大学物理下 近代物理习题课

3.波长λ0=0.01nm的X射线与静止的自由电子碰撞。在与入射方向 成900角的方向上观察时，散射X 射线的波长多大？反冲电子的动 能如何？ ϕ = 90 0 代入下式 解：将
∆λ = λ − λ0 = λc (1 − cos ϕ ) = λc (1 − cos 90 0 ) = λc
由此得康普顿散射波长为 λ = λ0 + λc = 0.01 + 0.0024 = 0.0124(nm) 至于反冲电子，根据能量守恒，它所获得的动能Ek就等于入射光 子损失的能量，即
6.63 × 10 −34 × 3.0 × 10 8 E = hν = = λ 2.0 × 10 −7 = 9.94 × 10 −19 ( J ) ≈ 6.20(eV ) 1 由爱因斯坦方程： hν = mv 2 + A 知,出射光子的能量为： 2 1 2 mv = hν − A = 6.20 − 4.2 = 2.0(eV ) 2 hc
5. 若一电子的总能量为5．0MeV，求该电子的静能、动能、动量和 速率； 解： 电子的静能为
E0 = m0 c 2 = 0.512 MeV
电子的动能为 E k = E − E 0 = 4.488 MeV
2 2 2 2 由 E = P c + E0 得电子动量为 1 2 2 P = ( E − E 0 )1 2 = 2.66 × 10 − 21 kg ⋅ m ⋅ s -1 c
v2 2 -1 2 ∆Ek = mc -m0 c = m 0 c {[1-( 2 ) ] -1} c
2 2 2
故 外力所做的功为
W = ∆E K = 2.58 × 10 eV
3
当
v1 =0.80c， v2 =0.90c时, 外力所作的功为
v2 2 -1 2 v1 2 -1 2 ∆Ek = m2 c -m1c = m 0 c {[1-( 2 ) ] -[1-( 2 ) ] } c c
1. 在惯性系S中，有两个事件同时发生在xx’轴上相距为1.0 × 10 3 m的 两处，从惯性系S’观测到这两个事件相距为 2.0 × 10 3 m，试问由S’系 测得此两事件的时间间隔为多少? 解：根据洛伦兹变换,有
x −x =
' 2 ' 1
(x2 − x1 )-v(t2 − t1 )
（1）
将值代入式(2),可得
2
即氢原子的半径增加到基态是的9倍。
E k = hν 0 − hν = hc(
1
6.63 × 10 −34 × 3 × 10 8 × 0.0024 × 10 −9 = 0.01 × 10 −9 × 0.0124 × 10 −9 = 3.8 × 10 −15 ( J ) = 2.4 × 10 4 (eV )
λ0
− )=
1
hc∆λ
λ
λ0 λ
= 10.7 ×10 J = 6.66×10 eV h 根据动量守恒, (3) 根据动量守恒,有 e λ = p cosθ
0
λ = pe sinθ,
h
λ0 = pe cosθ
h
所以
pe = h(
λ2 +λ2 1 2 0 λ2λ2 0
)
= 6.63×10 J ⋅ s ×(
−23
−34
2.242×10−22m2 +22×10−22m2 1 2 4.482×10−44m4
λ = ∆λ + λ0 = 0.0024nm+ 0.02nm = 0.0224nm
根据能量守恒, (2) 根据能量守恒,反冲电子获得的能量就是入射光子 散射光子能量的差值, 与 散射光子能量的差值,所以
∆ε = λ − λ =
hc
0
hc
hc∆λ
λ0
=
6.63×10−34 J⋅s×3×108 m⋅s−1×2.4×10−12m 2×10−11m×2.24×10−11m −16 3
+∞ ∫−∞
AXe Ψ ( x) = {0
− λx
x ≥0
x ≤0
2 λ 2 xe−λx = {0
3
x ≥0 x ≤0Ψ ( x ) Nhomakorabeax = 1
+
+∞ ∫0
2
(3)令
3
d[ Ψ(x) ] dx
2
= 0 ，有
2 0 ∫−∞ 0 dx
A x 2 e − 2 λx d x A2 dx = 3 = 1 4λ
2 2 12 由E = E0 (1 − v c ) 可得电子速率为
v = c(
E 2 − E0 E2
2
)1 2 = 0.995c
6. 若把能量 0.50 × 10 6 eV给予电子，且电子垂直于磁场运动，则其 运动径迹是半径为2．0cm的圆．问： (1)该磁场的磁感强度且有多大? (2)这电子的动质量为静质量的多少倍? 解： （1） 由 E = E0 + Ek
ux
'
(u x − v ) = = −0.946c uxv 1− 2 c
（2）飞船与慧星相碰撞这一事件在S’系中的时刻为
v x 2 c t' = = 4.0 s 2 2 1− v c t-
即从飞船上的钟来看，尚有4.0s时间允许它离开原来的航线。
系的坐标原点是重合的。 注:在t=0时刻，s和s’系的坐标原点是重合的。 t=0时刻， 时刻 系的坐标原点是重合的
l = l0 1 − u
'2
c2
l=
l0 c 2 − uv
[(c 2 − u 2 )(c 2 − v 2 )]1 2
4. 设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c的速率向东飞行， 5.0s后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的慧星相碰撞．试问： (1)飞船中的人测得慧星将以多大的速率向它运动? (2)从飞船中的钟来看，还有多少时间容许它离开航线，以避免与 慧星碰撞? 解： (1) 由洛伦兹速度变换得慧星相对S’（即飞船）的速度为
2 2 2
' W ' = ∆E k = 3.21 × 10 5 eV
1． 波长为200nm的光照射到铝表面上，对铝来说，移去一个外层 电子所需的能量为4.2eV。求： （1） 出射的光电子的最大动能是少？ （2） 遏止电压为多少？ （3） 铝的截止波长为多少？ 如果入射光强为2.0Wm-2，单位时间内落到单位面积上的平均光子 数为多少？ 解：（1）波长为200nm的一个光子的能量
解： (1) n =5时，l 的可能取值为5个，它们是l =0、1、2、3、4； ± ± ± ± ± （2）n =5， ml 可能取值为11个，它们是=0、1 、 2 、 3 、 4、 5 ； (3) n =3时，电子的可能状态数为 2 n 2 = 18
8. 试估计处于基态的氢原子被能量为 12.09ｅＶ 的光子激发时，其电子的轨道半径增加多少倍？
例题18-5 波长为 λ0 = 0.02nm 的X射线与静止的自由电子 例题 射线与静止的自由电子 o 碰撞,现在从和入射方向成 碰撞 现在从和入射方向成 90 角的方向去观察 散射辐射.求 散射X射线的波长 反冲电子的 射线的波长;(2)反冲电子的 散射辐射 求: (1) 散射 射线的波长 能量;(3)反冲电子的动量。 反冲电子的动量。 能量 反冲电子的动量
2
4λ (2 xe − 2 λx - 2λx 2 e − 2 λx ) = 0
=
+∞ ∫0
A x e
2
2 − 2 λx
x=
1
λ
A = 2λ
3
2
即粒子在该处出现的概率最大。
6．在描述原于内电子状态的量子数中, (1)当n=5时，l 的可能值是多少? (2)当n=5时，ml 的可能值为多少? (3)当n=3时，电子可能状态数为多少?
1− v c
2
2
v (t 2 − t1 ) - 2 ( x 2 − x1 ) ' c t '2 − t1 = 1− v2 c2
' t '2 − t1 = 5.77 × 10 −6
（2）
3 ] c= v = [1 - ' c ' 2 2 ( x 2 − x1 )
12
( x 2 − x1 ) 2
3. 在S系中有一长为的棒沿x铀放置，并以速率 u 沿xx’轴运动．若 有一S’系以速率v 相对S系沿xx’轴运动，试问在S’系中测得此棒 长度为多少? 解： 设是棒相对观察者的速度， 为S’系相对S系的速度，则 (u − v) ' u = uv 1− 2 解上述两式，可得 c
解：根据玻尔理论 hν = E n − E1：对氢原子
E1 = −13.6eV
12 . 09 = E − (- 13 . 6 )
n
E = − 1 . 51 e V 另外，对氢原子有
n
E n = - 13.6
n2
由此有
而由氢原子的半径公式
− 1.51 = - 13.6
n 2 = 9, n = 3
n
2
rn = n a1 = 9a1
y h/λ0 x y h/λ
θ
x Pe
解
(1)散射后X (1)散射后X射线波长的改变为 散射后
∆λ =
2h m0c
sin
2ϕ 2
=
2×6.63×10−34 J⋅s 9.11×10−31kg×3×108 m⋅s−1
sin2 π 4
= 0.024 ×10−10 m = 0.0024nm
所以散射X的波长为 所以散射X
（1）
2 E 2 = P 2 c 2 + E0 （2）
v2 evB = m （3） R 联立求解上述三式，可得
B=
2 Ek − 2 E0 Ek
eRc
= 0.146 T
（2）由相对论质能关系，可得 EK m E = = 1+ = 1.98 m0 E 0 E0
7. 如果将电子由静止加速到速率为0.10c，需对它作多少功?如将电 子由速率为0.80c加速到0.90c，又需对它作多少功? 解：由相对论动能表达式和质速关系可得当电子速率从，电子动 能的增量为
)
= 4.44×10 kg ⋅ m s
cosθ =
h λ0 pe
=
6.63×10−34J⋅s 2×10−11m×4.4×10−23kg⋅m s
o
= 0.753
θ ≈ 41 9′
3. 已知一维运动粒子的波函数为 经归一化的波函数为
Ψ( x ) 式中．试求： (1)归一化常数A和归一化波函数； (2) 粒子的概率分布函数为 (2)该粒子位置坐标的概率分布函 数； x ≥0 4 λ3 x 2e −2 λx Ψ(x) = {0 (3)在何处找到粒子概率最大． x ≤0 解：由归一化条件
（2）因 故遏止电压
1 2 mv = e | U a | 2 1 2
Ua = 2 mv e
= 2(V )
A υ （3）截止频率： 0 = 截止波长： h hC hv 6.2 λ0 = = λ= × 200 = 295.2( nm)
A A 4.2
（4）因 S=Nhv 所以
S 2 N= = = 2 × 1018 (m − 2 .s −1 ) hv 9.94 × 10 −19