直线和圆锥曲线的位置关系

聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。

具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。

纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：

1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。

2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。

3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。

热点透析

题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题

例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分

别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得

(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*)

(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时

Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)

①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.

②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,

故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.

③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.

综上知:当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；

当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；

当k＞时，l与C没有交点.

(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，

则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)

又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即k AB==2

但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

[分析]第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”.

易错点提醒:第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.

技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.

热身训练1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。

（1）求实数k的取值范围。

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

【解】（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程后，整理得

。

①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故

解得k的取值范围为

（2）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点，

则由得：，即

。

整理得。③

把②式及代入③式，化简得。

解得或（舍去）。

∴存在使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

题型2：有关弦长问题

【例2】如图所示，已知椭圆与抛物线有公共焦点，M是它们的一个交点，若，且。（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出l的方程；若不存在，说

明理由。

【解】（1）的焦点，

准线：，∴p=2c。设，

由，得，

由，得，

∵，

∴，∴c=2。∴，代入，解得，

∴椭圆方程为，抛物线方程为。

（2）设直线l的方程为，与联立，得。

。

将l的方程与椭圆方程联立，得：

∴

由。

∴存在直线l，其方程为：

或。

题型3：与中点弦有关的问题

【例3】已知双曲线方程。

（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。

（2）是否存在直线l，使为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

【解】本题涉及弦的中点问题，可以选用差分法解决。

（1）设，则，

则有①

②

①-②得。

∵，∴。

若，由知，则点A、B均不在双曲线上，与题设矛盾，

∴。∴。

∴直线AB的方程为，即x-2y+1=0。

∵双曲线的一条渐近线方程为，而，

∴直线x-2y+1=0与双曲线交于两点，∴x-2y+1=0为所求。