第八章刚体定点运动的动力学

,
zi
)
(
xi
,
yi
,
zi
)
mi mi
yi xi zi xi
mi yi ( xi ) 0 mi zi (xi ) 0
I yx mi yi xi 0, I zx mi zi xi 0,
2）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上 各点的惯量主轴
3）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是 主轴，此坐标系是主轴坐标系。
(11.2.6’)
现对上述结果进行分析：
1）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系 数也可用积分形式代替（11.2.6’）式；
Ixx y2 z2 dm I yy z2 x2 dm Izz x2 y2 dm
I xy I yx xydm
I xz I zx zxdm I yz I zy yzdm
zz
若刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为
r LI
r Lr与r平行
如何寻找惯量主轴呢？
1）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。
分析：某轴(设x轴)要为固定O点的惯量主轴的必要条件.
设刚体以角速度
绕x轴转动,则
i ,根据
Lx I xx x I xy y I xz z
Ly I yxx I yy y I yzz Lz I zx x I zy y I zz z
3沿)利过用椭惯球量面椭角球速可度知矢刚量体对与固惯定量点椭的球角相动交量点LP的点方的向法是线
方向上.(证明见书P303)
例题1: 一匀质薄圆盘能绕其中心O点做定点转动,其质
量面为成m30,半角径的为轴R以,已角知速英度雄模转范动瞬,试时求圆此盘时绕圆壶盘中对心中与心盘的
角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量.
1. 欧勒—潘索情况: 刚体不受外力矩作用的定点运动.
2. 拉格朗日—泊松情况: 即陀螺在重力场中的运动， 要求对固定点O所作的惯量椭球是一旋转椭球, 亦即 3个主转动惯量中有两个相等，Ix=Iy Iz , 重心则位 于动力对称轴上但不与固定点重合. 回转仪.
3. C.B.柯凡律夫斯卡雅情况: 在这一情况下，Ix＝Iy＝ 2Iz, 而重心则在Oxy平面上. 这也是一种对称陀螺.
I zz
0
0
I
zz
使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系 为该点（O点）的主轴坐标系。
Lx I xx
Ly
0
Lz 0
0 I yy 0
0 x
0
y
Izz z
r
r
r
r
L I xxxi I yyy j Izzzk
I
xx
,
I
yy
,
I
为三个主轴的转动惯量(主转动惯量)
n
及: I yz I zy mi yi zi i 1
n
I zx I xz mi zi xi
i 1
n
I xy I yx mi xi yi
i 1
惯 惯量积与转动惯量 量 合在一起统称为惯 积 性系数
则: Lx I xx x I xy y I xzz
Ly I yxx I yy y I yzz Lz I zx x I zy y I zz z
4）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此 轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴 坐标系。
四. 刚体做定点运动时的动能
T
1 2
n i 1
mirr&i 2
1 2
n i 1
r mivi
r vi
1 2
n i 1
r mivi
r
r ri
利用
r C
r A
Br
r A
Br
r C
T
1 2
r
n i 1
二.直接用角动量定理和质心运动定理外理比较 简单的定点运动问题
已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。
例1 一个均质圆盘, 由于安装不善, 涡轮转动轴与盘面法 线成交角. 圆盘质量为m,半径r, 中心O在转轴上, O至两
轴承A与B的距离均为a. 设轴以角速度 转动, 试求轴承
上的压力
解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心O点的主轴坐
mr
2 )
2
sin
cos i
dt dt
2
4
1
mr
2
2
s in 2i
M
8
上式在X，Y方向的投影为：
Ix
d x
dy
Iy
Iz
yz
Mx
Iy
d y
dy
Iz
I x z x
My
Iz
d z
dy
I x I y x y Mz
——欧勒动力学方程
思考为何这里采用动坐 标系,没考虑惯性力?
结合欧拉运动学方程
x sin sin cos
y
sin
cos
sin
z cos
来求解刚体定点运动问题,但这两个方程组求解困难, 到目前为止,只有在下列三种情况才得到解析解.
r
r
r
r
L I xxi I yx j Izxk
则只要I yx Izx 0,
r
r
得L I xxi
所 以 某 轴 要 为 其 轴 上 某一 固 定 点 的 惯 量 主 轴 的 充 要 条 件 是: 包 含 该 轴 的 所 有 惯 量 积都 为0
证明： 若对称轴为X轴，刚体上有
(
xi
,
yi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
Lz x mi zi xi y mi zi yi z mi zi2 yi2
i 1
i 1
i 1
n
I xx
mi yi2 zi2
令: i1
n
I yy
mi zi2 xi2
i 1
n
I zz mi xi2 yi2 i 1
刚体对x轴的轴转动惯量 刚体对y轴的轴转动惯量 刚体对z轴的轴转动惯量
第八章 刚体定点运动的动力学
❖ 本章主要介绍运用质点系的三大定理解决刚 体定点运动动力学问题。
❖主要内容: • 欧拉角 欧拉运动学方程 • 刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量 • 欧拉动力学方程 • 欧拉-潘索情况
§11.1 欧拉角 欧拉运动学方程
一. 欧拉角
固定坐标系: o
固定在刚体上的动
坐标系: oxyz .
本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能 的计算。
P mvc
一. 刚体做定点运动时对定点的角动量的计算
r
L
n
rr ri mivi
n
r [ri
(ri
r ri )
i 1
i 1
n
mi [ri
r ri
r ri
r ri
ri
r ri
]
i 1
n
mi
rri2
r ri
r
r ri
11.2.2
得P点的轨迹是:
Ixx x2 I yy y2 Izzz2 2Ixy xy 2I yz yz 2Izxzx R2Il (
1 Il
)2 Il
1
--------椭球面,反映了转动惯量的分布情况,又称惯量椭球.
几点说明: 1)对刚体不同固定点,有不同的惯量椭球,它属于刚体中 某一点.
2)惯量椭球的3个对称轴是固定点的3 个互相垂直的主轴, 若 I xx I yy ,则惯量椭球是个旋转椭球;如 I xx I yy Izz , 则惯量椭球为圆球.
解: 建立过O点的主轴坐标系,依题意有:
I xx
I yy
1 4
m R2, Izz
1 2
m R2
x cos 30, y 0,z cos60
圆盘对O点的角动量为:
z
L I xx xi I yy y j Izzzk
1
m R2
cos 30
i
1
m R2
cos 60 k
4
2
3
m
R2i
1
m R2k
的l轴方向余弦为( , , )
Il mi i2
mi[ri2 (ri cosi )2]
mi[ri
2
(r
l )2]
mi[xi2 yi2 zi2
(xi yi zi )2]
考虑到 2 2 2 1,则 上 式 化 为
Il I xx 2 I yy 2 Izz 2 2Ixy 2I yz 2Izx
8
4
圆盘的动能为:
T
1 2
(
I
xx
x
2
I yy y2
Izzz2 )
1( 3 2 16
m R2 2
1 8
m R2 2 )
1 5 m R2 2
2 16
与 式T
1 2
I 2相比较可得:
Il
5 16
m R2
也 可 据 式Il I xx 2 I yy 2 Izz 2 2I xy 2I yz 2Izx 得 : Il I xx 2 I yy 2 Izz 2 I xx (cos 30 )2 Izz (cos60 )2
确定z轴的位置: 和 Oxy面 与O面 的 交 线
为ON ,即 节 线.
, ,称为欧拉角,0 , 0 2 ,0 2
L
k0
l
k
(节 线)
: :
章进动动角角,,章进动动角角速速度度为为k;0
;
:自转角,自转角速度为k.
L
k0
k
k0
l
k
(节 线)
进动 章动
,
, z
z
二.欧拉运动学方程
1 m R2 3 1 m R2 1 5 m R2 4 4 2 4 16
§11.3 欧拉动力学方程
一. 欧拉动力学方程
我们采用刚体固定点的主轴坐标系Oxyz,并与刚体固 连,则刚体对定点的角动量为:
r
r
r
r
L Ixxi I yy j Izzk
采用动坐标系，角动量定理为：
dL
dL
L
惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 刚体转动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、 并随着刚体一同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都是常 数．
（11.2.6’）
式用矩
Lx Ly
I xx I yx
阵表示: Lz Izx
I xy I yy I zy
I I
xz yz
标系 Oxyz；为分解约束力再建 Oxyz
对Z轴角动量知，
k
z
Iz
d z
dy
I x I y x y Mz
I3
d z
dy
Mz
0
k
sinj
cos
k
常量
圆盘对O点的角动量为
L I yy y j Izzzk
1
m r2
sinj
Biblioteka Baidu
1
m r2
cosk
4
2
dL
dL
L
0
(
1
mr 2
1
I
zx
I xy I yy Izy
I
xz
I yz
I zz
惯量张量是用来描述刚体 定点转动的惯性的物理量； 而转动惯量是描述刚体定 轴转动的惯性的物理量。
三. 惯量主轴
I xx
I xy
I
xz
I
xx
0
0
I I yx I yy I yz 0 I yy 0
I
zx
Izy
rri
mivri
1 2
r
r L
(11.2.20)
把式
r
r
r
r
L I xxxi I yyy j Izzzk
代入上式
得主轴坐标系上 动能表达式:
T
1 2
( I xxx2
I
yy
2 y
Izzz2 )
T
1
L
2
1 2
L
1 I
2
1 2
I 2
其中I为刚体对瞬时轴的转动惯量.
五. 惯量椭球
研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以 刚体固定点为原点建立坐标系Oxyz坐标系，过O点
i 1
可知
r L
一般与
r
不共线,
只在某些特殊方向上
r L
∥ r
试推导上式分量形式:
rri
r xii
yi
r j
r zi k
r i
r
ii
ri
r j
ri
r k
n
n
n
Lx x mi yi2 zi2 y mi xi yi z mi xi zi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
Ly x mi yi xi y mi zi2 xi2 z mi yi zi
Il l I l
----------------------如已知固定点的惯量张量, 则可得过此点的任何轴的转动惯量.
我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况. 在转动轴上取一长为R的线段OP,令
OP 1 R. Il
则P点的坐标将是 x R, y R , z R
代入式 Il Ixx 2 I yy 2 Izz 2 2Ixy 2I yz 2Izx
M,
dt dt 而 dL
dt
Ix
d x
dt
i
Iy
d y
dt
j
Iz
dz
dt
k
dL
dL
L
M,
(11.3.2)
dt dt 而 dL
dt
Ix
d x
dt
i
Iy
d y
dt
j
Iz
dz
dt
k
L
(I y
Iz
)yzi
(Iz
Ix
)zx
j
(Ix
I
y
) x yk ,
所以（11.3.2)式的投影方程为:
x y
Izz z
r L
rr I
r
线性变换关系称为仿射变换
张量I也可写成 I i i I xx i jI xy i kI xz ji I yx jjI yy jkI yz
并矢形式：
ki Izx kjIzy kkIzz
二. 惯量张量
I xx
I I yx
Oxy面与zO面的交线为OM .
k0
cosk sinl
cosk sin sini
sin cosj
cosi sinj
动系中:
x
i
y
j
z
k
k0
k
L
k0
l
k
(节 线)
x sin sin cos
y
sin
cos
sin
z cos
------欧拉运动学方程
§11.2刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量