常系数线性方程的解法

§4.2 常系数线性方程的解法

讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解

如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复数()()()z t t i t ϕψ=+与它对应，其中()t ϕ和

()t ψ是区间a t b ≤≤上定义的实函数，i 是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了

一个复值函数()z t 。如果实函数()t ϕ，()t ψ当t 趋于0t 时有极限，

我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t i t ϕψ→→→=+

如果0

0lim ()()t t z t z t →=，我们就称()z t 在0t 连续。显然，()z t 在0t 连续相当于()t ϕ、()t ψ在

0t 连续。当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续。如

果极限0

00

()()

lim

t t z t z t t t →--存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）。且记此极限为0()dz t dt 或者

0()z t '。显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ、()t ψ在0t 处有导数，且

000()()()

dz t d t d t i dt dt dt

ϕψ=+ 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。

设12(),()z t z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数，

容易验证下列等式成立： []1212()()()()dz t dz t d

z t z t dt dt dt

+=+ []11()()dz t d

cz t c dt dt

= []121221()()()()()()dz t dz t d

z t z t z t z t dt dt dt

⋅=⋅+⋅ 在讨论常系数线性方程时，函数Kt

e 将起着重要的作用，这里K 是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。

设K i αβ=+是任一复数，这里,αβ是实数，而t 为实变量，我们定义

()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+

有上述定义立即推得

1cos ()2i t i t t e e βββ-=

+ 1

sin ()2i t i t t e e i

βββ-=- 并且用K

i αβ=-表示复数K i αβ=+的共轭复数。

此外，还可容易证明函数Kt

e 具有下面的重要性质：

1212()K K t K t K t e e e +=⋅

Kt

Kt de Ke dt

=，其中t 为实变量 ()n n Kt n Kt

d dt

e K e = 由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似，而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质。

现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间a t b ≤≤上的实变量复值函数

()x z t =称为方程（4.1）的复值解，如果

1111

()()

()

()()

()()()n n n n n n z t z t z t a t a t a t z t f t d d d dt dt dt

---++++≡ 对于a t b ≤≤恒成立。

定理8 如果方程（4.2）中所有系数()(1,2,

,)i a t i n =都是实值函数，而

()()()x z t t i t ϕψ==+是方程的复值解，则()z t 的实部()t ϕ、虚部()t ψ和共轭复值函数

()z t 也都是方程（4.2）的解。

定理9 若方程1111()()

()()()n n n n n n x x

x

a t a t a t x u t iv t d d d dt dt

dt

---++++=+有复值解()()x U t iV t =+，这里()(1,2,

,)i a t i n =及()u t ，()v t 都是实函数，那么这个解的实部

()U t 和虚部()V t 分别是方程

1111()()

()()n n n n n n x x

x

a t a t a t x u t d d d dt dt

dt

---++++= 和

1111

()()

()()n n

n n n n x x

x

a t a t a t x v t d d d dt dt dt ---++++= 的解。 4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程

为了书写上的方便引入下述符号：

()(1)11[]()()()n n n n L y y p x y p x y p x y --'=++++

并把L 称为线性微分算子.把算子作用于函数y 上时，就是指对y 施加上式右端的微分运算.

关于算子有以下两个性质：

1)常数因子可以提到算子符号外面：][][y kL ky L = 证明：实际上()(1)11[][]()[]()[]()[]n n n n L ky ky p x ky p x ky p x ky --'=++

++

=y x kp y x kp y x kp ky n n n n )()()('111++++-- =])()()(['111y x p y x p y x p y k n n n n ++++-- =][y kL

2)算子作用于两个函数和的结果等于算子分别作用于各个函数的结果之和：

][][][2121y L y L y y L +=+

证明：

])[(])[(])[(][][21'21112112121y y x p y y x p y y x p y y y y L n n n n ++++++++=+--

=1'

111

1

11)()()(y x p y x p y x p y n n n n

++++-- + 2'

211

2

12)()()(y x p y x p y x p y n n n n ++++--

=][][21y L y L +

设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状

[]11

110n n n n n n x x x

L x a a a x d d d dt dt

dt

---≡++

++=

（4.19） 其中12,,

,n a a a 为常数,称（4.19）为n 阶常系数齐线性方程。它的求解问题可以归结为代

数方程求根问题，现在就来具体讨论方程（4.19）的解法。按照§4.1的一般理论，为了求方程（4.19）的通解，只需求出它的基本解组。下面介绍求（4.19）的基本解组的欧拉（Euler ）待定指数函数法。

回顾一阶常系数齐线性方程

0dx

ax dt

+= 我们知道它有形如at

x e

-=的解，且它的通解就是at

x ce

-=。这启示我们对于方程（4.19）