(参考资料)系统的线性与时不变性的判定
数字信号处理试卷和答案
数字信号处理试卷和答案一判断1.模拟信号也可以像数字信号一样在计算机上处理，只要添加采样过程。
（w）2、已知某离散时间系统为，则该系统为线性时不变系统。
(w)3、一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（dtft），也就能对其做变换。
（w）4.采用双线性变换方法设计数字滤波器时，预失真不能消除变换中所有频点的非线性失真。
（√）5、时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是一个周期序列（√）二填空题（每题3分，共5题）1在对模拟信号（一维信号，它是时间的函数）进行采样后，在振幅量化后，它是___________________。
2.为了在采样后恢复原始信号而不失真，采样频率必须为_u，这是奈奎斯特采样定理。
3.系统稳定的充要条件。
4、快速傅里叶变换（fft）算法基本可分为两大类，分别是：_____；_____。
5、线性移不变系统的性质有______、______和分配律。
1.离散数字2大于信号3最大频率的2倍。
系统的单位冲激响应绝对可加4。
时间提取法和频率提取法5。
汇率与三大法律问题相结合1、对一个带限为f?3khz的连续时间信号采样构成一离散信号，为了保证从此离散信号中能恢复出原信号，每秒钟理论上的最小采样数为多少？如将此离散信号恢复为原信号，则所用的增益为1，延迟为0的理想低通滤波器的截止频率该为多少？答：根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于信号最大频率FS的两倍？2.3khz？在6 kHz时，每秒的理论最小样本数为6000。
如果离散信号恢复为原始信号，为了避免混淆，理想低通滤波器的截止频率为采样频率的一半，即？s3khz2.2。
有限频带信号f（T）？5.2个cos（2？f1t）？Cos（4？F1t），F1在哪里？1khz，有FS吗？5KHz脉冲函数序列？T（T）表示取样。
（1）画出f(t)及采样信号fs(t)在频率区间(?10khz,10khz)的频谱图。
（2）若由fs(t)恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率fc。
信号与系统-第二章线性时不变系统
y(t) x( )h (t)d
若系统是时不变的，即：若 (t) ，h则(t有) :
(t ) 于h(t是系) 统对任意输入 的响x应(t可) 表示为：
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h来(t)
表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分
解：
k
k
（3）乘积：f1(k) f2(n –k) n-1 n
（4）求和：k 从–∞到∞
对乘积项求和
f n f1 n f2 n f1(k) f2 (n k)
f1(k) f2(n k) n 1
k
f1(k) f2(n k) n0
k
k
0,
n 2
k
f1 (k )
f2 (1 k)
1,
因此，只要得到了LTI系统对 (n的) 响应 h(n)
单位脉冲响应( impulse response )，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 x(n的) 响应：
y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲
响应来表征。
7
三. 卷积和的计算：解析法、图解法、列表法 (1)解析法
对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信
号的响应的线性组合。
1
问题的实质： 1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。
信号与系统 线性时不变系统及其特性
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )
C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
e(t ) e(t t0 ) r21 (t ) e(t t0 ) cos t
经过系统 时移 t0
时移 t0
经过系统
t 0 t 0
e(t ) e(t ) cos t r22 (t ) e(t t0 ) cos(t t0 )
r21 (t ) r22 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
详细内容在第五章讨论。
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统： 当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即 因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t ) e(t )u (t )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
奥本海姆信号与系统(第二版)复习题参考答案
第一章作业解答1.9解：（b ）jt t t j e e e t x --+-==)1(2)(由于)()(2)1()1())(1(2t x e e e T t x T j t j T t j ≠==++-+-++-，故不是周期信号；（或者：由于该函数的包络随t 增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c ）n j e n x π73][= 则πω70= 7220=ωπ是有理数，故其周期为N=2； 1.12解：]4[1][1)1(]1[1][43--=--==+---=∑∑∞=∞=n u m n mk k n n x m k δδ-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n1…减去：-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 nu[n-4]等于：-3 –2 –1 0 1 23 4 5 6 n…故：]3[+-n u 即：M=-1，n 0=-3。
1.14解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：而：g(t)如图(c)所示……dtt dx )(如图（d ）所示：……故：)1(3)(3)(--=t g t g dtt dx 则：1t ,0t 3,32121==-==；A A 1.15解：该系统如下图所示： 2[n]（1）]4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{]3[21]2[][][1111111222-+-+-=-+-+-+-=-+-==n x n x n x n x n x n x n x n x n x n y n y即：]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。
（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。
1.17解：（a ）因果性：)(sin )(t x t y =举一反例：当)0()y(,0int s x t =-=-=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；（b ）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。
线性时不变系统
线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ
线性定常系统的名词解释
线性定常系统的名词解释简介：线性定常系统是控制理论中的一个重要概念，用于描述一类具有线性特性且不随时间变化的动态系统。
本文将对线性定常系统的相关名词进行解释，包括系统、线性特性、时间不变性以及动态系统。
系统：系统是指由若干组件或元素组成的整体，这些组件相互作用并协同工作，以完成特定功能或实现特定目标。
在线性定常系统中，系统由一组线性方程表示。
这些线性方程可以用来描述系统的输入与输出之间的关系。
线性特性：线性特性是指系统在输入信号和输出信号之间存在线性关系。
简而言之，线性特性意味着系统的响应是输入信号的线性组合。
这一特性使得我们可以通过简单的数学计算来描述和预测系统的行为。
时间不变性：时间不变性是指系统的行为不随时间的变化而改变。
换句话说，系统对于不同的时间点具有相同的响应特性。
这意味着系统的动态行为在不同的时间段内保持不变，使得我们可以建立稳定的控制方法和算法。
动态系统：动态系统是指随着时间变化而产生响应的系统。
在线性定常系统中，系统的动态行为可以通过线性微分方程描述。
动态系统的研究可以帮助我们理解系统在不同初始条件下的响应及其稳定性。
线性定常系统的数学模型通常可以表示为差分方程或微分方程形式。
例如，差分方程形式的线性定常系统可以表示为：y[n] = a0*x[n] + a1*x[n-1] + ... + an*x[n-n]其中，y[n]表示系统的输出信号，x[n]表示系统的输入信号，a0, a1, ..., an表示系统的参数。
这个公式描述了系统对当前输入及过去n个时刻输入的响应。
线性定常系统在控制系统设计、信号处理等领域有着广泛的应用。
通过对系统的线性特性、时间不变性和动态行为进行深入了解，我们可以更好地理解系统的工作原理，并设计出更稳定和有效的控制方法。
总结：本文对线性定常系统的常见名词进行了解释，包括系统、线性特性、时间不变性以及动态系统。
线性定常系统是具有线性特性、时间不变性和动态行为的动态系统，可以通过线性微分方程或差分方程进行建模。
第一章 09线性时不变系统
线性时不变系统主要内容线性系统12时不变系统线性时不变系统3满足叠加、比例(齐次、均匀)性(1) 分解性线性系统的三个条件：系统响应可分解为：零输入响应+零状态响应y (t )=y zi (t )+y zs (t )(2)零输入线性(3)零状态线性线性系统的定义：y zi (t )是零输入响应，y zs (t )是零状态响应1、线性系统(2)零输入线性叠加性与比例性。
输入为零时，由各初始状态{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}引起的响应满足则nk =1∑a k x k (0) 若x k (0) →y zik (t )(k =1~n )n ∑→a k y zik (t )k =1零输入响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(3) 零状态线性初始状态为零时，由各激励f 1(t )、f 2(t )、⋅⋅⋅、f m (t ) 引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性）。
若f k (t ) →y zsk (t )则m∑b k f k (t ) →k =1m ∑b k y zsk (t ) k =1零状态响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(k =1~m )y (t )=2+4f (t )例讨论具有如下输入、输出关系的系统是否线性。
解f 2 (t ) →y 2(t )= 2+4f 2(t )f 1 (t ) +f 2(t ) →不满足零输入线性，是非线性系统。
2+4[f 1 (t )+ f 2(t )]≠y 1 (t )+ y 2(t )=4+4[f 1 (t )+ f 2(t )]f 1 (t ) →y 1(t )= 2+4f 1(t)y (t )=2+4f (t )=y zi (t )+y zs (t )在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。
系统参数不随时间变化的系统，也称非时变系统、常参系{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}{x 1(t 0)= x 1(0),x 2(t 0)=x 2(0), ⋅⋅⋅,}f (t −t 0)→y (t −t 0)f (t )→y (t )时不变系统定义统，定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。
信号与系统列写四种常用的系统分类方式
一、根据系统的线性特性分类在信号与系统的研究中，线性系统是一个重要的概念。
线性系统具有加性和齐次性质，即当输入信号发生变化时，输出信号也按比例变化。
根据系统的线性特性可以将系统分为以下四种常用的分类方式：1.1、时不变系统：时不变系统是指系统的参数在时间上不随时间变化，即系统的输出只取决于输入的当前值，而与输入的时间点无关。
时不变系统具有很好的稳定性和预测性，能够准确地描述系统的响应特性。
1.2、线性时不变系统：线性时不变系统是指系统同时具有线性和时不变的特性。
线性时不变系统具有简单的数学描述和分析方法，是信号与系统理论中的重要研究对象。
1.3、因果系统：因果系统是指系统的输出只取决于过去和当前的输入值，而与未来的输入值无关。
因果系统具有因果传递性和因果去极限性，能够较好地模拟真实世界的物理过程。
1.4、稳定系统：稳定系统是指系统的输出在有限时间内始终保持在有界范围内，不会发散或趋向无穷大。
稳定系统具有很好的可控性和可观测性，是工程实际中常用的系统类型。
二、根据系统的频率特性分类除了根据系统的线性特性分类外，还可以根据系统的频率特性进行分类，常见的分类方式包括：2.1、时变系统：时变系统是指系统的参数随时间或输入信号的频率变化而变化。
时变系统具有较复杂的动态特性和数学描述，需要使用高级的数学工具进行分析和求解。
2.2、全通系统：全通系统是指系统对所有频率的信号都具有相同的增益和相位延迟，不对信号的频率进行衰减或增强。
全通系统能够保持输入信号的各个频率成分的相对比例，具有较好的频率响应特性。
2.3、低通系统：低通系统是指系统只允许低于一定频率的信号通过，而高于该频率的信号则被衰减或阻塞。
低通系统广泛应用于滤波器和调制解调器中，用于去除高频噪声和保留低频信号。
2.4、高通系统：高通系统是指系统只允许高于一定频率的信号通过，而低于该频率的信号则被衰减或阻塞。
高通系统在通信系统和音频处理中具有重要应用，用于去除低频噪声和保留高频信号。
信号与系统参考答案(第二版)电子工程出版 徐亚宁 苏启常
第一章1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。
其中()0X -为系统的初始状态。
（2）()()2f t y t e= （5）()()cos 2y t f t t = （8）()()2y t f t =解：（2）()()2f t y t e =① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,f t f t y t ey t e==那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t eee +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以系统是非线性的。
② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,f t t f ty t e y t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以系统是时不变的。
③ 因果性因为对任意时刻 1t ，()()121f ty t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
（5）()()cos 2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos 2,cos 2y t f t t y t f t t ==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。
② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos 2,cos 2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos 2y t f t t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。
§1.6线性时不变系统
§1.6线性时不变系统•线性系统与非线性系统•时变系统与时不变系统•因果系统与非因果系统•稳定系统与不稳定系统通信与信息工程学院江帆一、系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
电子系统是电子元器件的集合体。
电路侧重于局部，系统侧重于全部。
电路、系统两词通用。
二、系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。
下面讨论几种常用的分类法。
1. 连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。
若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。
2. 动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。
含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。
否则称即时系统或无记忆系统。
3. 线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为线性系统。
（1）线性性质系统的激励f (·)所引起的响应y(·) 可简记为y(·)= T[ f (·)]系统f (·)y (·)线性性质包括两方面：齐次性和可加性。
若系统的激励f (·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即T[a f(·)] = a T[ f (·)]则称该系统是齐次的。
若系统对于激励f1(·)与f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T[f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 则称该系统是可加的。
若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[a f 1(·) + b f 2(·)] = a T[ f 1(·)] + bT[ f 2(·)]()()t e t e 2211αα+H()()t r t r 2211αα+)()()()(22112211t t t t r r e e αααα+→+H()t e 2()t r 2H)(1t e ()t r 1（2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励{ f(·) }有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。
(参考资料)系统的线性与时不变性的判定
e(t)
T[]
r(t)=T[e(t)]
同学们千万不要小看了我们引入的这个符号：r(t)＝T[e(t)]，下面将会看到，它会对我们判断系 统的线性尤其是时不变性带来非常大的方便，避免错误的发生。
2. 实例
例 1：对于某一连续时间系统，r(t)=ae(t)，其中 e(t)为激励，r(t)为响应，a 为有界常数（a0）。试判
而
可见
r(t－t0) = ae (t-t0)
T[e(t－t0)]＝r(t－t0)
系统为时不变的。
例 2：某一系统的激励为 e(t)，响应为 r(t)，r(t)=e(1t)，判断该系统是否为线性的、时不变的。 解 设 r(t)=T[e(t)]= e(1t)，由此知道，系统对激励 e(t)的运算为：先将激励反褶，再将反褶的信号 往左移动 1 个单位。
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= k1 e1(1t)＋k2 e2(1t) 而
可见
k1r1(t)+ k2r2(t)= k1 e1(1t)＋k2 e2(1t)
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= k1r1(t)+ k2r2(t)
系统为线性的。
2) 判断系统是否为时不变的
将 e(t－t0)作为激励加入系统（t00），系统的响应为 T[e(t－t0)]，则 T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)
1）判断系统是否为线性的
设激励为 e1(t)、e2(t)时，系统的响应分别为 r1(t)和 r2(t)，则：r1(t)= T[e1(t)]= e1(1t)，r2(t)= T[e2(t)]= e2(1t)。现将 k1e1(t)+ k2e2(t)作为激励加入系统（k1、k2 为任意不为 0 的常数），系统的响应为 T[k1e1(t)+ k2e2(t)]，则
浅谈线性时不变系统的判断
数 码 设 计 PEAK DATA SCIENCE基金项目：贵阳学院科研项目；信号与信息处理（编号：GYU-KYZ[2018]05-05）；贵州省科技厅联合基金项目（黔科合J 字LKG[2013]36号）作者简介：张涛（1976-），男，教授，研究方向为信号与信息处理，通信技术，E-mail ：2209282216@·39·工程科技研究DOI ：10.19551/ki.issn1672-9129.2019.04.014浅谈线性时不变系统的判断张涛（贵阳学院 电子与通信工程学院，贵州贵阳，550005）摘要：对线性时不变系统的认识和掌握是学好《信号与系统》这门核心专业的基础和关键。
本文探讨如何判断一个系统是否为线性时不变系统。
关键词：线性；时不变；系统；判断中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1672-9129(2019)04-0039-02On the Judgment of Linear Time-invariant SystemZhang Tao（School of Electronic & Communication Engineering of Guiyang University, Guiyang 550005）Anstract: Understanding and mastering linear time-invariant systems is the foundation and key to learn the core specialty of Signal and Systems. This paper discusses how to judge whether a system is a linear time-invariant system.Key words: linear; time-invariant; system; judgment引言：线性系统是指具有线性特性的系统。
信号与系统课件 郑君里版 §1.7 线性时不变系统
退出
例2
判断下列两个系统是否为非时变系统 系统2：r t et cos t 系统1： r t cos et
t 0 t 0
解：1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
t0 (1)e( t ) 时移 e( t t 0 ) 经过系统 r11( t ) cos e( t t0 )
退出
证明均匀性
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
dAr ( t ) 10 Ar ( t ) 5 Ae( t ), dt t 0 (1)
原方程两端乘A：
dr ( t ) A 10r ( t ) 5 Ae( t ), dt t 0 ( 2)
t0
r 0 e0 e 2
未来的激励
该系统为非因果系统
退出
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
但非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度 …为
变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
4.因果信号
t=0接入系统的信号称为因果信号
经过系统
时移t 0
r21(t ) r22 (t )
此系统为时变系统。
退出
例3 yt t f t 判断系统是否为线性非时变系统
是否为线性系统？ 解：
f 1 t
C1
C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
t f 1 t
e( t )r ( t ), e( t t 0 ) r ( t t 0 )
线性时不变系统
f1 (t )
C 11 C
C1 f1 (t )
f 2 (t )
C 22 C
H [[•]] H•
C2 f 2 (t )
∑
C1 H [ f1 (t )]
H [•]
H [C1 f1 (t ) + C2 f 2 (t )]
H [•]
H [ f (t ) ]
y (t )
f (t − τ )
τ
H[•]
y (t − τ )
H [ f (t − τ ) ]
f (t )
若
τ
H[ f (t −τ)] = y(t −τ)
是非时变系统，否则是时变系统。 则 系统 H • 是非时变系统，否则是时变系统。
[]
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性 线性时不变系统满足微分特性、积分特性 微分特性
e(t )
de(t ) dt
r (t )
H
dr (t ) dt
H
∫
t
−∞
e(τ )dτ
∫
H
t
−∞
r (τ )dτ
三．线性时不变系统的微分特性
利用线性和时不变性证明，可推广至高阶。 利用线性和时不变性证明，可推广至高阶。 首先由时不变性可知， 首先由时不变性可知，激励 e(t ) 对应输出 r (t ) ，则激励 e(t − ∆t ) 再由叠加性与均匀性，时不变性可知， 产生 r (t − ∆t ) 。再由叠加性与均匀性，时不变性可知， 若激励为 e(t ) − e(t − ∆t ) 则响应为 r (t ) − r (t − ∆t )
§1-6 线性时不变系统的基本特性
y (t ) ak yk (t ) 0 yk (t ) 0
k 1 k 1
而
y(t ) ax(t ) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性
x(t )
x(t ) ak xk (t )
k 1 N
y (t ) ak yk (t )
k 1
N
再例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) ax(t ) b
y1 (t ) ax1 (t ) b x(t ) x1 (t ) x2 (t ) y(t ) a[ x1 (t ) x2 (t )] b y1 (t ) y2 (t ) y2 (t ) ax2 (t ) b
所以系统是时不变的。
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) x(2t ) 即如图所示：
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
x(t )
1 1
y(t )
1
t
1 2
1
t
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
y(t ) ayi (t )
称系统满足齐次性。同时满足叠加性与齐次性的系统称为 线性系统。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： x(t ) y(t ) tx(t )
y1 (t ) tx1 (t ) y2 (t ) tx2 (t )
系统
y(t ) tx(t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
判断系统线性-时变-因果方法
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮 度…为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
若 则系统 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
4.因果信号
t=0接入系统的信号称为因果信号 表示为：
例1-7-1
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。
请看下面证明过程
证明均匀性
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
§1.7 线性时不变系统
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义
线性系统：指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
叠加性：
线性特性
2
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
若 则系统
是非时变系统,否则是时变系统.
8-5 线性性和时不变性
o
t
−t
uC (t) = (1− e RC )ε (t)
(t − t0 )
－
uc
C
－
u（C t0-）=0
uc
1
o t0
t
− t −t0
uC (t − t0 ) = (1− e RC )ε (t − t0 )
输入激励
线性
零状态响应
时不变 动态电路
若： x (t) 则：x (t-t0)
y (t) y (t-t0)
−t
单位阶跃响应：s(t) = (1 − e RC )ε (t)
uc (t) = s(t) + 2s(t −1) − 3s(t − 3)
−t
− t −1
− t −3
= (1− e RC )ε (t)+2(1− e RC )ε (t −1) − 3(1− e RC )ε (t − 3)
(2) us (t) = (t)
1. 线性特性
齐次性和可加性
RC电路
RC
duC dt
+ uC
= US
uC (0－)=U0
( ) −t
uC t = US + (U0 − US )e RC
t 0
t =0 i
+ +
US
－
uC
C
－
R
uC (0－)=U0
( ) −t
−t
uC t = U0e RC + US (1− e RC ) t 0
(t) = d(t)
8
dt
uc (t)
=
h(t )
=
ds(t ) dt
=
1 RC
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e(t)
T[]
r(t)=T[e(t)]
同学们千万不要小看了我们引入的这个符号：r(t)＝T[e(t)]，下面将会看到，它会对我们判断系 统的线性尤其是时不变性带来非常大的方便，避免错误的发生。
2. 实例
例 1：对于某一连续时间系统，r(t)=ae(t)，其中 e(t)为激励，r(t)为响应，a 为有界常数（a0）。试判
系统的线性与时不变性的判定
倪育德
（中国民航大学 电子信息工程学院，天津 300300）
1 系统的功能
系统的功能就是对信号进行处理，也就是对信号进行某种或某些运算。 设某一系统的激励为 e(t)，响应为 r(t)，则系统的功能就是对激励 e(t)进行运算，从而给出响应 r(t)，我们将这种运算用 T[e(t)]表示，即 r(t)＝T[e(t)]，用示意图表示如下。
而
可见
r(t－t0) = e[1－(t－t0)]= e(－t+1+t0)
2
T[e(t－t0)] r(t－t0)
系统为时变的。
注： 有不少同学不能理解 T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)这一步，往往认为激励 e(t t0)时的响应为 e(1t+t0)，从而得出“系统为时不变”的错误结论。如果我们认为“系统就是对激励进行运算”，则 就很好理解 T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)：对于激励 e(t－t0)，e(t－t0)的反褶信号为 e(－t－t0)，再往左移 动 1 个单位，则得信号 e(－t+1－t0)，这就是系统的响应。
从上述两例也可以看出，系统的线性与时不变性没有任何必然的联系。线性系统既可以是时 不变的，也可以是时变的。因为“信号与系统”课程研究的对象是“线性时不变（LTI）”系统，致 使有些学生认为线性系统一定是时不变系统。
3
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= ak1e1(t)+ k2e2(t) 而
可见
k1r1(t)+ k2r2(t)= k1ae1(t)+ k2 ae2(t)
T[k1e1(t)+ k2e2(t)] k1r1(t)+ k2r2(t)
1
系统为非线性的。
2) 判断系统是否为时不变的
将 e(t－t0)作为激励加入系统（t00），系统的响应为 T[e(t－t0)]，则 T[e(t－t0)]＝ae (t-t0)
1）判断系统是否为线性的
设激励为 e1(t)、e2(t)时，系统的响应分别为 r1(t)和 r2(t)，则：r1(t)= T[e1(t)]= e1(1t)，r2(t)= T[e2(t)]= e2(1t)。现将 k1e1(t)+ k2e2(t)作为激励加入系统（k1、k2 为任意不为 0 的常数），系统的响应为 T[k1e1(t)+ k2e2(t)]，则
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= k1 e1(1t)＋k2 e2(1t) 而
可见
k1rபைடு நூலகம்(t)+ k2r2(t)= k1 e1(1t)＋k2 e2(1t)
T[k1e1(t)+ k2e2(t)]= k1r1(t)+ k2r2(t)
系统为线性的。
2) 判断系统是否为时不变的
将 e(t－t0)作为激励加入系统（t00），系统的响应为 T[e(t－t0)]，则 T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)
而
可见
r(t－t0) = ae (t-t0)
T[e(t－t0)]＝r(t－t0)
系统为时不变的。
例 2：某一系统的激励为 e(t)，响应为 r(t)，r(t)=e(1t)，判断该系统是否为线性的、时不变的。 解 设 r(t)=T[e(t)]= e(1t)，由此知道，系统对激励 e(t)的运算为：先将激励反褶，再将反褶的信号 往左移动 1 个单位。
定系统是否为线性的、时不变的。
解 设 r(t)=T[e(t)]=ae(t)，由此知道，系统对激励 e(t)的运算为：将激励 e(t)作为有界常数 a 的指数，
便得到输出 r(t)。做这种题时，同学们一定要首先确定系统对激励 e(t)进行了什么运算。
1）判断系统是否为线性的
设激励为 e1(t)、e2(t)时，系统的响应分别为 r1(t)和 r2(t)，则：r1(t)= T[e1(t)]= ae1(t)，r2(t)= T[e2(t)]= ae2(t)。现将 k1e1(t)+ k2e2(t)作为激励加入系统（k1、k2 为任意不为 0 的常数），系统的响应为 T[k1e1(t)+ k2e2(t)]，则