1斯托克斯方程

2 2 1 a 3 r 1 r 2 Ua sin 4 r 4 a 2a
于是
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速度场和压强场
速度场
3 a 1 a 3 1 ur 2 U 1 cos r sin 2 r 2 r 3 a 1 a 3 1 u U 1 sin r sin r 4 r 4 r
球坐标系上述关系式证明见例1（228-230）
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求解方法及解的特点
斯托克斯流动的速度场、压强场，涡量场可以 单独求解

运动学问题与动力学问题相互独立。可先求流函数或速度场， 确定压强场
运动学方程及边界条件中无流体的物性参数密 度和粘性

流场的运动学变 量，如速度、涡量、流线和涡线等与流体的
r 1 u p
2

斯托克斯方程
r u 0
斯托克斯方程的各种表达型式
对斯托克斯方程两侧取散度
r 1 2 u p

2 p 0
压强是调和函数 满足拉普拉斯方程
r u 0
对斯托克斯方程两侧 2运算
r u 0
2 2
速度矢量是双调和函数
对斯托克斯方程两侧取旋度，注意到 p 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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流函数方程求解
分离变量法
E 2 E 2 0
f (r ) g ( )
参考第五章理想流体绕圆球流动的流函数 表达式
1 a3 2 U (r )sin 2 2 r 1 2 2 Ur sin r 2
P153 式5.23a
无穷远处粘性流体流动与理想流体流动的流函数相同
2 2 2
d2 2 2 sin 2 2 f dr r
2 d 2 f 2 f d2 2 d 2 2 2 E E E sin 2 2 = sin 2 2 2 2 f r r dr r dr dr
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本章内容
介绍小雷诺数流动的近似解
8.1 斯托克斯近似
8.2 绕圆球的缓慢流动
8.3 奥辛近似 8.4 滑动轴承内润滑油的流动
8.5 通过多孔介质的缓慢流动
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8.1 斯托克斯近似
斯托克斯方程与斯托克斯流动 N-S方程
雷诺数
当雷诺数很小(Re → 0) 时，流体的对流惯性力远远小于粘 性力， N－S 方程中的非线性对流惯性项可略去 r r u 1 2r p u f t
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斯托克斯近似
r u 局部惯性力 t r 粘性力 2 u r U u * t0 t * L2 ＝Ns U *2 r * t0 u 2 L
r r r u 1 p 2u f t
斯托克斯数
L2 ＝Ns t0
L2 L LU Ns = =St Re t0 Ut0
斯特鲁哈利（Strouhal）数
St L/(Ut0 )
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表示宏观流动特征时间 L/U 与非定 常特征时间(如振动周期）之比
r , ur U cos
r a, f f 0
A1a 1 A2 a
U 2 a 0 2
A1a2 A2 Ua 0
1 3 A1 Ua 3 , A2 Ua 4 4
2 1 a 3 r 1 r 2 f Ua 4 r 4 a 2 a
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系数确定
ur
f sin 2 A1r 1 A2 r A3r 2 A4 r 4 sin 2
f A1r 1 A2 r A3r 2 A4 r 4
1 2 f 2 cos A r 1 A2 r A3 r 2 A4 r 4 cos 2 2 2 1 r sin r r A3 U , A4 0 2
第 八 章
背 景
小雷诺数流动
石油化工、环境工程、水力工程、采矿、生物工程、气象等领域 微小粒子、液滴或气泡在粘性流体中的缓慢流动 粘性流体在微小尺寸通道内的缓慢流动，如地 下 水的流动，石油，页岩气在岩层中的流动 粘性薄液膜的流动，如滑动轴承中的润滑油膜的 流动等 小雷诺数流动 。 雷诺数小，惯性力与粘性力相比可以 忽略不计，或只占次要地位
雷诺数 Re 方程求解 坐标系建立
2aU
= 1 ，属于斯托克斯问题，采用斯托克斯
选取固连圆球相对坐标系，原点取在球心，x 轴与U方向 相反，转化为定常流动问题，且流动为轴对称流动
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控制方程与边界条件
球坐标系下 斯托克斯方程 边界条件
u 0
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函数f(y)方程的解
d 2 2 d 2 2 n n4 r n 2 n 3 2 n n 1 2 r 0 2 2 2 2 dr r dr r
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斯托克斯近似阻力公式
球面上切应力
表达式见附录409页
3 a 1 a 3 ur U 1 cos 2 r 2 r 3 a 1 a 3 u U 1 sin 4 r 4 r
1 2 u p
=0

r , ur U cos , u U sin
r a, ur u 0
速度与压强耦合在一起，需联立求解连续方程和斯托克斯方程.
（分离变量法求解见吴望一编著《流体力学》北京大学出版社）
流函数方程
E E 0
2 2
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u
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函数f(y)方程
2
2 sin 1 E 2 2 r r sin
2
2 sin 1 d2 f 2 f 2 2 E 2 2 f sin sin 2 2 r sin r r dr
r 2 0
涡量是调和函数
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二维不可压缩流动流函数方程
二维平面流动
r 2 r k
22 0
E E 0
2 2
P92 式4-5b
2 2 2 2 x y
2
2
r 1 2 u p

平面直角坐标系
球坐标系（轴对称） 球坐标系下速度 和流函数关系
2
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斯托克斯方程与斯托克斯流动
简化后运动方程 连续方程 斯托克斯流动 满足斯托克斯方程和连续方程的流动 斯托克斯方程近似程度 单粒子在无界流体定常流动 Re < 0.1 悬浮液、单粒子在其他边界附近流动 Re > 1
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E 2 E 2 0
d 2 2 d 2 2 2 2 2 2 f 0 dr r dr r
n f r 令
四阶欧拉方程
d2 2 n n2 n2 n2 r n n 1 r 2 r n n 1 2 r 2 2 dr r
概
述
第七章讨论的流动问题 非线性项（惯性项）等于零或形式简单 方程可简化成线性方程或简单的非线性方程
准确解
小雷诺数问题
粘性项量级远大于惯性项量级，粘性力起主导作用 仅考虑其主导作用粘性力，忽略起次要作用惯性力 方程近似简化成线性方程或简单的非线性方程
近似解
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r 0
2
2 sin 1 E 2 2 r r sin
u 1 r sin r
ur
1 , 2 r sin
压强与流函数 关系
P 2 E 2 r r sin
P 2 E sin r
2 2
1 a 3 r 1 r 2 2 Ua sin 4 r 4 a 2a p 2 E 2 r r sin p 2 E sin r
2
U
a o

x
c p
3 p Uar 2 cos p 2
1 a 3 r 1 r 2 f Ua 4 r 4 a 2a
2
压强场
积分
d2 f 2 f 3 a 2 E sin 2 2 U sin r 2 r dr p 2 E 2 3Uar 3 cos r r sin p 2 3 E Uar 2 sin sin r 2 3 r , p p p Uar 2 cos c 2
r r r r u 1 2r u u p u f t
引入非定常特征时间 t0，特征长度L，特征速度U
2 r* * r* U r r u u 对流惯性力 u u UL L Re r U *2 r * 粘性力 2u u 2 L
n 2 n 3 2 n n 1 2 0
方程根
n 1, 1, 2, 4
f (r )sin2
1 2 4
f(y)的解
f A1r A2 r A3r A4 r
A1r 1 A2 r A3 r 2 A4 r 4 sin 2
(, ) (, )
1 f () g ( ) Ur 2 sin 2 2
ur 1 r 2 sin
1 r sin r
(r, ) f (r )sin 2
由 边界条件
r a, ur u 0 r a, f f 0
粘 性和密度无关。

在斯托克斯方程中只出现粘性而没有密度，
动力学变量，如压强、应力和物体所受合力等都只与粘性系数 有关而与密度无关。
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8.2 绕圆球的缓慢流动
问题描述 球形颗粒、液滴在气体中，颗粒、 小气泡在液体中相对运动

U
a o

x
半径为a的刚性微小圆球以速度U 在无界 静止的不可压粘性流体中运动
西安交通大学流体力学课程组 Re 0
Ns 0
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斯托克斯近似
Ns St Re
若流动的 St 不太大 Re → 0

r r u 1 2r p u f t
Ns → 0
忽略N－S方程左侧的局部惯性力项，流动化为准定 常问题
忽略质量力
0
1

r p u