常见“恒成立问题”的解决办法

常见 “恒成立问题” 的解决办法

在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．下面本人就高考中常出现的恒成立问题谈一谈自己的解法． 一 变量分离法

变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在

例1．已知函数f (x )＝2x －1

2|x |若不等式2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的

取值范围

解：本题可通过变量分离来解决． 当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022

t t

t

t t m -

+-≥ 即24(21)(21)t

t

m -≥--，2210t

->∵，2(21)t

m ≥-+∴

[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴

故m 的取值范围是[5,)-+∞

例2．设f x n n a

n

x x x x x ()lg ()=++++-+1231 ，其中a 为实数，n 为

任意给定的自然数，且n ≥2，如果f x ()当x ∈-∞(]，1时有意义，求a 的取值范围．

解：本题即为对于x ∈-∞(]，1，有1210x

x

x

x

n n a ++-+> ()恒成立． 这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得a n n

n n

n x

x

x

>-+++-≥[()()(

)]()1212 ，对于x ∈-∞(]，1恒成立． 构造函数g x n n n n

x x x

()[()()()]=-+++-121 ，则问题转化为求函数g x ()在

x ∈-∞(]，1上的值域，由于函数u x k n

k n x

()()()=-=-121，，， 在x ∈-∞(]，1上

是单调增函数，

则g x ()在(]-∞，1上为单调增函数．于是有g x ()的最大值为g n ()()11

2

1=--，从而可得a n >-

-1

2

1()． 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取

合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值． 二 赋值法——利用特殊值求解

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.

例3．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2

+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )

.7 C

略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D 例4．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8

π

-

对称，那么a=（ ）. B .-1 C .2 D . -2. 略解：取x=0及x=4π-

，则f(0)=f(4

π

-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.

三 构造函数法 1、一次函数型

若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷．给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

0)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有

)(0

)(<

例5．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2

+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2

-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,

设f(a)= (x-1)a+x 2

-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0

10

342

2

x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型

若二次函数y=ax 2

+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a ；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解． 例6． 若函数1

2

)1()1()(22++

-+-=

a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围. 分析：该题就转化为被开方数01

2

)1()1(2

2

≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.