3.3 时延分析

k m (m ) m 1 ( m ) p 0 1 k 1 k! m!(1 )
解答：
1
1 2 3 (3 1 / 3) (3 1 / 3) (3 1 / 3) 1 1! 2! 3!(1 1 / 3)
Erlang B公式 —呼损率(Blocking Probability)
M/M/m/m 排队系统：举例
• 某电话公司在两个城市之间开通了长途直拨电话， 并期望电话呼叫服从到达速率为0.5次呼叫/分钟的 泊松过程 • 电话持续时间相互独立，并服从均值为2分钟的指 数分布 • 电话呼叫的到达时间与电话的持续时间相互独立 • 要保证呼损率不大于0.1，则电话公司至少需要架 设几条直通电话线？
NQ
M/M/m排队系统——等待制系统
• 用户在系统中停留的平均时间
PQ T W m m mm l
• 在系统中的平均用户数目
1
1
l lPQ PQ N lT m m mm l 1
例：
• 某公司以每2分钟的泊松速率收到一个电话订单, 电话持续时间服从均值为2分钟的指数分布.用户 拨打电话，遇到忙音的时候，会耐心地等到有空 闲的接线员来接听他的电话.工作日有2个电话接 线员，周末则有3个. • 用户下订单的平均等候时间是多少分钟?
http://en.wikipedia.org/wiki/Agner_Krarup_Erlang
1. In 1909 - "The Theory of Probabilities and Telephone Conversations" - which proves that the Poisson distribution applies to random telephone traffic. 2. In 1917 - "Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges" - which contains his classic formulae for loss and waiting time.
• m: m个服务器
– 新到顾客发现系统里有n个顾客Fra Baidu bibliotek– n < m: 找一个空闲服务器开始接受服务 – n ≥m:所有服务器都不空闲，进入缓存等待
• 无限等待空间、无限顾客数目
M/M/m系统状态转移图
• 顾客数nm时，用户离开速率为mµ • 顾客数n<m时，用户离开速率为nµ
l
0 1
l
2 2m
p0(m ) m 1 / 3(2 0.5) 2 PQ pn 1/ 3 m!(1 ) 2!(1 0.5) nm

PQ 0.5 1 1 NQ 1 1 0.5 3 3
1 2 W / 0. 5 l 3 3
NQ
• 周末(m=3)的用户平均等候时间： l 0.5 1/ 3 mm 3 0.5
• 答：
• • • • m1=10,η<5%,查表得： ρ1 =0.622， η1=0.591， m2=20,η<5%,查表得： ρ2 =0.762， η2=0.729，
由
l ，求l mm，得 mm
0.622 10 l1 1m1m 2.07 3 0.762 20 l2 2 m 2 m 5.08 3
M/M/m排队系统
M/M/m排队系统 M/M/m/m排队系统 M/M/∞排队系统 排队网络
什么时候会用到该模型？
• • • • 中继线数选择 多服务器系统 多CPU系统 多路径传送
M/M/m 排队系统
1
到达速率l
无限缓存
m
服务速率m
• M: 参数为λ的Poisson到达过程 • M: 参数为μ的指数分布
• 解方程组：
p
n 0


n
1
• 得：
1 k m (m ) m 1 ( m ) p 0 1 k 1 k! m!(1 )
(m )n p0 n! pn m n m p 0 m!
n m n m

1
4 / 11
p0(m ) m 4 / 11 (3 1 / 3) 2 PQ pn 1 / 11 m!(1 ) 3!(1 1 / 3) nm

PQ 1/ 3 NQ 1 / 11 1 / 22 1 1 1/ 3
M/M/m排队系统
• 到达速率与系统最大服务速率之比
l mm
M/M/m排队系统——等待制系统
• 用户到达系统必须等待的概率
m p0(m ) PQ pn p0 m!(1 ) n m n m m !
m n m
• 这就是等待制系统中需等待的概率，该公式称 为Erlang C公式。
m
m 1: 左边 1 1 2 10
m 2 : 左边 （ 2 1 1 1/2） 5 10
m 3: 左边 6(1 1 1/ 2 1/ 6) 16 10
• 答案：3条
• 服务员的繁忙程度
M/M/m/m 排队系统 1 B l

• • • • •
解答： 到达过程：λ=0.5 服务过程：μ=0.5 服务器数目：假定为m(m>1) 系统空间
• M/M/m/m排队系统 • 呼损率Pm<=0.1
l 1 m m! pm n 0.1 m l 1 n 0 n! m
m
1 m ! n 0 10 n!
• 系统要求呼损率越小，服务员繁忙程度降低，系统的总负荷越小。 • 纠结中… Why？
核心：
m
l 1 m m! pm n m l 1 n 0 m n!
M/M/∞:无限多服务器
• 无限多服务器 – 不用排队
l
l
l
l
0
m
1
2m
2
nm
n
(n 1) m
解答：
• • • • 到达速率λ=0.5用户/分钟 服务速率μ=0.5用户/分钟 服务器数目：工作日m=2，周末m=3 这是M/M/m排队系统
解答：
• 工作日(m=2)的用户平均等候时间： l 0.5 0.5 mm 2 0.5
1 1 k m 1 2 (m ) (2 0.5) (2 0.5) m 1 ( m ) p 0 1 k 1 1 1/ 3 k! m!(1 ) 1! 2!(1 0.5)
W
NQ
l
1 / 22 / 0.5 1 / 11 0.091
• • • • •
答: 在工作日要等 2/3=0.67分钟 在休息日要等1/11=0.091分钟 总的平均等待时间=(2/3*5+1/11*2)/7 =0.0736分钟
M/M/m排队系统的推广
• 限定系统容量为m，M/M/m/m • 限定服务器数m∞，M/M/∞
M/M/m排队系统——等待制系统
• 在队列中的平均用户数
NQ npm n
n 0

m n( p 0 m! n 0 PQ 1
m
mn
)
M/M/m排队系统——等待制系统
• 用户平均排队等候的时间(Little定理)
PQ W l l (1 )
n+1
M/M/∞:无限多服务器
l
l
l
l
0
m
1
2m
2
nm
n
(n 1) m
n+1
(nm ) pn l pn1
l pn pn 1 nm
(l / m ) n p0 n!
(l / m ) p0 1 n! n 0
n
1 p0 e n (l / m ) n! n 0
• 详细的平衡方程
1 n m:
l mm
n m:
l pn pn 1 nm 1 l n ( ) p0 n! m
(m ) n p0 n!
l pn pn 1 mm
m p0 m!
m n
(m ) n 1 n m : pn p0 n! mm n n m : pn p0 m!
1 l n ( ) p0 1 n 0 n ! m
m
n 0
m
n
1
,m
l 1 pn p 0 , n 1, 2, m n!
n m时 :
n
1 p0 m 1 l n ( ) n 0 n ! m
l 1 m m! pm n m l 1 n 0 n! m
l
0 1
l
2
2m
l
m
cm m
(nm ) pn l pn1 n 1,..., m
m
l p1 p0 m
......
l p1 p0 m
......
l pm pm 1 mm
lm pm p0 m m!m
1 l n pn ( ) p0 , n 1,..., m n! m
p
M/M/m/m排队系统 ——呼损制系统
• 单队列 • 用户以速率为l的泊松过程到达
• 服务时间服从均值为1/m的指数分布
m 个服务器 m 个缓存空间(没有等待空间) 新到顾客发现所有服务器忙,则离开
M/M/m/m系统的状态转移图
l
0 1
l
2
l
m
m
2m
cm m
M/M/m/m系统的局部平衡方程式:

l m
p
n 0

n
1
(l / m ) n l / m pn e , n 0,1,... n!
M/M/∞:无限多服务器
• 平稳分布:
• 平均顾客数
(l / m ) l / m pn e , n 0,1,... n!
n
(l / m ) l / m l N npn n e n! m n 0 n 0
m
M/M/m/m 排队系统
• 系统中有m个用户的概率
l 1 m m! pm n m l 1 n 0 n! m
m
在呼损制系统中，新到用户 发现系统所有线路都忙的概 率,即到达用户被拒绝服务 的概率。 Pm只与λ/μ的比值有关，与λ、 μ本身的值无关
• 相同的呼损率条件下，服务员越多，服务员越忙（其实是越能 忙），系统的总负荷越大。
• 答：
• • • • m1=10,η<1%,查表得： ρ1 =0.446， η1=0.442， m2=10,η<5%,查表得： ρ2 =0.622， η2=0.591，
由
l ，求l mm，得 mm
0.446 10 l1 1m1m 1.48 3 0.622 10 l2 2 m 2 m 2.07 3
m
m
1 B
M/M/m/m 排队系统
例： 假定M/M/m/m排队系统中,每次呼叫的平 均时间为3分钟 服务员数目为m1=10,m2=20,要求系统呼损 率小于5%，系统的效率如何？ 服务员数目为m1=10，要求系统的呼损率 小于1%和5%时，求：系统支持的最大呼 叫到达率和服务员的繁忙程度
l
m mm
l
m+1 mm
1 l
m
1 l m
1 l 2m
1 l -m m
• 稳态平衡方程： l p nm p 1 n m n 1 n nm l pn 1 mm pn
1 n m l pn 1 nm pn nm l pn 1 mm pn
n
• 平均时延：
T
N
l

1
m
物理意义？
网络的时延分析
总结
• • • •
分组时延的组成部分 排队系统的基本模型、 Kendall表示方式 Little定理及其应用 M/M/1排队系统
– 分析过程、状态转移图、基本结论