钝角三角形．法二：∵cos A＝52＋32－722×5×3＜0，∴△ABC是钝角三角形．答案：钝角8．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________．解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 30°，∴AC2－23AC＋3＝0.∴AC＝ 3.∴S△ABC＝12AB·AC sin 30°＝12×2×3×12＝32.答案：329．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为________．解析：由S△ABC＝32，得12AB·AC sin A＝32，即12×2AC×32＝32，∴AC＝1，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC＝ 3.答案： 3三、解答题10．在△ABC中，已知a＝2b cos C，求证：△ABC为等腰三角形．证明：由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab.又cos C＝a2b，∴a2＋b2－c22ab＝a2b.整理得b2＝c2.∴b＝c.∴△ABC是等腰三角形．11．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝21，b＝4，且BC 边上的高h＝2 3.(1)求角C；(2)求a边的长．解：(1)由于△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60°. (2)由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则(21)2＝a 2＋42－2×a ×4×12，即a 2－4a －5＝0. 所以a ＝5或a ＝－1(舍)．因此a 边的长为5.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝35，A B →·A C →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解：(1)因为cos A ＝35， 所以sin A ＝45. 又由A B →·A C →＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，所以b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，所以a ＝2 5. 关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)【题组一 直线与圆的位置关系】1．(2021·江西南昌市)直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．(2021·全国)直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．(2021·白银市第十中学)直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．(2021·北京高二期末)已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．(2021·北京高二期末)直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是( ) A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或126．(2021·全国高二课时练习)若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =( ) A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或17．(2021·浙江高二期末)已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A ．[1,1-+B ．(1-+C ．(1-D ．(11]--8．(2021·浙江高二期末)直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．(2021·全国)(多选)直线l 与圆C 有公共点，则直线l 与圆C 的位置关系可能是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定10．(2021·全国)(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则( )A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交 D11．(2021·内蒙古包头市·高二月考(理))已知(),P a b 是圆221x y +=内一点，则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1．(2021·陕西安康市·高二期末(理))设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ，B 两点，则||AB = 。
【一线教师精品】高中数学北师大版必修5同步精练131等比数列含答案.doc
第一课时基础巩固1下列说法中正确的是（）A.一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列B.一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列C.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列D.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列2公差不为零的等差数列⑺｝的前〃项和为S”.若血是如与如的等比中项,Sg=32,则Si（）等于（）A. 18B. 24C. 60D. 903设也”｝是公比为g的等比数列,切＞1,令b“=a”+15=l,2,…），若数列｛仇｝有连续四项在集合｛-53, —23,19,37,82｝中，则6q= ______________ .4已知数列｛a“｝满足：lga“ = 3n + 5,求证:｛a n｝是等比数列.5在等比数列｛為｝中,（1）已知心=9,。
6=243,求殆；6某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程屮，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列.而第3 个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？综合过关7已知等差数列｛色｝的公差dHO,它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）8设仗“｝是公差不为0的等差数列,©=2,且G，。
3, $成等比数列,则S｝的前n项和S”等于（）A£+¥H2( 5/7B T+T1 2 a n=y q=y求n.A. 4B. 3C. 2D.*, 3n… 2 IC 迈■+才 D. n +n9首项为3的等比数列｛a”｝,它的第刃项为48,第2n~3项为192,问从第儿项起各项 的绝对值都超过100?10设关于兀的一元二次方程如？—] =0(川WN +)有两根a, 0,且满足6a —2妙+ 60=3.(1) 试用a “表示a“+i ；2(2) 求证:｛a~j ｝是等比数列；能力提升11等差数列⑷｝的前/?项和为S”，«1 = 1+^2, 53=9+3^2.⑴求数列｛给｝的通项外与前n 项和S”；(2) 设九=普SGN+),求证：数列｛%｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 12已知数集A = ｛a\, a?，…，Q“｝(1 …<a“，心2)具有性质P ：对任意的7,a • j(\WiWjW 小,与：两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由;(3) 证明：当n=5时，ap 如g 3伽成等比数列.参考答案1解析：很明显仅有D 符合等比数列的定义.答案：D2解析：由局=°3如，贝U(a I + 3(/)2=(a 1 + 2t/)(d | + 6c/),%]+弟d=32, d=2,山=一3,所以 S]o=lO©+学d=60.答案：c3解析:｛a n ｝有连续四项在集合｛-54, —24,18,36,81｝中，但仅有四项一24,36, 一54,81时7-6 - 当\7 3 求数列｛外｝的通项公式. (2)证明：671 = 1,。
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5.4 三角函数的图象与性质(精练)【题组一 五点画图】1．(2021·全国高一课时练习)作出函数24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在9,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象.【答案】答案见解析 【解析】令2X x π=-，列表如下：描点连线得图象如图所示.2．(2021·全国高一课时练习)用“五点法”作下列函数的简图. (1)[]()2sin 0,2y x x π=∈；(2)5sin ,222y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析. 【解析】(1)列表如下：描点连线如图：(2)列表如下：描点连线如图：3．(2021·全国)已知函数()2cos 1f x x =-.(1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；(2)求不等式()1f x ≤的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)572,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈). 【解析】(1)由函数()2cos 1f x x =-，可得完成表格如下：可得()f x 在[]0,2π的大致图象如下：(2)由()1f x ≤，可得2cos 11x -≤，即cos x ≤，当[]0,2x π∈时，由cos x ≤，得57,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.又由函数cos y x =的最小正周期为2π，所以原不等式的解集为572,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈). 【题组二 解三角不等式】1．(2021·全州县第二中学高一期中)使得sin cos x x >正确的一个区间是( ) A ．2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，B ．342ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】作出sin y x =与cos y x =的图象，如图：由图可知，若sin cos x x >，其中2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，满足，故选：A2．(2021·上海市洋泾中学高一月考)满足2sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，[0,2)x π∈的角x 的集合___________.【答案】7,26ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由2sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得，1sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,2)x π∈，所以5333x πππ-≤-<.当5333x πππ-≤-<时， 若1sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3x π-可能的取值为6π，56π，相应的x 的取值为2π，76π.所以所求角x 的集合为7,26ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：7,26ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.3．(2021·上海)函数sin 1cos xy x=+的定义域为______.【答案】{}2,x x k k ππ≠+∈Z【解析】要使函数有意义，则1cos 0x +≠， 即cos 1x ≠-，所以()2x k k ππ≠+∈Z . 故答案为：{}2,x x k k ππ≠+∈Z .4．(2021·陕西榆林十二中高一月考)若()0,x π∈，则满足2sin 2x 的x 的取值范围为______________； 【答案】30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】当()0,x π∈时，令2sin 2x，解得4x π=或34π，结合正弦函数的图象与性质，可得当0,x时，2sin 2x的解集为30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．(2021·全国高一课时练习)求函数的定义域：(1)tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)y【答案】(1),4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；(2),23x k x k k Z ππππ⎧⎫-<≤+∈⎨⎬⎩⎭.【解析】(1)由()42x k k Z πππ+≠+∈得：,4x k k Z ππ≠+∈，∴函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．(2)tan 0x ≥得：tan x ≤结合tan y x =的图象知：在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，满足tan x ≤x 应满足23x ππ≤-<，∴y =,23x k x k k Z ππππ⎧⎫-<≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【题组三 周期】1．(2021·全国高一课时练习)下列函数是周期函数的有( ) ①sin y x = ②cos y x = ③2y xA ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】易得sin y x =和cos y x =是周期函数，2yx 不是周期函数.故选：C.2．(2021·镇远县文德民族中学校高一月考)函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由题意，函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的周期的计算方法，可得()f x 最小正周期为22T ππ==.故选：B. 3．(2021·全国高一课时练习)函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】B【解析】因为cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以其最小正周期为221T ππ==,故选:B.4．(2021·北京丰台·高一期中)函数()cos 2f x x =的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是( ) A ．2π B ．πC ．π2D ．π4【答案】C【解析】函数的最小正周期是22T ππ==，因此相邻两条对称轴之间的距离是22T π=． 故选：C ．5．(2021·北京通州区·)已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，则其中最小正周期为π的是( ) A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】①tan y x =最小正周期为π②sin y x =的图象，在y 轴右侧部分与sin y x =一样，又因为其为偶函数，图象关于y 轴对称，由图象可知它不是周期函数.③sin y x =的图象，可由sin y x =的图象，保持x 轴上半部分不变，x 轴下半部分图象向上翻折得到. 由图象可知，其最小正周期为π故选：B.6．(2021·蚌埠田家炳中学高一月考)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．cos |2|y x =B ．|cos |y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABC【解析】对于A ，cos |2|cos 2,y x x ==最小正周期为22T ππ==；对于B ，|cos |y x ==22T ππ==； 对于C ，cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为22T ππ==； 对于D ，tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为2T π=，故选 ：ABC7．(2021·齐河县第一中学高一期中)(多选)下列函数周期为π的是( ) A ．sin y x = B ．cos y x =C ．tan y x =D ．2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】sin y x =的最小正周期为2π；由cos y x =的图象是由y =cos x 的图象将x 轴上方的部分保持不变，下方的部分向上翻转而得到，由图象可知其周期为π；tan y x =的最小正周期为π；2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππ=.故选：BCD. 【题组四 奇偶性】1．(2021·池州市江南中学高一期末)下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是( ) A ．sin 2y x = B ．sin y x =C ．tan2xy = D ．cos 2y x =【答案】A【解析】A 选项，sin 2y x =的最小正周期是π，且是奇函数，A 正确. B 选项，sin y x =的最小正周期是2π，且是奇函数，B 错误.C 选项，tan2xy =的最小正周期为2π，且是奇函数，C 错误. D 选项，cos y x =的最小正周期是π，且是偶函数，D 错误. 故选：A2．(2021·陕西高一期末)下列函数为奇函数的是( ) A ．2cos y x x =+ B ．|sin |y x =C ．2sin y x x =D ．cos tan y x x =-【答案】C【解析】A.函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故错误； B. 函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故错误； C. 函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故正确；D. 函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，函数既不满足()()f x f x -=，也不满足()()f x f x -=-，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故错误. 故选：C3．(2021·青海西宁·湟川中学高一开学考试)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是( )A ．tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin y x =【答案】D【解析】A. tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，是非奇非偶函数，故错误；B. cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，是奇函数，故错误；C.如图所示：，sin 2y x =不周期函数，为偶函数，故错误；D. 如图所示：，sin y x =的最小正周期为π，是偶函数，故正确； 故选：D4．(2021·黑龙江绥化·)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( ) A ．πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin y x =【答案】D【解析】πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，不是偶函数，A 不满足条件．cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+ ⎪=⎝⎭的最小正周期为2π，B 不满足条件．根据sin |2|y x =为偶函数，不是周期函数，C 不满足条件．根据()sin f x x ==π，且()()f x f x -=为偶函数，D 满足条件． 故选：D ．5．(2021·北京市昌平区实验学校高一期中)下列函数是奇函数的是( ) A ．()cos f x x x =+ B ．()2cos f x x x =+C ．()sin f x x x =+D ．()2sin f x x x =+【答案】C【解析】选项A. ()()11cos111cos1f f =+-=-+， 显然()()11f f ≠--，所以()f x 不是奇函数. 选项B. ()()()()22cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=显然()()f x f x -≠-，所以()f x 为偶函数，不是奇函数. 选项C. ()()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=- 所以()f x 是奇函数.选项D. ()()11sin111sin1f f =+-=-， 显然()()11f f ≠--，所以()f x 不是奇函数. 故选：C6．(2021·上海)若函数()ππ2sin sin 44f x x m x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则m =___________.【答案】2-【解析】因为函数为偶函数，则44f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ2sin sin 2sin sin 44444444m m ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得200m +=-，解得2m =-，经检验，m 的值符合题意 故答案为: 2-. 【题组五 单调性】1．(2021·全国)函数()sin ,[,0]3f x x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是( )A ．5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由22,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得522,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 又0x π-≤≤，∴06x π-≤≤.所以函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.2．(2021·全国)函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是( )A ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦B ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦C ．37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故选：C3．(2021·全国)下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是( )A ．y ＝sin (2)2x π+B ．y ＝cos (2)2x π+C ．y ＝sin ()2x π+D ．y ＝cos ()2x π+【答案】A【解析】对于选项A ，y ＝sin (2)2x π+＝cos 2x ，周期为π，当42ππx ≤≤时，22x ππ≤≤，所以cos 2y x =在[,]42ππ上是减函数，所以该选项正确；对于选项B ，y ＝cos 2sin 22x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，周期是π，在[,]42ππ上是增函数，所以该选项错误；对于选项C ，y ＝sin ()cos 2x x π+=，最小正周期是2π，所以该选项错误；对于选项D ，y ＝cos ()sin 2x x π+=-，最小正周期是2π，所以该选项错误.故选：A4．(2021·河南新乡县高中高一月考)函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是( )A ．π4π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．2ππ2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．2π4π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()ππ2cos 2cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()ππ+2π2πZ 3x k k k -≤≤-∈， 解得：()+2π2πZ 2ππ+33x k k k ≤-≤∈， 所以函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为2ππ2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦即函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为2ππ2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选：C.5．(2021·安徽池州·高一期中)已知函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(]0,1 B ．[]1,2 C ．71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】72266226k k k x k x ππππππωππωω++-+⇒≤≤≤≤， 所以()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的单调减区间为72266,k k ππππωω⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以72266,,63k k ππππππωω⎡⎤++⎢⎥⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，所以2667263k k πππωπππω⎧+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得121762k k ωω≥+⎧⎪⎨≤+⎪⎩，且k Z ∈，则712ω≤≤，则ω的取值范围是71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C.6．(2021·湖北武汉·)若函数()2cos 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭内単调递减.则ω的最大值为( ) A ．23B ．34C ．43D ．32【答案】C【解析】()2cos 22cos 2(0)33f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且0>ω时，23333x πωπππωπω-<-<-，因为余弦函数cos y x =的单调递减区间为[]()2,2k k k Z πππ+∈，所以，[](),2,2333k k k Z πωπππωπππ⎛⎫--⊆+∈⎪⎝⎭， 所以，23323k k πωππππωππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()46123k k k Z ω+≤≤+∈，由42613k k +≥+，可得112k ≤，k Z ∈且0>ω，0k ∴=，413ω≤≤. 因此，ω的最大值为43.故选：C7．(2021·安徽蚌埠·高一期末)已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是( ) A ．[)2,+∞ B ．(]0,2C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】当22()22k x k k Z πππωπ-≤≤+∈时，因为0>ω，所以有11(2)(2)()22k x k k Z ππππωω-⋅≤≤+⋅∈，因此函数()sin (0)f x x ωω=>的递增区间为：2222[,]()k k k Z ππππωω-+∈，因为函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，且有32424ππωππω⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪-≥⎪⎩，因为0>ω，所以解得：203ω<≤，故选：D8．(2021·北京市第六十六中学)函数()cos f x x =是( ) A ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】D【解析】由题意，函数()cos f x x =的定义域R ，且()()cos()cos f x x x f x -=-==， 所以函数()cos f x x =为偶函数，又由余弦函数的性质，可得()cos f x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为递减函数.故选：D.9．(2021·全国)函数()2cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值是( )A ．1B ．114C ．113D ．4【答案】C【解析】因为函数()2cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以314242T ππππω-=≤=，所以04ω<≤. 所以33,,,2424444x x πωππππππωω+∈⎛⎫⎛⎫∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为cos y x =的单调递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈，所以2243244k k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得1841,23k k k Z ω-+≤≤+∈，由于1841,23k k k Z -+≤+∈，故9,8k k Z ≤∈.所以当1k =时，得ω的最大区间：71123ω≤≤. 故ω的最大值是113. 故选：C.10(2021·兴仁市凤凰中学高一期末)函数tan(2)4y x π=-+的单调递减区间为_______________.【答案】3(,),2828k k k Z ππππ-+∈ 【解析】由题意可知tan(2)4y x π=--，则要求函数的单调递减区间只需求tan(2)4y x π=-的单调递增区间，由2,242k x k k Z πππππ-<-<+∈得3,2828k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan(2)4y x π=-+的单调递减区间为3(,),2828k k k Z ππππ-+∈. 故答案为：3(,),2828k k k Z ππππ-+∈. 【题组六 对称性】1．(2021·湖北十堰·)函数()43f x cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴可能是直线x =( )A ．53-B ．13- C ．3πD ．43π【答案】A 【解析】令(3)Z x k k πππ-=∈，解得()1Z 3k x k =+∈. 当2k =-时，53x =-.故选：A.2．(2021·北京市第六十六中学)如果函数()cos y x ϕ=+的一个零点是3π，那么ϕ可以是( ) A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-【答案】A【解析】由题意，函数()cos y x ϕ=+的一个零点是3π，可得3cos()0πϕ+=，即,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，可得6π=ϕ. 故选：A.3．(2021·河南(理))若函数()()sin f x x ϕ=+(()0,ϕπ∈)图象的一条对称轴为6x π=，则ϕ=( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意知62k ππϕπ+=+(k ∈Z )，则3k πϕπ=+(k ∈Z )， 当0k =时，3πϕ=，符合题意，其它都不满足题意.故选：B.4．(2021·齐河县第一中学高一月考)tan(2)4y x π=+的对称中心为( )A ．,0),28k k Z ππ+∈( B ．(,0),28k k Z ππ-∈ C ．(,0),48k k Z ππ+∈ D ．(,0),48k k Z ππ-∈ 【答案】D【解析】由()tan f x x =的对称中心为(0),2k π， 令242k x ππ+=，可得48k x ππ=-()k ∈Z . 故选：D5．(2021·山西实验中学高一开学考试)(多选)下列关于函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭的说法错误的是( )A ．在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D ．图象关于直线6x π=成轴对称【答案】ACD【解析】A 项：令232k x k πππππ-<+<+，即()656k x k k Z ππππ<<+∈-，函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为()65,6k k k Z ππππ⎛⎫+ ⎪⎭-∈⎝，A 错误； B 项：最小正周期1T ππ==，B 正确；C 项：令32k x ππ+=，即()32k x k Z ππ=-+∈， 函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭关于点(),032k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭成中心对称，C 错误； D 项：正切函数没有对称轴，则函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭也没有对称轴，D 错误，故选：ACD.6．(2021·浙江高一期末)(多选)下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是( )A ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．最小正周期是2πC ．图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D ．图象关于直线12x π=-成轴对称【答案】BC【解析】tan 2tan(2)33y x x ππ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，令2,232k x k k Z πππππ-+<-<+∈，得5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈，∴1k =-时，71212x ππ-<<-，所以tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，A 错误.由上知：最小正周期为2T π=，B 正确.当512x π=时有232x ππ-=，所以tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，C 正确.由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D 错误. 故选：BC7．(2021·陕西咸阳·高一期末)函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为__________.【答案】,0,412k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 【解析】由正切函数性质，令262k x ππ+=，可得412k x ππ=-()k ∈Z . ∴函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为,0,412k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭故答案为：,0,412k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【题组七 值域】1．(2021·全国高一课时练习)若sin 23x m =+，且,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围为( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．51,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．75,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．71,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以11sin 22x -≤≤，因为sin 23x m =+，所以112322m -≤+≤，解得7544m -≤≤-，故选：C2．(2021·陕西高一期末)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最小值小于零，则ω可取的最小正整数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】A ：1ω=，所以5,6612x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πππ，则()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不存在最小值，不合题意，故A 错误；B ：2ω=，所以π22,623x ππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不存在最小值，不合题意，故B 错误； C ：3ω=，所以5113,6612x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πππ，则()2cos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π不存在最小值，不合题意，故C 错误； D ：4ω=，所以774,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πππ，当46x +=ππ时， min ()20f x =-<，符合题意，故D 正确；故选：D.3．(2021·天水市第一中学高一期中)函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+- 令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞故答案为：[)5,-+∞4．(2021·上海杨浦·复旦附中高一期中)函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是___________.【答案】59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()222cos sin 11sin sin 1sin sin 2f x x x x x x x =++=-++=-++令7sin ,,46t x x ππ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为2()2f t t t =-++的对称轴方程为12t =，所以22minmax 115119()2,()2224224f t f t ⎛⎫⎛⎫=---+==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以59(),44f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以59(),44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的值域是59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．(2021·建平县实验中学)已知函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[]0,π内的值域为⎡-⎣，则ω的取值范围为___________. 【答案】55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又()f x ⎡∈-⎣，1cos 6x πω⎛⎫∴-≤+ ⎪⎝⎭所以1166πππωπ+， 解得5563ω， ω∴的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故答案为：55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
高考调研衡水重点中学同步精讲精练数学必修52 4 1
要点 1 等比数列的概念
如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的 比 等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
要点 2 通项公式
(1)等比数列的通项公式 an＝ a1·qn－1 . (2)公式的推广： an＝am· qn－m .
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
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第二章 数 列
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第二章 数 列
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2．4 等比数列(第一课时 ) 等比数列的概念及通项公式
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第二章 数 列
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授人以渔
课后巩固
课时作业
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第二章 2.4 第一课时
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要点 3 等比中项
(1)定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 为 等比数列 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
(2)关系式： G2＝ab，即 G＝ ± ab .
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
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1．等比数列中是否有等于 0 的项？公比是否能为 0? 答：没有；不能．
??a
?
??a
1＋a 3＝5， 1a 3＝4，
解得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1.
当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12.
故 a n＝2n－1 或 a n＝23－n.
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
高中数学必修5第2章2.2.2同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选C.由等差数列性质得a 2＋a 8＝2a 5＝12，所以a 5＝6.2．等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( )A ．是公差为d 的等差数列B ．是公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对答案：B3．在等差数列{a n }中，a 10＝10，a 20＝20，则a 30＝________.解析：法一：d ＝a 20－a 1020－10＝20－1020－10＝1，a 30＝a 20＋10d ＝20＋10＝30. 法二：由题意可知，a 10、a 20、a 30成等差数列，所以a 30＝2a 20－a 10＝2×20－10＝30. 答案：304．已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数． 解：由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，(a －d )(a ＋d )＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，d ＝－4.所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9；当d ＝－4时，这三个数为9,5,1.一、选择题1．下列命题中，为真命题的是( )A ．若{a n }是等差数列，则{|a n |}也是等差数列B ．若{|a n |}是等差数列，则{a n }也是等差数列C ．若存在自然数n 使2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，则{a n }是等差数列D ．若{a n }是等差数列，则对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2答案：D2．等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323C ．24D ．823解析：选D.∵53x ＝1x ＋1x ＋1，∴x ＝2. ∴首项a 1＝1x ＋1＝13，d ＝12(12－13)＝112. ∴a 101＝823，故选D.3．若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33解析：选D.经观察发现(a 2＋a 5)－(a 1＋a 4)＝(a 3＋a 6)－(a 2＋a 5)＝2d ＝39－45＝－6，所以a 3＋a 6＝a 2＋a 5－6＝39－6＝33.4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15C ．16D ．17解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，则由等差数列的性质得5a 8＝120，∴a 8＝24，a 9－13a 11＝3a 9－a 113＝2a 9＋(a 9－a 11)3＝2(a 9－d )3＝2a 83＝2×243＝16. 5．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：选C.设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2.∴{a n ＋b n }为等差数列．又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.6．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d ＞83B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 解析：选D.设等差数列为{a n }，首项a 1＝－24，则a 9≤0⇒a 1＋8d ≤0⇒－24＋8d ≤0⇒d ≤3，a 10＞0⇒a 1＋9d ＞0⇒－24＋9d ＞0⇒d ＞83. ∴83＜d ≤3. 二、填空题7．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.解析：由于{a n }为等差数列，故a 3＋a 8＝a 5＋a 6，故a 5＝a 3＋a 8－a 6＝22－7＝15.答案：158．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________.解析：∵a 7、a 14、a 21成等差数列，∴a 7＋a 21＝2a 14，a 21＝2a 14－a 7＝2n －m .答案：2n －m9．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.解析：法一：因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为其第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4.所以a 75＝a 60＋d ⇒a 75＝24.法二：因为a 15＝a 1＋14d ，a 60＝a 1＋59d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋14d ＝8a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 答案：24三、解答题10．已知正数a ，b ，c 组成等差数列，且公差不为零，那么由它们的倒数所组成的数列1a ，1b ，1c能否成为等差数列？ 解：由已知，得a ≠b 且b ≠c 且c ≠a ，且2b ＝a ＋c ，a >0，b >0，c >0.因为2b －(1a ＋1c )＝2b－a ＋c ac ＝2ac －2b 2abc ＝2ac －(a ＋c )22abc ＝－(a －c )22abc <0，所以2b ≠1a ＋1c. 所以1a ，1b ，1c不能成为等差数列． 11．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出{b n }的通项公式．解：(1)∵a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝4，∵a 8＝a 2＋(8－2)d ，∴16＝4＋6d ，∴d ＝2，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×2＝2n .(2)a 2＝4，a 4＝8，a 8＝16，…，a 2n ＝2×2n ＝4n .当n ＞1时，a 2n －a 2(n －1)＝4n －4(n －1)＝4.∴{b n }是以4为首项，4为公差的等差数列．∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝4＋4(n －1)＝4n .12．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最后一次应付多少钱？解：购买时先付150万元，还欠款1000万元．依题意知20次可付清．设每次交付的欠款依次为a 1，a 2，a 3，…，a 20，构成数列{a n }，则a 1＝50＋1000×0.01＝60；a 2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5；a 3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59；…a n ＝50＋[1000－50(n －1)]×0.01＝60－12(n －1)(1≤n ≤20)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列． 则a 10＝60－9×12＝55.5， a 20＝60－19×12＝50.5， 故第10个月应付55.5万元，最后一次应付50.5万元．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
数学必修5导学案：2-1 第1课时 正 弦 定 理
第二章解三角形本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.2.情感目标（1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.（2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.（3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.●重点难点重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.●方法探究1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯.2.注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力.3.学习本章应注意的问题（1）重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用.（2）加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力.（3）提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.§1正弦定理与余弦定理第1课时正弦定理知能目标解读1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.重点难点点拨重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题.难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况. 学习方法指导 一、正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.2.正弦定理的证明正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明.方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明. 在如图所示的直角坐标系中，点B,C 的坐标分别是B （ccos A ,csin A ）,C (b ,0).于是S △ABC =21bc sin A .同理S △ABC 还可以表示成21ab sin C 和21ac sin B .从而可得Aa sin =Bb sin =Cc sin .方法二：如图所示：当△ABC 为锐角三角形时，设边AB 上的高为CD ，根据三角函数的定义，有CD =b sin A ,CD =asin B ,所以b sin A =a sin B ,即Aa sin ＝Bb sin ;同理可得Bb sin =Cc sin .所以Aasin ＝Bb sin ＝Cc sin .如下图所示，当△ABC 为钝角三角形时，设A 为钝角，AB 边上的高为CD ，则CD =a sin B ,CD =b sin(180°－A ) =b sin A . 所以a sin B =b sin A , 即Aa sin ＝Bb sin ; 同理Bb sin ＝Ccsin .所以Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin .当△ABC 为直角三角形时，上式也成立.方法三:如下图所示：过A 作单位向量j 垂直于AC .由AC +CB =AB ，两边同乘以单位向量j ,得j ·（AC +CB ）=ｊ·AB . 则j ·AC +j ·CB =j ·AB .∴１j ||AC |cos90°+|ｊ||CB |cos(90°-C )=| j ||AB |cos(90°-A ). ∴a sin C =c sin A . ∴Aa sin =Cc sin .同理，过C 作j 垂直于CB ，得Cc sin =Bb sin ,∴Aa sin =Bb sin =Cc sin .二、利用正弦定理解三角形的类型（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC 中，已知a,b 和∠A 时，解的情况如下：.①a=b sin A ２a ≥b a>b三、三角形常用面积公式 （1）S =21ah a （h a 表示边a 上的高）；（2）S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ；(3)S =21r (a+b+c )(r 为三角形内切圆半径).四、应用正弦定理的解题规律1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有密切的联系.2.利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角.3.解题时，要注意“三角形内角和为180°”、“在一个三角形中，大边对大角”等平面几何性质的运用.4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用. 知能自主梳理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 相等，即 = = .［答案］ 正弦的比Aa sinBb sinCc sin思路方法技巧命题方向 正弦定理的理解［例1］ 有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在△ABC 中，sin A ：sinB ：sinC=a ：b ：c . 其中正确的序号是 . ［分析］ 紧扣正弦定理进行推理判断. ［答案］ ③④［解析］ 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确；由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确. ［说明］ 公式、定理的适用条件与公式、定理本身同样重要. 变式应用1满足sin A ：sin B ：sin C =1：2：3的△ABC 是否存在？［解析］ 假设满足条件的△ABC 存在，并设内角A,B,C 的对边分别是a,b,c .则由正弦定理知Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin .又∵sin A ：sin B ： sin C =1：2：3, ∴a ：b ：c=1：2：3. 则ｂ,=2a,c =3a ,∴a+b=c.与三角形中两边之和大于第三边矛盾.故满足sin A ：sin B ：sin C =1：2：3的△ABC 不存在. 命题方向 正弦定理的应用［例2］ 在△ABC 中，已知∠A =45°,∠B =30°,c =10,求b .［分析］ 先利用三角形内角和定理求角C ，再利用正弦定理求边b . ［解析］ ∵∠A +∠B +∠C =180°, ∴∠C =105°, ∵Bb sin ＝C c sin ,sin105 °=sin(45°+60°)＝22×（21+23）=462+,∴b=c ·CB sin sin =︒︒⨯sin105in3010=5(26).［说明］ 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 变式应用2已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=c =6+2， 且∠A =75°，则b =（ ） A.2 B. 6－2 C.4-23 Ｄ.4+23［答案］ A［解析］ 由a=c =6＋2可知，∠C =∠A ＝75°，∴∠B =30°,sin B =21.又sin A =sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45° =21×22+23×22=462+.由正弦定理，得b =AB a sin sin =()4622162+⨯+＝２故选A.［例3］ （2012·儋州高二检测）在△ABC 中，a =1, b =3,∠A =30°,求边c 的长. ［分析］ 由正弦定理求sin B →判断∠B 的范围→确定∠B 的值→求边c ［解析］ 由Aa sin ＝Bb sin ,得sin B =aA b sin ＝23.∵a<b ,∴∠B >∠A =30° ∴∠B 为60°或120°.(1)当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c =22b a +=31+=2.(2)当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c =a =1.［说明］ 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍. 变式应用3本例中，若a =3,∠A =60°,其他条件不变，则∠B 是多少度？ ［解析］ 由A a sin ＝Bb sin ,得sin B =ab sin A=33×23＝21， 得∠B =30°或150°，又a>b ,∴∠A >∠B ,而∠A ＝60°, ∴∠B =30°.探索延拓创新命题方向 求三角形的面积［例4］ 在△ABC 中，B =30°,AB =23,AC =2,求△ABC 的面积. ［分析］ 首先要讨论三角形解的个数，然后利用三角形的面积公式求解. ［解析］ 由正弦定理，得CAB sin ＝BAC sin ,∴sin C =ACB AB sin ＝230sin ·32︒＝23.∵AB>AC ,∴C>B =30°,即C 有两解. ∴C =60°或120°. 当C =60°时，A =90°, S △ABC =21AB ·AC ·sin A =21×23×2sin90°=23;当C =120°时，A =30°, S △ABC =21AB ·AC ·sin A =21×23×2sin30°=3.综上可知，△ABC 的面积为23或3. ［说明］ 利用三角形的面积公式S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B 即可求出三角形的面积，同时要注意解的个数. 变式应用4在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c ,已知A =3π，b =1,△ABC 的外接圆半径为1，则△ABC的面积S = .［答案］23［解析］ 由正弦定理Aa sin ＝Bb sin =2R ,∴a =3,sin B =21, ∵a>b ,∴A>B ,∴B =6π,C =2π.∴S △ABC =23.名师辨误做答［例5］ 在△ABC 中，若tan A ：tan B =a 2：b 2,试判断△ABC 的形状. ［误解］ 由正弦定理得，Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin ,∴a 2：b 2=sin 2A ：sin 2B , ∵tan A ：tan B =a 2：b 2, ∴AA cos sin ·BB sin cos ·BC 22sin sin .∵sin A ≠0,sin B ≠0, ∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin2A =sin2B , ∴2A =2B , ∴A=B.故△ABC 是等腰三角形.［辨析］ 在△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则2A =2B 或2A +2B =π, 误解中漏掉2A +2B =π这一情况. ［正解］ 由正弦定理得，Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin ,∴a 2：b 2=sin 2A ：sin 2B , ∵tan A ：tan B =a 2：b 2, ∴AA cos sin ·BB sin cos ·BA22sin sin.sin A ≠0,sin B ≠0, ∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin 2A =sin 2B , ∴2A =2B 或2A +2B =π， ∴A=B 或A+B =2π,故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.课堂巩固训练一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ） A.26 B.36 C.22 D.32［答案］ C［解析］ 设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C.2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ）A.3πB.32π C.3π或32π D.65π或6π［答案］ C ［解析］ 由Aa sin ＝Bb sin ,得sin B =aA b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23 ,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ）A.3：2：1 B. 3：2：1 C.3：2：1 D.2：3：1［答案］ DA ：B ：C =3：２：１ ［解析］ ∵A+B+C =180°∴A =90°,B =60°,C =30°. ∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23 ：21=2：3：1.二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = .［答案］ 1［解析］ 由正弦定理，得32sin3π=Bsin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1.5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . ［答案］ 2［解析］ 由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°.∵Bb sin =Cc sin∴c =BC b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵Bb sin =Cc sin ,∴b =CB c sin sin =︒︒105sin 30sin 10,又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).课后强化作业一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ） A.a>b sin A B.a=b sin A C.a<b sin A D.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得Aa sin ＝Bb sin ,∴a =BA b sin sin ,在△ABC 中，0<sinB ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B［解析］ 设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x .∴a ：b ：c =7：5：3. ∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B［解析］ 由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( ) A.a =7,b =14,A =30°,有两解 B.a =30,b =25,A =150°,有一解 C.a =6,b =9,A =45°,无解 D.b =9,c =10,B =60°,有两解 ［答案］ A［解析］ 对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解. 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ）A. 3πB.4πC. 4π或43π D.3π或32π［答案］ C ［解析］ ∵Aa sin =Bb sin ,∴sin A =22, ∴A =4π或A =43π, 又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6.(2012·潍坊高二期末)在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B.322 C.-36 D.36［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得︒60sin 15=Bsin 10,∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33.∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12=2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( ) A.10+3 B.10（3-1） C.10（3+1） D.103［答案］ B［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+,c=AC a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) .8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23［答案］ Cx >2 ［解析］ 由题设条件可知x sin45°<2∴2<x <22. 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］ 2［解析］ 由正弦定理得sin B =ab ·sin A =31-×23=21,又∵b =1<a =3, ∴B<A =3π,而0<B <π, ∴B =6π,C =2π,由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［答案］ 23-2［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得Bb sin ＝Cc sin ,∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° =22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2.11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = .［答案］45［解析］ 由正弦定理，得ba =BA sin sin ,∴a =25b 可转化为BA sin sin =25.又∵A =2B ，∴BBsin sin2=25,∴cos B =45.12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］ 62+83［解析］ 设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°， ∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］ 由正弦定理得，sin A =bB a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b , ∴A ＞B=45°,∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°，当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=BC b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262 +⨯=226+，当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =BC b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262 -⨯=226-，∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-. 14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552，求△ABC 的面积.［解析］ 由题意知cos2B =552, 则cos B =2cos 22B -1=53， ∴B 为锐角,∴sin B =54, sin A =sin(π-B-C ) =sin(53π-B )=1027由正弦定理，得c ＝AC a sin sin =1027222 ⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］ 设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得 x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B ,由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π. ∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状； （2）求△ABC 的面积.［解析］ （1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C , 从而sin(A+C )=sin A cos C , 所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形.(2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则Cc sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82, ∴S △ABC =21bc =162.。
高中数学必修5第1章1.2.1同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．某次测量中，若A 在B 的南偏东40°，则B 在A 的( )A ．北偏西40°B ．北偏东50°C ．北偏西50°D ．南偏西50°答案：A2．已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D.由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC .又∵AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，∴AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC ＝107.3．在一座20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.解析：h ＝20＋20tan 60°＝20(1＋3) m.答案：20(1＋3)4．如图，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．解：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC， 且∠BAC ＝30°，AC ＝60，∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°.∴BC ＝30 2.即船与灯塔间的距离为30 2 km.一、选择题1．在某次测量中，在A 处测得同一方向的B 点的仰角为60°，C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A ．10°B ．50°C ．120°D ．130°解析：选D.如图，∠BAC 等于A 观察B 点的仰角与观察C 点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，该船的实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC ．221 kmD ．8 km解析：选B.v 实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝2 3.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.3. 如图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高度AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)． 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin 30°＝5(3＋1)(m)．4．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且AB 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．14 2 海里/小时D ．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，则在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784，∴BC ＝28海里，∴v ＝14海里/小时．5．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.化简得：4t2－82t＋7≤0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝74.从而|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝1.6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是() A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(米)，故选D.二、填空题7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米．答案：10＋5 38.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________．解析：由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而所求为北偏西10°.答案：北偏西10°9．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12. ∴∠ACD ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°.∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：403三、解答题10．如图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C 、D ，测得CD ＝1000米，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝30°，∠BDA ＝30°，∠ADC ＝60°，求AB 的长．解：由题意知△ACD 为正三角形，所以AC ＝CD ＝1000米．在△BCD 中，∠BDC ＝90°，所以BC ＝CD cos ∠BCD＝1000cos 30°＝200033米． 在△ACB 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝10002＋200023－2×1000×200033×32＝10002×13，所以AB ＝100033米． 11．如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P 的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.在Rt △AOP 中，OA ＝OP tan 30°＝3h . 在Rt △BOP 中，OB ＝OP tan 45°＝h . 在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.解得h2＝4004－3≈176.4.∴h≈13(m)．∴旗杆的高度约为13 m.12．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC cos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t cos 120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴t＝23或t＝－512(舍)．∴AB＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
数学人教B版必修5同步训练：2.1.1数列 含解析 精品
第二章 数 列2.1 数 列 2.1.1 数 列5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，…中x 的值是( )A.19B.20C.21D.22 解析：观察题意可得规律：1+1=2,1+2=3,2+3=5,…，8+13=x=21,13+21=34, ∴x=21，故选C. 答案：C2.将正整数的前5个数排列:①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2.那么可以称为数列的只有( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④ 解析：数列是按“次序”排列着的一列数.学生易把“次序”误认为是“规律”而错选B. 答案：D3.数列5，7，11，9，13，15，17，19与数列5，7，9，11，13，15，17，19是同一数列吗? 答：_______________（填“相同”或“不相同”）.解析：两个数列中的项都是相同的，如果不注意观察有同学会得出错误答案.因为项相同，但是所对应的项数是不一样的.n=3时，第一个数列对应着11，而第二个数列对应着9. 答案：不相同4.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140、85. 答案：140 8510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知数列2，5，22，11，…，则52是该数列的( )A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项解析：把22写成52,8写成20，由题意，可得a n =13-n ，令13-n =52⇒13-n =20⇒3n-1=20⇒n=7.答案：B2.以下四个数中，哪个是数列{n(n+1)}中的一项( )A.380B.39C.32D.23 解析：n(n+1)是这个数列的通项公式，即a n =n(n+1). ∵380=19×20=19×(19+1)，∴380是该数列中的第19项，或者令n(n+1)=380，得n=19，是个整数，符合题意. 答案：A3.数列9116,718,514,312--，…的一个通项公式为__________________.解析：12212514514,112123123122+⨯+=+=+⨯+=+=,718718+==23+=+⨯9116,13219116+=24+1421+⨯,…，第n 项为1212++n n ； 而奇数项为正，偶数项为负，故a n =(-1)n-1(1212++n n).答案：a n =(-1)n-1(1212++n n)4.画出函数y=2x,x ∈{1,2,3,4,5}的图象，并比较数列2,4,6,8,10的图象.解：此函数的图象不是直线，由于定义域的限制，函数图象仅有5个孤立的点构成：(1,2)，(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)，数列2,4,6,8,10的图象与其是一样的，在数列2,4,6,8,10中，其自变量分别是1,2,3,4,5.图象如下：5.已知有穷数列：5，7，9，11，…，2n-7.则2n-7(n ＞5)是这个数列的第几项? 解：我们可以通过通项公式来数项数.可以观察到其通项公式：a m =2m+3（m=1，2，…，n+2）.a m 是这个数列的第m 项，由2m+3=2n-7，得m=n-5，故2n-7是数列的第n-5项.6.求数列352,152,52,…的通项公式. 解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n-1-5.故所求数列的通项公式为：a n =521021-∙-n .30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式为( )A.21)1(+-n B.2cos πn C.cos 21+n π D.cos 22+n π解析：当n=4时，21)1(21)1(4+-=+-n =1≠-1，cos 2πn =cos 24π=cos2π=1≠-1，排除A 、B ；当n=2时，cos2)1(π+n =cos 23π=0≠1，排除C. 答案：D2.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-8n+15,则3( )A.不是数列{a n }中的项B.只是数列{a n }中的第2项C.只是数列{a n }中的第6项D.是数列{a n }中的第2项或第6项 解析：令a n =3,即n 2-8n+15=3,解得n=2或n=6.答案：D3.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式a n+1=f(a n )得到的数列{a n }满足a n+1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()解析：分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.由a n+1=f(a n )，a n+1＞a n ，得f(a n )＞a n ，即f(x)＞x ，故选A ． 答案：A4.数列1，1，2，2，3，3，4，4，……的一个通项公式是( )A.a n =22)1(11+-++n n B.a n =⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数n nn n 2C.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+为偶数为奇数n n n n 2121 D.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 221解析：将1，0，1，0，1，0，…与1，2，3，4，5，6，…数列对应相加得到的数列为2，2，4，4，6，6，…∴a n =22)1(11+-++n n ；当然我们也可以从选项入手，也可得. 答案：A5.数列{a n }的通项公式为a n =nn ++11，则910-是此数列的第____________项.解析：利用常用的变形方法：分母有理化，将通项公式变形，a n =910111-=-+=++n n nn ，观察可得：n=9.答案：96.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有____________个点.解析：从（1）—（5）可以发现，第n 个图形应有n 列点，每列n 个点，它们有一个公共点,（1）中有12-(1-1)个点，（2）中有22-(2-1)个点，（3）中有32-(3-1)个点，（4）中有42-(4-1)个点，（5）中有52-(5-1)个点.故第n 个图中有n 2-(n-1)个点，即n 2-n+1个点. 答案：n 2-n+17.数列11，103，1 005，10 007，…的一个通项公式是_________________________.解析：观察每一项的数位越来越多，都比前一项多了一个位数，可与10的幂值联系，又末尾是奇数1，3，5，7等等，即11=10+1,103=100+3=102+3,1 005=1 000+5=103+5,10 007=10 000+7=104+7,则可归纳出通项公式. 答案：a n =10n +2n-18.已知数列a n =(m 2-2m)(n 3-2n)是递减数列，求实数m 的取值范围. 解：∵数列为递减数列，∴a n+1＜a n .∴a n+1-a n =(m 2-2m)［(n+1)3-2(n+1)-n 3+2n ］=(m 2-2m)(3n 2+3n-1)＜0. ∵n ∈N *， ∴3n 2+3n-1=3(n+21)2-47≥5＞0. ∴m 2-2m ＜0.解得0＜m ＜2， 故m ∈(0,2).9.根据数列的前四项，写出数列的一个通项公式. （1）1，3，5，7，…； （2）2，5，10，17，…； （3）541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯-，…. 解：（1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减1，所以通项公式为a n =2n-1；（2）如果数列的各项分别减去1，则变为1，4，9，16，6…，所以通项公式为a n =n 2+1； （3）数列的前四项的分母是两个连续正整数的积，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为a n =)1()1(+-n n n.10.某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金b[]n 元，然后再将剩余金额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.设a k （1≤k≤n ）为第k 位职工所得的奖金额，试求a 2、a 3，并用k 、n 和b 表示a k （不必证明）.解：按照题目中的已知条件“然后再将剩余金额除以n 发给第2位职工”,将第一个，第二个，第三个，…将职工的奖金所得一一列出，就可以发现这个数列的规律.从而归纳出这个数列的通项公式.第1位职工的奖金a 1=nb ；第2位职工的奖金a 2=b n n )11(1-；第3位职工的奖金a 3=b n n 2)11(1-；……第k 位职工的奖金a k =b nn k 1)11(1--.。
高中数学必修5第2章2.1同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．数列1，12，14，…，12n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列答案：B2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝cn ＋d n ，又知a 2＝32，a 4＝154，则a 10＝__________. 答案：99104．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2＋n. (1)求a 8、a 10.(2)问：110是不是它的项？若是，为第几项？ 解：(1)a 8＝282＋8＝136，a 10＝2102＋10＝155. (2)令a n ＝2n 2＋n ＝110，∴n 2＋n ＝20. 解得n ＝4.∴110是数列的第4项．一、选择题1．已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋n ，则a 3等于( )A ．3B ．9C ．12D ．20答案：C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n解析：选C.对于A ，a n ＝1n，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－(12)n －1，它是无穷递增数列． 3．下列说法不正确的是( )A ．根据通项公式可以求出数列的任何一项B ．任何数列都有通项公式C ．一个数列可能有几个不同形式的通项公式D ．有些数列可能不存在最大项解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….4．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819C.2021D.2223解析：选C.由题意知数列的通项公式是a n ＝2n 2n ＋1， ∴a 10＝2×102×10＋1＝2021.故选C. 5．已知非零数列{a n }的递推公式为a n ＝n n －1·a n －1(n ＞1)，则a 4＝( ) A ．3a 1 B ．2a 1C ．4a 1D ．1解析：选C.依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2a 1；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3a 1；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4a 1. 6．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选B.由a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则a n >0. 又a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n . 因此数列{a n }为递减数列．二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192，∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：98．已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝5，a 3＝23，且a n ＋1＝αa n ＋β，则α、β的值分别为________、________.解析：由题意a n ＋1＝αa n ＋β，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝αa 1＋βa 3＝αa 2＋β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝2α＋β23＝5α＋β⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝6，β＝－7. 答案：6 －79．已知{a n }满足a n ＝(－1)n a n －1＋1(n ≥2)，a 7＝47，则a 5＝________. 解析：a 7＝－1a 6＋1，a 6＝1a 5＋1，∴a 5＝34. 答案：34三、解答题10．写出数列1，23，35，47，…的一个通项公式，并判断它的增减性． 解：数列的一个通项公式a n ＝n 2n －1. 又∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1(2n ＋1)(2n －1)＜0， ∴a n ＋1＜a n .∴{a n }是递减数列．11．在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2011；(3)2011是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，17k ＋b ＝67， 解得k ＝4，b ＝－1.∴a n ＝4n －1.(2)a 2011＝4×2011－1＝8043.(3)令2011＝4n －1，解得n ＝503∈N *，∴2011是数列{a n }的第503项．12．数列{a n }的通项公式为a n ＝30＋n －n 2.(1)问－60是否是{a n }中的一项？(2)当n 分别取何值时，a n ＝0，a n ＞0，a n ＜0?解：(1)假设－60是{a n }中的一项，则－60＝30＋n －n 2.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．∴－60是{a n }的第10项．(2)分别令30＋n －n 2＝0；＞0；＜0，解得n ＝6；0＜n ＜6；n ＞6，即n ＝6时，a n ＝0；0＜n ＜6时，a n ＞0；n ＞6时，a n ＜0. 关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
高中数学 1-2-1-2等差数列的性质精品同步导学 北师大版必修5
• 1．等差数列增减性
• 对于数列an＝a1＋(n－1)d • (1)当d＞0时，{an}为 递增数列 ； • (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； • (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
• 2．等差中项
• 如果在a与b中间插入一个数A，使 a，A，b成等差数列 ，
那么A叫作a与b的等差中项，且A＝
• (2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8. • 而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2， • 即2a8－3a8＝2. • ∴a8＝－2. • ∴a3＋a13＝2a8＝－4. • (3)∵a3＋a11＝2a7＝10， • ∴a7＝5. • 又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15. • ∴a2＋a4＋a15＝15.
• [题后感悟] 求等差数列的通项公式，必须求出首项a1与公 差d，为此，利用等差数列的性质，转化为等差数列的两项的 方程组求解. 等差数列的项与项数有着密切的联系，由m＋n＝ k＋l＝2w可得am＋an＝ak＋al＝2aw，在解决等差数列的有关问 题中应用非常简便．
• 1．在等差数列{an}中， • (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； • (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. • 解析： (1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得 • 4a13＝48， • ∴a13＝12.
• 5．在等差数列{an}中： • (1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7； • (2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13； • (3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15. • 解析： (1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7， • 而a2＋a3＋a10＋a11＝48， • ∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.
成才之路高中数学必修5(人教A版)解答2-1-1
数列
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第二章
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人 教 A 版 数 学第二章数列来自人 教 A 版 数 学
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第二章
数列
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-2-1
例 3
新课标A版 ·数学 ·必修5
测量角度
某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信
号， 我海军护航舰在 A 处获悉后， 立即测出该货船在方位角为 45° ， 距离为 10 海里的 C 处，并测得货船正沿方位角为 105° 的方向， 以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 3 海 里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时 间．
第19页
第一章
1.2
第一课时
高考调研
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【讲评】
求距离问题一般要注意：
(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适 当确定的线段叫做基线，如例中的 CD)． (2)选定或创建的三角形要确定．
第20页
第一章
1.2
第一课时
高考调研
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探究 1
第22页
第一章
1.2
第一课时
高考调研
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【解析】 在△ACD 中，∠CAD＝180° －∠ACD－∠ADC＝ 60° ，CD＝6 000，∠ACD＝45° . CDsin45° 根据正弦定理有 AD＝ ＝ sin60° 2 CD， 3
同理， 在△BCD 中， ∠CBD＝180° －∠BCD－∠BDC＝135° ， CD＝6 000，∠BCD＝30° . CDsin30° 2 根据正弦定理有 BD＝ sin135° ＝ 2 CD. 又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° ，
1.2
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
2．下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形， 填写相应结论. 类别 点 B 与点 C、D 共线 点 B 与 C、D 不共线
高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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2.1 等差数列
第一章 数列
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第1课时 等差数列的概念和通项公式
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
第一章 数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断 方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能 运用通项公式解决一些简单问题.
第一章 数列
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【尝试解答】 数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝43m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章 数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含 义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且 必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后 面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
第一章 数列
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规律方法 求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中 的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构 成等差数列，但整个数列不是等差数列.
第一章 数列
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差 数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-1-2 (2).ppt
cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝
2 2(
23－12)
＝14(
6－
2)，所以 b2－2b(
6＋
2)cos75°＝b2－2b(
6＋
1 2)·4(
6
－ 2)＝b2－2b＝0，解得 b＝2 或 0(舍去)．故选 A.
课时作业（三）
∴a＝3.
探究 2 三角形中已知两边和一角，有两种解法．可比较两 种解法，从中体会各自的优点，从而摸索出适合自已思维的解题 规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于 a 的等量关系建立方 程，运用解方程的方法求出 a 边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
思考题 2 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、
6＋ 4
2，
sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
又 b>a，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得 sinA＝acsinC＝
2 6－
× 2
6－ 4
2＝12.∴A＝30°.
方法二
方法二 (边化角) ∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)． 又∵2cosA·sinB＝sinC， ∴2cosA·sinB＝sinA·cosB＋cosA·sinB. ∴sin(A－B)＝0. 又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，∴A＝B. 又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得
b、c，若 A＝3π，a＝ 3，b＝1，则 c 等于(
)
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 5
5.7 三角函数的应用(精练)【题组一 圆周运动】1．(2021·全国高一单元测试)如图，为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m )与时间x (s )满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝215π，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝215π，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 【答案】A【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3． 60==154T ，则2215T ππω==．故选:A2．(2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,||2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为3π-B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6 【答案】AD【解析】对于A ，由(3,A -，知6R ，120T =，所以260T ππω==；当0t =时，点P 在点A 位置，有6sin ϕ-，解得sin ϕ=||2ϕπ<，所以3πϕ=-，故A 正确；对于B ，可知()6sin 603f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈，2,60333t ππππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f x 先增后减，故B 错误；对于C ，当(]0,60t ∈，2,60333t ππππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，sin 603t ππ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；对于D ，当100t =时，46033t πππ-=，P 的纵坐标为y =-3x =-，所以||336PA =--=，故D 正确． 故选：AD ．3．(2021·全国高一课时练习)(多选)如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点0P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()s t 的函数，则下列结论正确的是( )A ．()39f =B ．()()17f f =C ．若()6f t ≥，则[]()212,512t k k k ∈++∈ND ．不论t 为何值，()()()48f t f t f t ++++是定值 【答案】BD【解析】设()()()sin 0,0f t A t b A ωϕω=++>>，则6A =，212π=ω，则6π=ω， 由题意可知()max 69f t b =+=，可得3b =，()06sin 30f ϕ=+=，可得1sin 2ϕ=-，由图可知，函数()f t 在0t =附近单调递增，可得()26k k Z πϕπ=-∈，所以，()6sin 366t f t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，()36sin 333f π=+=，A 错；对于B 选项，()16sin033f =+=，()76sin 33f π=+=，()()17f f =，B 对； 对于C 选项，由()6sin 3666t f t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，可得1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以，()5226666t k k k N ππππππ+≤-≤+∈，解得()122126k t k k N +≤≤+∈，C 错； 对于D 选项，()()()24486sin 6sin 6sin 966663663t t t f t f t f t ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭26sin 3sin sin 3sin 966666636666t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-----+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9=，D 对.故选：BD.4．(2021·全国高一课时练习)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(1,A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin 0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是( )A ．3πϕ=B ．当[]0,2t ∈时，函数()y f t =单调递增.C ．当[]3,5t ∈时，函数最小值为2-.D ．当t =9时，4PA = 【答案】BD【解析】由题，2R ==，26T πω==，3πω∴=，故()2sin 3f t t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又当0t =时，()y f t ==||2ϕπ<，3ϕπ∴=-， 所以()2sin 33f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误：当[0,2]t ∈时，,3333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f t =在[0,2]是单调递增的，故B 正确：当[3,5]t ∈时，24,3333t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f t =在[3,5]t ∈是单减的，故最小值为4(5)2sin3f π==故C 错误：当9t =时，8333t πππ-=，P 的横坐标为82cos13π=-，又8(9)2sin 3f π=(P -，PA 为水车直径，故4PA =，故D 正确． 故选：BD5．(2021·全国高一课时练习)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？【答案】(1)是周期现象；(2)48(分钟)；(3)42(分钟)；(4)0.5(米)．【解析】(1)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．(2)每转一圈需要12分钟，∴转四圈需要41248⨯=分钟．(3)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面 40.5米，半径40米，∴出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点， ∴你第四次距地面最高需要：612342+⨯=分钟．(4)由已知可设40.540cos y t ω=-，0t ， 由周期为12分钟可知，当6t =时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ωπ=，即6π=ω， 40.540cos 6y t π∴=-，0t∴转60分钟时，你距离地面高度为：40.540cos(60)40.540cos100.56y ππ=-⨯=-=(米)．【题组二 几何问题】1．(2021·安徽芜湖一中高一月考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15︒的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.【答案】15米【解析】如图所示，由题得，45AEC ︒∠=，1806015105ACE ︒︒︒︒=--=∠，30EAC ︒∴∠=，由正弦定理可知sin sin CE ACEAC AEC=∠∠，sin sin CEAC AEC EAC∴=⋅∠=∠∴在Rt ABC 中，sin 15AB AC ACB =⋅∠==米，即旗杆的高度为15米.故答案为：15米.2．(2021·江苏高一期中)如图，在扇形POQ 中，半径2OP =，圆心角3POQ π∠=，B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．其中CD 在半径OQ 上，记BOC α∠=．(1)当45BOC ∠=︒时，求矩形ABCD 的面积；(2)求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值．【答案】(1)2(2)当6πα=时，矩形ABCD【解析】(1)在Rt OBC 中，2sin 452BC ==2cos 452OC ==在Rt ADO 中，tan 3AD OD π==，所以OD AD所以CD OC OD =-=，设矩形ABCD 的面积为S ，则2S CD BC =⋅=⎭(2)在Rt OBC 中，2sin BC α=，2cos OC α=．在Rt ADO 中，tan 3AD OD π==， 所以OD AD α===， 所以2cosCD OC OD αα=-=， 设矩形ABCD 的面积为S ，则22cos 2sin 4sin cosS CD BC αααααα⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭， 2sin 2226πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时max S ==因此，当6πα=时，矩形ABCD 3．(2021·江苏高一专题练习)圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL )是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，测得建筑物AB 的高度为h ，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处可以测得楼顶A 和教堂顶C 的仰角分别为α和β，在楼顶A 处可测得塔顶C 的仰角为γ，且AB 与CD 都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？(结果用h ，α，β，γ表示)【答案】高度为()()sin sin sin sin h βαγαβγ+-.【解析】解：由题可知，在Rt CDM 中，CDM β∠=， 设CD x =， 则sin sin CD xCM ββ==， 在Rt ABM 中，AMB AB h α∠==，， 则sin sin AB hAM αα==． 在ACM △中，CAM CMA αγπαβ∠=+∠=-+，（）∴MCA βγ∠=- 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 sin sin CM AMMAC MCA=∠∠，即()()sin sin sin sin x hβααγβγ=+-． ∴()()sin sin sin sin x h βαγαβγ+=-答：索菲亚教堂的高度为()()sin sin sin sin h βαγαβγ+-．【题组三 其他问题】1．(2021·全国高一课时练习)在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如表所示：(1)试选用一个形如()sin y A x t ωϕ=++的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y 与日期位置序号x 之间的函数解析式.(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时. 【答案】(1)()23237sin 12.41365,365730y x x x N ππ⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭；(2)这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时..【解析】(1)由表格可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，19.4 5.472A -∴==， 19.4712.4t ∴=-=，又365T =，2365πω∴=， 当172x =时，23652x ππϕ+=，解得：323730πϕ=-， ()23237sin 12.41365,365730y x x x N ππ⎛⎫∴=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭.(2)由15.9y >得：23231sin 3657302x ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即2323563657306x ππππ<-<， 解得：111.17232.83x <<，∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.2．(2021·广东铁一中学高一月考)“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段MAB 是函数2sin(),(0,0),[4,0]y x x ωϕωϕπ=+><<∈-的图象，且图象的最高点为(1,2)A -．中间部分是长为1千米的直线段BC ，且//BC MN ．新步道的最后一部分是以原点O 为圆心的一段圆弧CN ．(1)试确定,ωϕ的值；(2)若计划在扇形OCN 区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边EF 紧靠道路MN ，顶点Q 落在半径OC 上，另一顶点P 落在圆弧CN 上．记PON θ∠=，请问矩形EFPQ 面积最大时θ应取何值，并求出最大面积？【答案】(1)6π=ω，23ϕπ=；(2)当6πθ=2. 【解析】(1)∵1(4)34T =---=，∴212T ωπ==，∴6π=ω． 图象过(1,2)A -，∴2,62k k Z ππϕπ-+=+∈，又0ϕπ<<，∴23ϕπ=．(2)由(1)知22sin 63y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，交y 轴于B ，又1,//BC BC MN =，∴2,3OC CON BCO π=∠=∠=．又PON θ∠=，∴(2cos ,2sin )P θθ，2sin 2sin ,2cos 2costan 60PF EF θθθθθ==-=-︒，∴22sin 2cos 2sin 22sin 2cos2)EFPQ S PF EF θθθθθθθ⎛⎫=⋅===- ⎪⎝⎭12sin 222cos 2226πθθθθθ⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又πθ0,3，∴6πθ=时sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时矩形EFPQ 2． 3．(2021·兴仁市凤凰中学高一期末)某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数sin y A t b ω=+的图象． (1)试根据数据表和曲线，求sin y A t b ω=+的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？【答案】(1)3sin 10(024)6y t t π=+；(2)1:00至5:00或13:00至17:00.【解析】1)根据数据，可得137A b A b +=⎧⎨-+=⎩，3A ∴=，10b =， 15312T =-=，26T ωππ∴==， ∴函数的表达式为3sin 10(024)6y t t π=+；(2)由题意，水深 4.57y +， 即3sin 1011.5(024)6t t π+，1sin62tπ∴， ∴[266t k πππ∈+，52]6k ππ+，0k =，1， [1t ∴∈，5]或[13t ∈，17]；所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港．4．(2021·北京市第一六一中学)海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表．试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y 与时间[]()0,24t t ∈的函数关系，则这个函数关系式是________．【答案】[]5sin 5,0,2426y t t π=+∈【解析】设y 与t 之间的函数关系式为()()sin 0,0y A t B A ωϕω=++>>，则由表中数据可得12T =，且7.52.5A B A B +=⎧⎨-+=⎩，故2126ππω==且55,2B A ==，所以5sin 526y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为当3t =时，7.5y =，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈，故5sin 526y t π=+，其中024t ≤≤.故答案为：[]5sin 5,0,2426y t t π=+∈.5．(2021·全国高一课时练习)埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口，其水深度y (米)时间t (024t ≤≤，单位：时)的函数，记作()y f t =，下面是水深与时间的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看出函数()sin y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，[),ϕππ∈-的图象.(1)试根据以上数据，求出函数()y f t =的近似表达式；(2)一般情况下，轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的(船舶停靠时，近似认为海底是平面)，停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港，其最大吃水深度(船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离)需12米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间).【答案】(1)3sin 156y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)18小时.【解析】(1)根据表格可得出：3A =， 15B =，12T =.由22T πω==可知6π=ω；当9t =时函数取最大值，即9262k ππϕπ⋅+=+，k Z ∈，可得2k ϕππ=-，又因为[),ϕππ∈-，得到()f t ϕ=，函数()y f t =的近似表达式为3sin 156y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(2)由题意得航行时3sin 15156t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.因为024t ≤≤，所以[],36t ππππ-∈-.通过正弦函数图象可知，当[][]0,2,36t πππππ-∈⋃，即[][]6,1218,24t ∈⋃时，sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.由于停泊时的要求3sin 15126t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港， 它至多能在港内停留24618-=小时.6．(2021·全国高一课时练习)某地一天的时间(024x x ，单位：时)随气温()oC y 变化的规隼可近似看成正弦函数()sin y A x B =++ωϕ的图象，如图所示.(1)根据图中数据，试求()sin y A x B =++ωϕ(0,0,0)A ωπϕ>>-<<的表达式.(2)该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于o 23C ，根据(1)中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？ 【答案】(1)36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)老张可在11:0019:00外出活动，活动时长最长不超过8小时；【解析】(1)依题意可得2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得620A B =⎧⎨=⎩，又1532T =-即224T πω==，解得12πω=，所以6sin 2012y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数过点()3,14，所以6sin 3201412πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，解得32,4k k Z πϕπ=-+∈，因为0πϕ-<<，所以34πϕ=-，所以36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)依题意令36sin 2023124x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即31sin 1242x ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 所以3522,61246k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈ 解得11241924,k x k k Z +≤≤+∈ 因为024x所以1119x ≤≤，又19118-=即老张可在11:0019:00外出活动，活动时长最长不超过8小时；7．(2021·全国)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数()cos y A x b ωϕ=++，()0,0,0,A b ωπϕπ>>>-<<，画出函数图象，并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？1.7【答案】(1)作图见解析，2cos 4.562y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时. 【解析】(1)由图象可知 6.5 2.522, 4.5,122A b T πω+=====，6π=ω， 则有2cos 4.56y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又因为3x =时取最大值6.5，可得2πϕ=-，所以2cos 4.562y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)货船需要的安全水深为4 2.2 6.2+=米， 所以当 6.2y ≥时就可以进港.令2cos 4.5 6.262x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，得 1.7cos 622x ππ⎛⎫-≥≈ ⎪⎝⎭得22,6626k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈，即212412k x k +≤≤+，当0k =时，[]2,4x ∈；当1k =时，[]14,16x ∈，所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.。
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思考题 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，34，78，1156，3312，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)0,1,0,1,0,1，…； (4)－1，32，－13，34，－15，36，…； (5)3,33,333,3 333，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
探究 1 数列的主要特征是有序性，观察数列的前 n 项的变 化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数 列性质的重要方面．
1．{an}与 an 有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而 an 表示数列的第 n 项．
2．数列与数集有何区别？
答：集合中的元素具有确定性，无序性和互异性，而数列中 的数是按一定次序排列的，同一个数在数列中可以重复出现．次 序对于数列来说是十分重要的，有几个不同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不同．
(4)13，1，95，83，….
【 答 案 】 (1)an ＝ ( － 1)n ＋ 1(2n － 1) (3)an＝59(10n－1) (4)an＝nn＋22
(2)an
＝
n＋12－n 2n＋1
例 3 (1)已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1，试判断 0.7 是不是数列{an}中的一项？若是，是第几项？
3．是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯 一？
答：①不是，如 π 的不足近似值组成的数列 1,1.4,1.41,1.414，……就没有通项公式．
②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：－1,1， －1,1，……的通项公式可以写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝(－ 1)n＋1，也可以写成 an＝－ 1n1为偶n数 为奇 . 数，
通项公式 an＝n an＝2n
an＝2n－1 an＝n2 an＝2n an＝n1
an＝n·(n＋1) an＝(－1)n－1
an＝10n－1 an＝1
思考题 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)22－ 3 1，32－ 5 2，42－ 7 3，52－ 9 4，…； (3)5,55,555,5 555，…；
(5)an＝13(10n－1)．
探究 2 一些基本数列的通项公式应当牢记在心滚瓜烂熟， 这对于归纳、猜想求解复杂数列的通项公式是大有好处的！能极 大的提高解题速度．
数列{an} 1,2,3,4，… 2,4,6,8，… 1,3,5,7，… 1,4,9,16，… 2,4,8,16，… 1，12，31，14，… 1×2,2×3,3×4,4×5，… 1，－1,1，－1，… 9,99,999,9 999，… 1,1,1,1，…
(5)将数列各项写为93，939，9939，….
【解析】 所给五个数列的通项公式分别为 (1)an＝2n2－n 1； (2)an＝n22； (3)an＝1＋2－1n；
－1nn＝2k－1，
(4)an＝3 n
n＝2k，其中k∈N*
由于 1＝2－1,3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成 an＝
(－1)n·2＋－n 1n；
2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时)
授人以渔 课后巩固 课时作业ห้องสมุดไป่ตู้
要点 1 数列的概念 按 一定顺序 排列的一列数，叫做数列． 要点 2 数列的表示 ①列举法：将每一项 按一定顺序，一一列举出来 表示数 列的方法． ②图像法：在坐标系中描出(n，an)这些孤立的点．
③通项公式法：an＝ f(n)． n∈N*. ④递推公式法：
授人以渔
题型一
数列的概念
例 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是 递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1，12，13，…，1n，…； (2)1,2,22，…，263，…；
(3)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0,10,20，…，1 000； (5)－1,1，－1,1，…； (6)6,6,6，….
给出数列{an}的第 1 项(或前几项)及以后各项与它相邻的 前一项(或前几项) 之间的关系式来表示数列．
要点 3 数列的分类 (1)根据数列的项数，可以将数列分为两类： ①有穷数列——项数 有限 的数列． ②无穷数列——项数 无限 的数列． (2)数列还可以按照项与项之间的大小关系进行以下分类： ①递增数列．②递减数列． ③摆动数列．④常数数列．
【思路分析】 考查各项的结构特点，联系基本数列． (1)分母依次是 2,4,8，…即 2n，而分子比分母少 1. (2)将分母统一为 2，分子恰为平方数． (3)这是个摆动数列，可寻找其平衡位置，并用(－1)n 去调节．
(4)此数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号．奇数项 都为负，且分子都是 1，偶数项为正，且分子都是 3，分母依次 是 1,2,3,4，…正负号可以用(－1)n 调解．
(2)已知数列{an}的通项公式为 an＝3－2cosn2π. 求证：am＋4＝am.
【解析】 (1)令n2n＋2 1＝0.7，则 3n2＝7，即 n2＝73， 此时 n 无整数解，故 0.7 不是这个数列中的项． (2)因为 am＋4＝3－2cosm＋2 4π＝3－2cosm2π， 又 am＝3－2cosm2π.所以 am＋4＝am.