长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案汇总

1 长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷 注意： (1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效. 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =2x上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( ) (A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a＜0，则aaaa1,,,33一定是 ( ) (A) a1最小，3a最大 (B) 3a最小，a最大 (C) a1最小，a最大 (D) a1最小， 3a最大 4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ） (A) AE⊥AF （B）EF：AF =2：1 (C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC 5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同 第4题
2 值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站h及A、B两船恰成一个直角三角形. 9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 . 10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 . 12．设,C,C,C321… … 为一群圆, 其作法如下：1C是半径为a的圆, 在1C的圆内作四个相等的圆2C(如图), 每个圆2C和圆1C都内切, 且相邻的两个圆2C均外切, 再在每一个圆2C中

, 用同样的方法作四个相等的圆3C, 依此类推作出,C,C,C654…… , 则 (1) 圆2C的半径长等于 (用a表示)； (2) 圆kC的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) (第9题) (第11题) 第12题
3 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。 13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB. (1) 求证AD = AE； (2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积. 14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M， (1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点； (2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小. 第13题
4 15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖励（元/每人） 1500 700 0 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。 (1) 试判断A队胜、平、负各几场? (2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.
5 16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =23x－1经过这两个顶点中的一个. （1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标； （2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点. ① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =32x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. 2009年长郡中学高一招生数学试题（B） 时间60分钟 满分100分 一.选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案) 1. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ） （第16题） 黄 红
绿 绿
红 绿 红 绿 黄 绿 红 红 绿 黄 绿 红 黄 红 黄 绿
6 2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ） A．2x％ B． 1+2x％ C．（1+x％）x％ D．（2+x％）x％ 3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条2ba元

的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ） A．a>b B．a7 A．21 B．61 C．125 D．43 7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 （ ） A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上 8．已知实数a满足|2006|2007aaa，那么22006a的值是（ ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 二．填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。) 9．小明同学买了一包弹球，其中14是绿色的，18是黄色的，余下的15是蓝色的。如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球 10.已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有（ ）个. 11．不论m取任何实数，抛物线 y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（ ）． 12．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，?每个盒子中装有相同颜色的小球．已知： （1）黄盒中的小球比黄球多； （2）红盒中的小球与白球不一样多； （3）白球比白盒中的球少． 则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )． 13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则21SS=（ ）
8 14．已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为（ ） 15．已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66， 则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=（ ） 16． 如图5，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及圆O上，并且∠POM=45°，则AB的长为（ ） 三．解答题：(本题有2小题,每小题10分，满分20分。) 17．甲、乙两班同时从学校A出发

去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
9 18．如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动， AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值. 师大附中2011年高一自主招生考试
10 数学测试题 本卷满分150分 考试时间120分钟 题号 一 二 三 总 分 复 核 1 2 3 4 5 得分 阅卷教师 一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分） 1、下列图中阴影部分面积与算式2131242的结果相同的是………………【 】 2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】 ① 实数不是有理数就是无理数；② a＜a＋a；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按 半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】 A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关 4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右 滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【 】 A、2π B、π C、32 D、4
11 5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则mn 等于……………………………………………………………………………【 】 A、36 B、37 C、38 D、39 二、填空题（每小题6分，共48分） 1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。 2、若化简16812xxx的结果为52x，则x的取值范围是 。 3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。

笔试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 4、已知点A是一次函数xy的图像与反比例函数xy2的图像在第一象限内的交点，点B在x 轴的负半轴上，且OBOA（O为坐标原点），则AOB的面积为 。 5、如果多项式212xpx可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是 。 6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（01x），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是 。 7、已知12xx，为方程2420xx的两实根， 则3121455xx 。 8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。 三、解答题（本大题6小题，共72分） 1、（10分）在ABC中，ACAB，45A。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果1AD，求：BCDtan的值。 2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机
12 器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。 甲 乙 价格（万元／台） 7 5 每台日产量（个） 100 60 ⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ ⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？ 3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2AF，1BF。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。 4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,60ACD, 点SPQ、、分别是ODOABC、、的中点。 求证：△PQS是等边三角形。 5、（12分）如右图，直线OB是一次函数2yx的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB 上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。
13 6、（14分）已知关于x的方程018)13(3)1(22xmxm有两个正整数根（m 是整数）。 △ABC的三边a、b、c满足32c，0822amam，0822bmbm。 求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。
14 2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．21. 8．2. 9． y = –125x2 –21x +320. 10．20. 11．( –34,–2). 12．(1) 圆

2C的半径 a)12(； (2)圆kC的半径 (2 –1 )n – 1 a . 三、解答题 13.（本小题满分12分） （1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上， ∴∠ACD = 90，即AC⊥DE. 又∵OC∥AE，O为AD中点， ∴AD = AE. 4分 证2 ∵O为AD中点，OC∥AE， ∴2OC = AE， 又∵AD是圆O的直径， ∴ 2OC = AD， ∴AD = AE. 4分 （2）由条件得ABCO是平行四边形， ∴BC∥AD， 又C为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE，
15 ∴BC = BE = 4， 4分 连接BD，∵点B在圆O上， ∴∠DBE= 90， ∴CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4， ∴ 所求面积为43. 4分 14.（本题满分14分） 解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , ∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 21)1p(2. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 . 当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM = 21|AB||b|取最小值1 . 5分 15 （本小题满分16分） 解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场， 得19yx312zyx，可得：7x2zx319y 4分 依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数， ∴0x07x20x319 解得：27≤x≤319 ，∴ x可取4、5、6 4分 ∴ A队胜、平、负的场数有三种情况：
16 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当x=6时，y=1,z= 5. 4分 （2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） 答略. 4分 16（本小题满分18分） 解：(1)如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2， 设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2); 若C点过y =32x－1；则2=32(m＋3)－1, m = －1与m＞0不合； ∴C点不过y=32x－1； 若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2, ∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分 （2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)， 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点， ∴0420255abcabc ∴baca710 2分 ∴y = ax2－7ax＋10a ( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )
17 ∴y = a(x－72)2－94a； ∴抛物线顶点P(72, －94a) 2分 ∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部, ∴ 32＜－94a ＜ 2,∴－98＜a＜–32.

3分 ② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0； ∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在RtDCF中， ∵DF2＋DC2=CF2； ∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=98, ∴F(2, 98) ∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12; ∴抛物线的解析式为：y= －12x2＋72x－5 3分 抛物线与y轴的交点为Q（0，－5）， 又直线y =32x－1与y轴交点（ 0，－1）； ∴Q在直线y=32x－1下方. 3分 2009年长郡中学高一招生数学试题（B） 参考答案： 一、1、C 2、D 3、A 4、C 5、A 6、C 7、A 8、C
18 二、9、 96 10、 8 11、 x+y=-1 12、黄、红、白．13、30 14、2)(4baab 15、 12499 16、 5 三、17．解： 设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm. 则47520754054020abbabbaa 解得a=60 b=20 ∴至少需要4364152060（h） 18、 解：连结PM，设DP=x，则PC=4－x，∵AM//OP 11211xxSADAMSPAPESSxxPAPEAMPDPDPAPEAMPDEAPEMPEAPMAPMMEP且又即 同理可求xxSMPF54……………………（8分） 因此5462511125412xxxxxxxxS
19 343229)2(622x………………（13分） 当x=2时，上式等号成立.………………………（15分） 师大附中2011年高一自主招生考试 数学试题参考答案 一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B 二、1、2 2、41x 3、甲、乙 4、2 5、7,8,136、23(342)8xx 7、7 8、20 三1、有已知可得CDEADE和均为等腰直角三角形，计算得12BD，在直角三角形BCD中，12tanCDBDBCD。 2、（1）设购买x台甲机器，则34)6(57xx，所以2x。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。 （2）按方案①，所需资金3056（万元），日产量为360606（个）；按方案②，所需资金325571（万元），日产量为4006051001（个）；按方案③，所需资金为344572（万元），日产量为4406041002（个）。所以，选择方案②。 3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy， ① 因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得 21)4(24xy，即yx210． 代入①，得yyyyS102)210(2， 即225)25(22yS． 因为3≤y≤4，而y＝25不在自变量的取值范围内，所以y＝25不是最值点， 当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12． 此时，钢板的最大利用率是80％。 4、连CS。 ∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O， ∴AO=BO,CO=DO. QNMPAFBCDE
20 ∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形. ∵S是OD的中点，∴CS⊥DO. 在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=12BC. 同理BP⊥AC. 在Rt△BPC中，PQ=12BC. 又SP是△OAD的中位线，

∴SP=12AD=12BC. ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ为等边三角形. 5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2. 设C1（,2xx），则得222(22)2xx，解得85x，得C1（816,55） 若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2. 设C2（'',2xx），则得'2'22(2)2xx，解得'45x.得C2（245,555） 又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（245,555） 若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为12，得C4（1,12）. 所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为： （816,55），（245,555），（245,555），C4（1,12） 6、（1）方程有两个实数根，则012m，解方程得 161mx，132mx．由题意，得11,2,3,6,11,3,mm 即.4,2,5,2,1,0mm 故2m． （2）把2m代入两等式，化简得0242aa，0242bb， 当ba时，22ba． 当ba时，a、b是方程0242xx的两根，而△＞0，由韦达定理得， 4ba＞0，2ab＞0，则a＞0、b＞0． ①ba，32c时，由于2222124162)(cabbaba 故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝121ab． ②22ba，32c时，因)22(232，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③22ba，32c时，因)22(2＞32，故能构成三角形． S△ABC＝22123(22)(3)91222 综上，△ABC的面积为1或2129．