第17章 离散系统的振动
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离散系统的基本概念课件
第二节 信号的采样与保持
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。
eh (t ) = e(kT)， kT≤ t ≤(k + 1)T
零阶保持器的输入输出特性
e*(t)
eh(t)
e*(t) 零阶 eh(t)
保持器
0
k (k+1) t
0
k (k+1) t
第二节 信号的采样与保持
实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。
2、信号复现
在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过 程称为信号复现过程。相当于D/A转换过程。
实现复现过程的装置称为保持器。
最简单的保持器是零阶保持器。
第一节 离散系统的基本概念
三、数字控制系统
系系统统中中的如A果/D用转计换算器机相来当代于替一脉个冲采控样制开 关器，，D实/A现转对换偏器差相信当号于的一处个理保，持就器构。成了数 字控制系统，也称为计算机控制系统。
连续频谱⏐E ( jω )⏐形状一致，幅值上变化了1/T倍。
其余频谱（n=±1, ± 2, ···）是采样频谱的补分量。
第二节 信号的采样与保持
⏐E∗( jω )⏐
0
采样信号的频谱（ωs< 2ωh） 可见，当ωs< 2ωh时，采样信号发生频率混叠，致
使输出信号发生畸变。 此时，不能通过滤波器恢复原来的连续信号。
⏐E( jω )⏐
-ωh 0 ωh
连续信号频谱
第二节 信号的采样与保持
⏐E∗( jω )⏐
2
1 1/T
2
-2ωs
-ωs -ωh 0ωh ωs
2ωs
-ωs/2 ωs/2
第3章 线性离散系统的自由振动
n t
cos( d t )
可见上式表示的运动为振动，频率为常值 d ，相角 为 ，而幅值为 Ae t ，以指数形式衰减。常数 A 、 由 初始条件决定。 1 称为弱阻尼或欠阻尼情况。 0
n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
有阻尼自由振动方程 当系统存在阻尼时，自由振动方程也可以写 为如下形式: c
2 ( t ) 2 n x ( t ) n x ( t ) 0 x
2
m
n
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。设上式的解有如 下形式:
A v0 x0 n
2 2
tan
1
v0 x 0 n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发热、发声。因此在一般情况 下，碰撞过程中会有动能损失，即 动能不守恒，动量守恒，碰后两物 体分离，这类碰撞称为非弹性碰撞 (inelastic collision)。碰撞后物体结合 在一起，动能损失最大，这种碰撞 叫做完全非弹性碰撞。
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
江苏科技大学
振动噪声研究所
2012年9月4日10时5分
第2章 单自由度系统的振动
机械振动基础
3.1 无阻尼单自由度系统的特性 3.2 有阻尼单自由度系统的特性 3.3 无阻尼二自由度系统的特性
2012年9月4日10时5分
cos( d t )
可见上式表示的运动为振动，频率为常值 d ，相角 为 ，而幅值为 Ae t ，以指数形式衰减。常数 A 、 由 初始条件决定。 1 称为弱阻尼或欠阻尼情况。 0
n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
有阻尼自由振动方程 当系统存在阻尼时，自由振动方程也可以写 为如下形式: c
2 ( t ) 2 n x ( t ) n x ( t ) 0 x
2
m
n
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。设上式的解有如 下形式:
A v0 x0 n
2 2
tan
1
v0 x 0 n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发热、发声。因此在一般情况 下，碰撞过程中会有动能损失，即 动能不守恒，动量守恒，碰后两物 体分离，这类碰撞称为非弹性碰撞 (inelastic collision)。碰撞后物体结合 在一起，动能损失最大，这种碰撞 叫做完全非弹性碰撞。
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
江苏科技大学
振动噪声研究所
2012年9月4日10时5分
第2章 单自由度系统的振动
机械振动基础
3.1 无阻尼单自由度系统的特性 3.2 有阻尼单自由度系统的特性 3.3 无阻尼二自由度系统的特性
2012年9月4日10时5分
离散数学sec16-17 群
整数加群<Z,+>， 由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
第2章 离散系统的振动微分方程
θ (R-r) R
转动时，圆柱体绕质心轴转动，由 于无滑动，角速度为：
ω = v = 1 (R − r)θ&
rr
r φ
0
第2章 离散系统的振动微分方程
任一瞬时位置，圆柱体动能为
：T = 1 mv2 + 1 Iω 2 = 1 w [(R − r)θ&]2 + 1 w r 2 [1 (R − r)θ&]2 = 3 w (R − r)2θ&2
第2章 离散系统的振动微分方程
解：振动微分方程为：
[M ]{&x&} + [C]{x&} + [K ]{x} = 0
⎡m1 0 0 ⎤
[M
]
=
⎢ ⎢
0
m2
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 m3 ⎥⎦
第2章 离散系统的振动微分方程
⎡k1 + k2
[
K
]
=
⎢ ⎢
−k2
⎢⎣ 0
−k2 k2 + k3
−k3
0⎤
−k3
第2章 离散系统的振动微分方程
(2). 汽车前轮横梁，具有一定的质量和转动惯量， 在垂直方向，具有两自由度。
方法一：建立垂直方向和绕质心旋转方向的坐标
图1.2-8 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
方法二：在两个前轮位置分别建立垂直方向的坐标
图1.2-9 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
=
0
——常系数齐次微分方程
设 ωn2
=
g l
，则可以整理标准形式：
θ&& + ωn2 ⋅θ = 0
离散时间系统及卷积-文档资料
做了一个频域频移，相当于时域延迟，但要注意，H (k) 对应的时域信号是h(n) 的周期延拓信号h~(n) ，所以：
。 N 1
j 2mk j 2nk
[H (k)e N ]e N
~ h (n
m)
k 0
•43
于是
y(n)
N 1
x(m)
1
N 1
j 2mk j 2nk
H (k)e N e N
m0
•31
举例：
输入信号为：si(n) 2(n)3(n1) 冲激响应为：h(n) 1(n)2(n1)1(n2)
1
输出为：s0(n) si (k)h(n k) 2h(n) 3h(n 1) k 0
2 (n) 4 (n 1) 2 (n 2) 3 (n 1) 6 (n 2) 3 (n 3)
•48
例如：
h(n)=[1,2,3,4]
3n x(n)=[1,2,2,1]
3n
h(0-m)
3m x(m)
3m
正常卷积：
y (0 ) x (m )h (0 m ) m
1
即上下两图中对应 点相乘后相加
•49
同理：
h(1-m)
3m x(m)
3m
正常卷积：
y (1 ) x ( m )h (1 m ) m
•28
3）混联系统
系统1 系统2
输入
h1(n)
h2(n)
输出
系统4
系统3
h4(n)
h3(n)
系统h(n) 此种情况下，系统的冲激响应函数：
h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n)
H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()
杆的离散系统的振动反问题
ＴＩ ＡＮ ａ ． Ｘｉ ＤＡＩＨ
（ ． ｏｅｅｏ Ｍ ｔ ｍ ｔ ｎ ｈｓ ｓＳａｄｎ ｓｔ ｅ ｆ ｉ ｔｎｕｔ ， ｎｎ２０５ ，ｈｎ； １Ｃｌｇ ａ ｅ ａｃａｄＰ ｙｉ ，ｈｎｏｇＩ ｔ ｔ ｏ ｇ ｄｓｙＪ ａ ５ ３３ Ｃ ｉ ｌ ｆ ｈ ｉ ｃ ｎｉ Ｌ ｈ Ｉ ｕ ｒ ｉ ａ
ｅｄａ ｅ ａ ｔ ｅ， ｎ ｄｆｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｎ ｒ ｏ ｈ ｈ
ｆ ｆｑｅｃ ｆ ｍ ，ｘ ｏ ｎｓａｄａ ｏｅｃ ｒ ｐｎｉ ｒ ｕｎｉ ｏ ｅ ｓ ｅ ｄｆｅ ａ ｔ ｄ， ｍ ｄ ｒｓｏｄ ｇｏ Ｌ ｄ ｔｗ ｅ ｎ ｏｅ ｎｔ
ｔｅ ｌ ｅ ｔ ｒ ｑ ｅ ｃ ｉ ｆｔｅ ｆ ｅ － ｅ ｏ ｄ Ｗ ｅ ｔｔｌ ｓ ｆ ｅ ｒｄ． ｈ ｒｂｅ ｏ ｏ ｓ ｕ ｔ ｇ ｔｅ ｈ ｗ ｅ ｕ ｎ ｙ ｔ ｘ ｄ ｆ ｅ ｒｄ ａ ｔ ａ ｓ ｏ ｏ Ｔ ｅ ｐ ｌｍ ｆｃ ｎ ｔ ｃ ｉ ｈ ｏｓ ｆ Ｏｏ ｈ ｉ ｒ ｎ ｈ ｏ ｍａ ｈ ｔ ｏ ｒ ｎ
２ Ｃ ｌｇ ｆ ｃ ｎｅ ａｊ ｇＵ ｉ ｒｔ ｏ ｅ ｎｕｉ ｄＡｔ ｎｕｃ， ａｊ ｇ １０ ６ Ｃｉａ ．ｏｅｅｏ ｉ ｃ，Ｎ ｉ ｎ ｅｓｙ ｆ ｒ ａｔ ｓ ｓｏａｔｓＮ ｉ ０ １ ， ｈ ） ｌ Ｓｅ ｎ ｎ ｖ ｉ Ａ ｏ ｃ ａ ｎ ｒ ｉ ｎ ｎ２ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｃ ｎ ｉｅ ｎ ｉｖ ｒ ｉｒ ｔ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ｒｔ ｅ ｄｓ ｒｔ ｙ ｔｍ ｆ ｄ Ｓ ｐ ｏ ｅ ｔａ ｅ ｒｄ ｉ ｃ ｎ ｓｒ ｃ ： ｏ ｓｄ ｒａ ｅ ｓ ｖｂ ａ ｉ ｒｂｅ ｆ ｉ ｅ ｓ ｓｅ ｏ ｒ ． ｕ ｐ ｓ ｔｔ ｏ ｓ ｏ － ｎ ｅ ｏ ｏ ｈ ｃ ｅ ａ ｏ ｈ ｈ
ｐｙｉ ｒ ｅ ｒ ｏ ｔ ｉｒｅｓ ｔ ｆｈ ｄｆｍ ｛ ｉ ｌ ｛ｌ ｆ ｕ ａ ｎｉ ｒ ． ｅ ｈｓ ａｐ ａ ｔ ｓ ｅｄ ｅ ｙｅ ｏ ｔ ｒ ｏ ｔ ｝ 、 ｝ ， ｄ Ｗ ｉ ｃ ｄ ｅ Ｔ ｃ ａ ｍ ｅ ｈ ｓ ｔ ｓｍ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｃ Ｏ ｎ ｓ ｓ ｅ ｄｈ ｏ
第4章 线性离散系统的受迫振动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(k11
(k22 2m2 )F1 2m1)(k22 2m2 )
k122
X 2 ()
(k11
k12 F1
2m1)(k22 2m2 )
k122
(4-25)
对于一组给定的系统参数，由上式可给出系统响应幅值随 激振频率的变化曲线—频响曲线。
第4章 受迫振动系统
第4章 受迫振动系统
4.2 二自由度系统的强迫振动
a p
2 T
T
2 T
2
f (t) cos p0tdt
bp
2 T
T
2 T
2
f (t)sin p0tdt
第4章 受迫振动系统
p 0 , 1 , 2 p 1 , 2 , 3
➢ 而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项, 故系统
的稳态响应为： x(t) an Cosn1 n bn Sinn1 n
设简谐激振力为
F1(t) F1eit ,
相应的系统的稳态解可表示为
F2 (t) F2eit
x1(t) X1eit , x2 (t) X 2eit
其中，X1，X2 一般为与激振力频率ω 和系统参数有关的复数。
第4章 受迫振动系统
4.2 二自由度系统的强迫振动
代入方程式，得两个代数方程
(2m11 ic11 k11) X1 (2m12 ic12 k12 ) X 2 F1 (2m12 ic12 k12 ) X1 (2m22 ic22 k22 ) X 2 F2
其中
Z
( ) 1
1
detZ ()
Z22 ()
Z12
(
)
Z12 ()
Z11 ( )
1
(k11
(k22 2m2 )F1 2m1)(k22 2m2 )
k122
X 2 ()
(k11
k12 F1
2m1)(k22 2m2 )
k122
(4-25)
对于一组给定的系统参数，由上式可给出系统响应幅值随 激振频率的变化曲线—频响曲线。
第4章 受迫振动系统
第4章 受迫振动系统
4.2 二自由度系统的强迫振动
a p
2 T
T
2 T
2
f (t) cos p0tdt
bp
2 T
T
2 T
2
f (t)sin p0tdt
第4章 受迫振动系统
p 0 , 1 , 2 p 1 , 2 , 3
➢ 而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项, 故系统
的稳态响应为： x(t) an Cosn1 n bn Sinn1 n
设简谐激振力为
F1(t) F1eit ,
相应的系统的稳态解可表示为
F2 (t) F2eit
x1(t) X1eit , x2 (t) X 2eit
其中，X1，X2 一般为与激振力频率ω 和系统参数有关的复数。
第4章 受迫振动系统
4.2 二自由度系统的强迫振动
代入方程式，得两个代数方程
(2m11 ic11 k11) X1 (2m12 ic12 k12 ) X 2 F1 (2m12 ic12 k12 ) X1 (2m22 ic22 k22 ) X 2 F2
其中
Z
( ) 1
1
detZ ()
Z22 ()
Z12
(
)
Z12 ()
Z11 ( )
1
第2章：单自由度系统的振动
运动方程 ：
k 0 I 0 T
(2.1.13)
第2章 单自由度系统的振动
例2.1.3 图示水塔，水箱的总质 量为M，抗弯刚度和单位长度的 质量分别为EI(x)和m(x) ，塔受 水平分布荷载 q(x, t)的作用， 试建立系统的运动方程。 如何将无限自由度问题简 问题 ： 化为单自由度问题？ 解：设描述塔身弯曲变形的形状函数 为φ (x)，将塔的弯曲变形表示为
l l Wnc 0 q( x, t ) y( x, t ) dx 0 q( x, t ) ( x) Ydx
y " 2 y / x 2 Wnc为非保守力，即外荷载所做的功 。
t1 哈密顿原理 ： T V dt t0 Wnc dt 0 t1 t0
第2章 单自由度系统的振动
A
m
l/4
B
C
M
l/4
k
l/4
D F (t ) m / 2 c E
l/4
图2.1.2 以转角θ 为广义坐标的单自由度系统
l 2 3l 2 1 WI I m 4 2 m 4 I 11 l 2 m 32
C2e
j 1 2 t
(2.2.19)
d 1 2
x(t ) e t ( A1 cosd t A2 sin d t ) Ae t sin d t (2.2.20)
第2章 单自由度系统的振动
x(0) x0 (0) x 0 x
第2章 单自由度系统的振动
虚功原理： WP WI WD WS 0 整理得：
M
1 2
(振动理论课件)振动系统及其力学模型A
实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 弹性元件
无质量、不耗能，储存势能的元件
平动： Fs k x
力、刚度和位移的单位分别 为N、N / m和m
转动： Ts kt
力矩、扭转刚度和角位移的 单位分别为Nm、 Nm / rad和rad
实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
振动系统运动状态的描述-4
振动系统运动状态的描述-5
振动系统运动状态的描述-6
振动系统运动状态的描述-7
※
〓
设x为从系统的平衡位
置开始的物块的向下位 移，当系统处于平衡时， 弹簧有一个静变形Δst。
mx k(xst)mg kst mg mx k x
在线性系统中，弹性因素造成的静变形对于系统 的等效刚度没有影响
静平衡位置对振动参数的影响(续1)
➢ 以系统平衡位置重力势能的基准面，系统在任 意时刻的势能为
一个振动系统包括惯性成分、刚度成分和阻尼 成分
➢当系统运动的时候，惯性成分具有动能。
平面运动刚体的动能为
T1mv2 1I2
2
2
其中v为刚体质心速度，ω是绕垂直于运 动平面的轴转动的角速度，m是物体的质量， I是绕通过质心、平行于转轴的转动惯量。
振动系统组成（续1）
➢线性刚度成分（线性弹簧）具有如下形 式的力-位移关系。
实际系统离散化的力学模型 汽车简化模型
实际系统离散化的力学模型 汽车简化模型（续）
实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 质量元件
无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
平动： Fmx 力、质量和加速度的单位分
别为N、kg和m / s 2。
第三章 离散线性系统随机振动
0 0 0 0
(3.1－2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 作用在系统上的激励矢量维数可与响应维数不 相等，并可能与其一阶导数过程有关，此时可 表为
X (t ) = B1 X1 (t ) + B2 X1 (t )
(3.1－3) . 式中Bl与B2为nm矩阵；X1(t)与X1(t)为m维矢 量，表示实际的激励。
• 离散线性系统的运动方程也常表示成一阶方程 组形式，即 Z (t ) = AZ (t ) + F (t ), Z (t0 ) Z0 (3.1－4) • (3.1－4)常称为状态方程，因为，如果引入状 态矢量 Z (t ) = [Y (t ) Y (t )]T (3.1－5) • (3.1－1)可化成(3.1－4)的形式，其中
hn1 (t , ) hn 2 (t , ) hnm (t , )
(3.2－1)
• 式中hjk(t, )表示在时刻在第k个激励处作用单 位脉冲而在t时刻的第j个响应，即hjk(t, )是下 列方程之特解 L h(t, )=BId(t－) (3.2－2) 式中L为与均方微分算子L对应的确定性微分算 子；B为nm矩阵；I为m维单位矩阵；d(t－) 为狄拉克d函数。 基于因果关系，当t<时， h(t, )＝0。当系统为时不变时， h(t, )=h(t－)
• 上述方程中的系数矩阵的元素可以是常数、随 机变量、随时间确定性或随机地变化的量等多 种情形。这里将系数随时间周期性变化或随机 地快变情况放在后面讨论。
• 这里假定系数为常数，或随时间非周期确定性 地变化。
• 离散线性系统的动态特性还可用系统对某种典 型的激励的响应来描述。脉冲响应矩阵与频率 响应矩阵是最常用的两种。 • 此外，时不变线性系统还可用模态(固有频率 与振型)来描述，所有这些描述的理论依据是 叠加原理。 • 脉冲响应矩阵，频率响应矩阵及模态可由给定 的运动方程得到，也可用实验方法直接测量得 到。因此，这些描述方法具有独立的意义。 • 容易证明，各种描述方法是等价的。
(3.1－2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 作用在系统上的激励矢量维数可与响应维数不 相等，并可能与其一阶导数过程有关，此时可 表为
X (t ) = B1 X1 (t ) + B2 X1 (t )
(3.1－3) . 式中Bl与B2为nm矩阵；X1(t)与X1(t)为m维矢 量，表示实际的激励。
• 离散线性系统的运动方程也常表示成一阶方程 组形式，即 Z (t ) = AZ (t ) + F (t ), Z (t0 ) Z0 (3.1－4) • (3.1－4)常称为状态方程，因为，如果引入状 态矢量 Z (t ) = [Y (t ) Y (t )]T (3.1－5) • (3.1－1)可化成(3.1－4)的形式，其中
hn1 (t , ) hn 2 (t , ) hnm (t , )
(3.2－1)
• 式中hjk(t, )表示在时刻在第k个激励处作用单 位脉冲而在t时刻的第j个响应，即hjk(t, )是下 列方程之特解 L h(t, )=BId(t－) (3.2－2) 式中L为与均方微分算子L对应的确定性微分算 子；B为nm矩阵；I为m维单位矩阵；d(t－) 为狄拉克d函数。 基于因果关系，当t<时， h(t, )＝0。当系统为时不变时， h(t, )=h(t－)
• 上述方程中的系数矩阵的元素可以是常数、随 机变量、随时间确定性或随机地变化的量等多 种情形。这里将系数随时间周期性变化或随机 地快变情况放在后面讨论。
• 这里假定系数为常数，或随时间非周期确定性 地变化。
• 离散线性系统的动态特性还可用系统对某种典 型的激励的响应来描述。脉冲响应矩阵与频率 响应矩阵是最常用的两种。 • 此外，时不变线性系统还可用模态(固有频率 与振型)来描述，所有这些描述的理论依据是 叠加原理。 • 脉冲响应矩阵，频率响应矩阵及模态可由给定 的运动方程得到，也可用实验方法直接测量得 到。因此，这些描述方法具有独立的意义。 • 容易证明，各种描述方法是等价的。
信号与系统智慧树知到课后章节答案2023年下宁波大学
信号与系统智慧树知到课后章节答案2023年下宁波大学宁波大学第一章测试1.下列信号的分类方法不正确的是（）A:数字信号和离散信号 B:确定信号和随机信号 C:周期信号和非周期信号 D:连续信号与离散信号答案:数字信号和离散信号2.下列表达式中正确的是（）A:δ(2t)＝δ(2/t) B:δ(2t)＝δ(t) C:δ(2t)＝2δ(t) D:δ(2t)＝δ(t)/2答案:δ(2t)＝δ(t)/23.信号平移、反转和尺度变化的最佳作图顺序是（）A:先平移，再尺度变换，最后反折 B:先尺度变换，再平移，最后反折 C:先平移，再反折，最后尺度变换 D:先反折，再尺度变换，最后平移答案:先平移，再尺度变换，最后反折4.差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。
未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。
（）A:对 B:错答案:对5.系统y(t)=2(t+1)x(t)+cos(t+1)是因果系统。
（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.线性系统响应满足以下规律（）A:若初始状态为零，则零状态响应为零 B:若系统的零状态响应为零，则强迫响应也为零 C:若系统的起始状态为零，则系统的自由响应为零 D:若初始状态为零，则零输入响应为零。
答案:若初始状态为零，则零输入响应为零。
2.卷积δ(t)*f(t)*δ(t)的结果为（）A:δ(t) B:f(2t) C:f(t) D:δ(2t)答案:f(t)3.（）A: B: C: D:答案:4.若y(t)=x(t)*h(t)，则y(-t)=x(-t)*h(-t)。
（）A:对 B:错答案:错5.已知，，则的非零值区间为［0，3］。
（）A:错 B:对答案:对第三章测试1.某人每月初在银行存入一定数量的款f(k)，月息为β，建立求第k个月初存折上款数的差分方程（）。
A: B:C:D:答案:2.ε(k)∙ε(k-5)=（）A:ε(k-5) B:ε(k) C:ε(k-4) D:(k-4)ε(k-5)答案:ε(k-5)3.某离散时间系统的差分方程a1y(k+1)+a2y(k)+a3y(k-1)=b1f(k+1)+b2f(k)，该系统的阶次为（）A:4 B:2 C:3 D:1答案:24.离散系统的零状态响应等于激励信号f(k)与单位样值响应h(k)的卷积（）A:对 B:错答案:对5.若y（t）＝x（t）*h（t），则y（－t）＝x（－t）*h（－t）。
第4章 线性离散系统的受迫振动a
当上式两项都考虑时，
F0 sin t cos t cos n t sin n t lim 2m n n 0
无阻尼系 统的共振
F0
2k
sin n t
F0t
2m n
第4章 线性离散系统的受迫振动
机械振动学
第4章
线性离散系统的受迫振动
4.1 数学基础 (自学) 4.2 单自由度系统 4.3 二自由度系统
4.4 多自由度系统
第4章
4.2 单自由度系统
4.2.1 简谐激励的响应
1. 振动微分方程的解
线性离散系统的受迫振动
mc xk x F0 sint x
F0
拍周期 ，最大振幅 2 m n
第4章
线性离散系统的受迫振动
4.2 单自由度系统 (2) 当 n 时， 0 。
F0 sin t F0 t lim 2m n cos n t 2m n cos n t 0
Acos tBsin t 6.61sin10t0.133
d d
1
2
19.9 (rad/s)
3.32e2t cos19.9t1.316.61 10t0.133mm sin
第4章
4.2 单自由度系统
线性离散系统的受迫振动
x2 t 振幅不变。 45 x1 t 当t 1 s时，包络线衰减为0. mm ； t 2 s时，包络线衰减为 0.061 mm ； t 3 s时，包络线衰减为 10 3 mm 。 8
上式中等式右边第一项表示有阻尼自由振动响应，它是衰减振动，仅 在振动开始后一段时间内有意义，属于瞬态解。右边第二项表示受迫 振动响应，它是持续的等幅振动，属于稳态解。
F0 sin t cos t cos n t sin n t lim 2m n n 0
无阻尼系 统的共振
F0
2k
sin n t
F0t
2m n
第4章 线性离散系统的受迫振动
机械振动学
第4章
线性离散系统的受迫振动
4.1 数学基础 (自学) 4.2 单自由度系统 4.3 二自由度系统
4.4 多自由度系统
第4章
4.2 单自由度系统
4.2.1 简谐激励的响应
1. 振动微分方程的解
线性离散系统的受迫振动
mc xk x F0 sint x
F0
拍周期 ，最大振幅 2 m n
第4章
线性离散系统的受迫振动
4.2 单自由度系统 (2) 当 n 时， 0 。
F0 sin t F0 t lim 2m n cos n t 2m n cos n t 0
Acos tBsin t 6.61sin10t0.133
d d
1
2
19.9 (rad/s)
3.32e2t cos19.9t1.316.61 10t0.133mm sin
第4章
4.2 单自由度系统
线性离散系统的受迫振动
x2 t 振幅不变。 45 x1 t 当t 1 s时，包络线衰减为0. mm ； t 2 s时，包络线衰减为 0.061 mm ； t 3 s时，包络线衰减为 10 3 mm 。 8
上式中等式右边第一项表示有阻尼自由振动响应，它是衰减振动，仅 在振动开始后一段时间内有意义，属于瞬态解。右边第二项表示受迫 振动响应，它是持续的等幅振动，属于稳态解。
信号分析与系统智慧树知到答案章节测试2023年西安理工大学
绪论单元测试1.时域分析和频域分析是孤立的、无联系的。
（）A:错B:对答案:A2.离散频域分析与Z域分析是联系的。
（）A:错B:对答案:B3.s平面与Z平面上的点是一一对应的。
（）A:错B:对答案:A4.拉氏域与Z域是可以相互映射的（）A:对B:错答案:A5.时域分析是基于虚指数信号的分析。
（）A:错B:对答案:A6.频域分析是基于信号的分析。
（）A:对B:错答案:B7.复频域分析是基于信号的分析。
（）A:错B:对答案:B8.信号课程体现出的方法论思想是“复杂问题的简单化”。
（）A:对B:错答案:A9.本课程体系的两条主线是拉普拉斯变换和傅里叶变换（）A:对B:错答案:B10.本课程体系的两条主线是连续信号与系统分析和离散信号与系统分析（）A:对B:错答案:A第一章测试1.下列信号中，_____周期信号。
A:B:C:D:答案:A2.下列信号中，____是能量信号。
A:B:C:D:答案:B3.下列信号中，___是功率信号。
A:B:C:D:答案:D4.下列信号中，______是因果信号。
A:B:C:D:答案:B5.信号的周期 T = 1/9. ( )A:错B:对答案:B6.信号是能量信号。
（）A:错B:对答案:A7.信号是因果信号。
（）A:对B:错答案:B第二章测试1.各项计算正确的是哪个A:B:C:D:答案:C2.f1(t)和f2(t)的波形图如下，则f (t)=f1(t)*f2(t)波形图正确的是：（）A:B:C:D:答案:C3.A:B:C:D:答案:A4.A:2u(t)B:C:4D:4u(t)答案:A5.A:2B:-1C:0D:-2答案:B第三章测试1.某周期奇函数，其傅立叶级数中( )。
A:不含正弦分量B:仅有奇次谐波分量C:不含余弦分量D:仅有偶次谐波分量仅有偶次谐波分量仅有偶次谐波分量答案:C2.某周期偶谐函数，其傅立叶级数中( )。
A:无奇次谐波分量B:无偶次谐波分量C:无余弦分量D:无正弦分量答案:A3.A:谐波间隔变小，幅度变小B:谐波间隔变大，幅度变小；C:谐波间隔不变，幅度变小D:谐波间隔变小，幅度不变；答案:A4.A:998kHz，1002kHz；B:1000kHz，1002kHzC:996kHz，1002kHzD:997kHz，1003kHz；答案:D5.已知f(t)的傅立叶变换为F(w)，则下面关于傅立叶变换的性质，正确的是（）A:B:C:D:答案:D6.A:B:C:D:答案:B7.A:B:C:D:答案:A8.已知f（t）的频带宽度为Δω，则f（2t-4）的频带宽度为（）A:B:2ΔωC:2（Δω-2）D:2（Δω-4）答案:B第四章测试1.若系统函数H(S)全部极点落于S平面右半平面，则系统为稳定系统。
第五章线性离散系统振动理论的应用课件
1
0
1
幅频和相频响应曲线
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.2 旋转失衡
例2 偏心激振器两轴反向旋转，每个偏心轮
旋转失衡为4.5 kg-cm，用它测量结构的动力
特性。设结构质量为160 kg，激振器质量为
20 kg。当偏心轮转速为900 rpm，偏心质量
在正上方时，结构向上通过静平衡位置，振
0.761 0.70 3.756
0.934 0.65 4.965
1.26 0.60 5.235
A 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.19
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定
计算步骤：
1) 测得自由振动衰减曲线；
m y cy ky m e 2s itn
直立单盘转子
设特解为 xtA xco t s ytA ysi n t
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.3 旋转轴的临界转速
xt e2cost
12222
yt e2sint
12222
c 2 mk
arct
2
an
12
o1G导前 o的o相1 位角
设 o o距1 离为 R ，
x t R e n tco d t s
图 3.6 弱阻尼系统x - t 曲线
xt 的极值发生位置 xt0
x t R n e n tco d t s R e n t dsid t n 0
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
E cn X02
第5章 线性离散系统振动理论的应用
0
1
幅频和相频响应曲线
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.2 旋转失衡
例2 偏心激振器两轴反向旋转，每个偏心轮
旋转失衡为4.5 kg-cm，用它测量结构的动力
特性。设结构质量为160 kg，激振器质量为
20 kg。当偏心轮转速为900 rpm，偏心质量
在正上方时，结构向上通过静平衡位置，振
0.761 0.70 3.756
0.934 0.65 4.965
1.26 0.60 5.235
A 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.19
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定
计算步骤：
1) 测得自由振动衰减曲线；
m y cy ky m e 2s itn
直立单盘转子
设特解为 xtA xco t s ytA ysi n t
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.3 旋转轴的临界转速
xt e2cost
12222
yt e2sint
12222
c 2 mk
arct
2
an
12
o1G导前 o的o相1 位角
设 o o距1 离为 R ，
x t R e n tco d t s
图 3.6 弱阻尼系统x - t 曲线
xt 的极值发生位置 xt0
x t R n e n tco d t s R e n t dsid t n 0
第5章 线性离散系统振动理论的应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
E cn X02
第5章 线性离散系统振动理论的应用
第三章 线性离散系统的自由振动
二.具有黏性阻尼系统的振动特性 1. 振动微分方程的解
令 x (t ) =
& m && + c x + k x = 0 x
A e st
&& (t ) = As 2 e s t 得到特征方程 x
c2 k − 4 m2 m
m s 2 +c s + k =0
有
s1, 2 c =− ± 2m
s1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
arc tan
x0ω n k 2 2 ϕ = ωn = , R = x0 + ( x0 / ω n ) , & & m π + arc tan x 0 x0ω n
x0 > 0 x0 < 0
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
式中 ω n1 =
k 1 / m 1 = 10 rad / s
2 n
有
s 1, 2 = ± i ω
n
R=
2 & x0 + ( x0 /ω n ) 2
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
振动微分方程
m && + k x = 0 x
的解： 的解：
x (t ) = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t = R cos ω n t −ϕ ） （
ζ 1 = c1 / cc = 1.25
ζ 2 = c2 / cc = 1.0
ζ 3 = c3 / c c = 0.25
− 10 t
解：将已知条件代入 有关公式中得
x 1 (t ) = 0.04 e − 5 t − 0.03 e − 20 t m x 2 (t ) = ( 0.01+ 0.5 t ) e x 3 (t ) = 0.045 e
令 x (t ) =
& m && + c x + k x = 0 x
A e st
&& (t ) = As 2 e s t 得到特征方程 x
c2 k − 4 m2 m
m s 2 +c s + k =0
有
s1, 2 c =− ± 2m
s1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
arc tan
x0ω n k 2 2 ϕ = ωn = , R = x0 + ( x0 / ω n ) , & & m π + arc tan x 0 x0ω n
x0 > 0 x0 < 0
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
式中 ω n1 =
k 1 / m 1 = 10 rad / s
2 n
有
s 1, 2 = ± i ω
n
R=
2 & x0 + ( x0 /ω n ) 2
第三章 线性离散系统的自由振动
3. 2 单自由度系统
振动微分方程
m && + k x = 0 x
的解： 的解：
x (t ) = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t = R cos ω n t −ϕ ） （
ζ 1 = c1 / cc = 1.25
ζ 2 = c2 / cc = 1.0
ζ 3 = c3 / c c = 0.25
− 10 t
解：将已知条件代入 有关公式中得
x 1 (t ) = 0.04 e − 5 t − 0.03 e − 20 t m x 2 (t ) = ( 0.01+ 0.5 t ) e x 3 (t ) = 0.045 e
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相位差为 ;
振幅: 为等振幅的振动，有阻尼也不 会衰减。
下面重点讨论受迫振动的振幅和相位差。
56
受迫振动振幅:
相位差：
可以看出，振幅和相位差均与系统特性和激振 力的特性有关，而与初始条件无关。
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数:
频率比:
阻尼比:
57
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数: 则有:
其中，n 为阻尼系数。 将方程化为标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为:
32
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为: 代入方程得到特征方程为:
解出特征根: 则方程的通解为:
33
特征根: 通解为: 解的特性取决于特征根的性质，下面分别讨论。 3. 小阻尼情况
以质量-弹簧系统为例建立振动微分方程。
设已知 m, k, c 以及简谐激振
力： F = H sint 。
以静平衡位置为x的坐标原 l0
点，向下为x轴正向。 取 m 为研究对象，在一般
st
O
x
Fk
Fc
位置x处，受力如图。 则运动微分方程为:
v mg x
49
运动微分方程为: 所以:
l0
st
O
x
Fk
当 n n 时，特征根为一对共轭复数:
通解可写为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。 34
通解为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。
有阻尼振动时的圆频率为: 则通解可写为: 设初始条件为: 则有:
35
通解为:
它的运动曲线如图。 由图可以看出，其运动 已不是等振幅的简谐运 动，而是衰减运动。 阻尼自由振动的参数 振幅 圆频率
振幅: 为等振幅的振动，有阻尼也不 会衰减。
下面重点讨论受迫振动的振幅和相位差。
56
受迫振动振幅:
相位差：
可以看出，振幅和相位差均与系统特性和激振 力的特性有关，而与初始条件无关。
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数:
频率比:
阻尼比:
57
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数: 则有:
其中，n 为阻尼系数。 将方程化为标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为:
32
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为: 代入方程得到特征方程为:
解出特征根: 则方程的通解为:
33
特征根: 通解为: 解的特性取决于特征根的性质，下面分别讨论。 3. 小阻尼情况
以质量-弹簧系统为例建立振动微分方程。
设已知 m, k, c 以及简谐激振
力： F = H sint 。
以静平衡位置为x的坐标原 l0
点，向下为x轴正向。 取 m 为研究对象，在一般
st
O
x
Fk
Fc
位置x处，受力如图。 则运动微分方程为:
v mg x
49
运动微分方程为: 所以:
l0
st
O
x
Fk
当 n n 时，特征根为一对共轭复数:
通解可写为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。 34
通解为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。
有阻尼振动时的圆频率为: 则通解可写为: 设初始条件为: 则有:
35
通解为:
它的运动曲线如图。 由图可以看出，其运动 已不是等振幅的简谐运 动，而是衰减运动。 阻尼自由振动的参数 振幅 圆频率
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2
2
22R= 1 (3源自 + 2m)x&2 4
取系统的静平衡位置为零势能位置，则
x&
x& R
V
=
=
k 2
[(δ st
+
2x)2
−
δ
2 st
]
−
(M
+
m) gx
2kx2 + 2kδst x − (M + m)gx = 2kx2
=
1 2
k(2x)2
因静平衡时： 2kδst = (M + m)g
20
离散系统的振动
(k1 + k2 )R2
M (ρ 2 + R2 ) + m(R + r)2
23
离散系统的振动
§17-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念 阻尼 ——振动过程中系统所受的阻力 粘性阻尼 ——Voigt 假定
即：当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近 似与速度的一次方成正比。
Fd = −cv
3. 过阻尼状态 (δ > ω0,ζ > 1) c > 2 mk
通解：
x = e−δt (C1e
+ C e δ2 −ω02 t
− 2
) δ2 −ω02 t
运动图线如图：
可见：物体的运动也不再具备振动特性。
30
离散系统的振动
[例17-3] 质量弹簧系统，W=150N，δst=1cm ,
A1=0.8cm， A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
m
Fe
Fd
v
&x&
+
2δx&
+
ω
2 0
x
=
0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式 25
离散系统的振动
&x& + 2δx& + ω02 x = 0
其通解分三种情况讨论： 1. 欠阻尼状态 (δ < ω0 ) c < 2 mk
通解：
x = Ae − δt sin( ω d t + θ )
ωd = ω02 − δ 2 ——有阻尼自由振动的固有频率
+ δst 2
=
mg k1
+
mg k2
= mg( 1 + 1 ) = mg
F2
k1 k2
keq
mg
1 =1+1 keq k1 k2
——弹簧串联的等效刚度系数
ω0 =
keq m
=
k1k2 m(k1 + k2 )
12
离散系统的振动
[思考] 在图(a)中，两弹簧是
并联还是串联？
弹簧并联的特点: 两弹簧的变形相等。
2
离散系统的振动
§17-1 机械振动问题概述
机械振动：系统在平衡位置附近的往复运动
一、振动问题的分类
◆ 按激励特性 自由振动、受迫振动（强迫振动）
◆ 按系统（振动微分方程）特性 线性振动、非线性振动
◆ 按系统的自由度 单自由度系统振动、多自由度系统振动、 连续系统振动
3
离散系统的振动
◆ 按系统的自由度 单自由度系统振动、多自由度系统振动、 连续系统振动
解：
A1 = A1 ⋅ A2 L⋅ A20 = (eδTd )20 A21 A2 A3 A21
0.8 = (eζω0Td )20
0.16
ln 5 = 20ζω0Td
= 20ζω0 ⋅ ω0
2π 1−ζ 2
由于 ζ 很小，故有
ln5≈40πζ
ζ ≈ ln 5 40π
c = ζ ⋅2 mk
= ln5 ⋅2 W ⋅ W
振幅随时间不断衰减，故有阻尼自由振动又称为
衰减振动。
• 减缩因数
η=
Ai Ai+1
=
Ae − δti Ae−δ(ti +Td )
= eδTd
Ae−δt
可见振幅按几何级数衰减。
• 对数减缩
Λ
=
ln
Ai Ai+1
=
δTd
Λ = 2πζ ≈ 2πζ 1−ζ 2
28
离散系统的振动
2. 临界阻尼状态 (δ = ω0 ,ζ = 1)
T = 1 (3M + 2m)x&2 4
由 T + V = 常数，有：
V = 1 k(2x)2 2
1 (3M + 2m)x&2 + 2kx2 = 常数 4
两边对时间 t 求导，并消去公因子，得
1 (3M + 2m ) &x& + 4kx = 0 2
振动微分方程：
&x&
+
8k 3M +
2m
x
=
0
固有频率： ω0 =
=
2π ω02 − δ 2
(1) 振动周期变大，频率减小
引入阻尼比： ζ = δ = c < 1
ω0 2 mk
ωd = ω0 1− ζ 2
Td =
T
1−ζ 2
当 δ << ω0 即 ζ << 1 时，
ωd ≈ ω0
Td ≈ T
27
离散系统的振动
(2) 振幅按几何级数衰减
• 振幅 Ae − δt
x = Ae − δt sin( ω d t + θ )
= k1δst + k2δst
∴δ st
=
mg k1 + k2
=
mg keq
并 联
F1
F2
mg
keq = k1 + k2 ——弹簧并联的等效刚度系数
ω0 =
keq = m
k1 + k2 m
11
离散系统的振动
弹簧串联
串
mg = F2 = F1
联
= k2δst 2 = k1δst1
δ st
= δst1
40π g δst
= 12.2(N ⋅ s/m)
31
离散系统的振动
§17-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动
k m
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂
振动系统的固有频率通常更简便。
16
离散系统的振动
[例17-1] 图示系统，已知均质轮子半 径为 R，质量为 M，重物质量为 m 。 设轮子无侧向摆动，且轮子与绳之间 无相对滑动，绳和弹簧的质量不计。 试列出系统微幅振动微分方程，并计 算其固有频率。
◆ 按有否阻尼 无阻尼振动、有阻尼振动
二、典型单自由度振动系统 ◆ 质量-弹簧系统
4
离散系统的振动
二、典型单自由度振动系统 ◆ 质量-弹簧系统
◆ 扭振系统
ϕ
O
JOz
JOz z 5
离散系统的振动
◆ 摆振系统
O
◆ 集中质量-弹性梁系统
B
ϕA
m
EI，l
6
离散系统的振动
§17-2 单自由度系统的无阻尼自由振动
——从机械能守恒定律出发计算固有频率的方法。
无阻尼自由振动系统为保守系统，故机械能守恒。
T +V = 常数
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即
系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位 置为零势能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动
能达到最大值。
Tmax = Vmax
ω0
F
=
k (δ st
+ 2x)
=
M
+m 2
g
+ 2kx
应用动量矩定理建立振动微分方程：
L Az
= mx& ⋅ R = (3 M +
+ (Mx& ⋅ m)Rx&
R
+
1 2
MR 2
⋅
x& ) R
2
M
e Az
=
(M
+
m) gR
−
F
⋅ 2R
= −4kRx
x&
x& R
18
离散系统的振动
LAz
=
(3 2
M
+
m)Rx&
ω0 =
k= m
g
δ st
（rad/s）
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动
系统的动力学特性，仅与系统本身的固有参数有关。
（工程）频率： f = 1 T
ω0 = 2πf
9
离散系统的振动
z 振幅和初相角
x = Asin(ω0t +θ )
振幅 A ——物块离开平衡位置的最大位移
相位 (ω0t + θ ) ——决定物体在某瞬时 t 的位置
取系统的静平衡位置为零势能
位置，则系统的最大势能为
Vmax =
1 2
(k1
+
k2
)
x2 max
D
设 x = Asin(ω0t +θ ) ，则有
xmax = A , x&max = Aω0
Tmax
=
M (ρ2
+
R2 ) + m(R 2R2
+ r)2
ω02 A2
Vmax
=
1 2
(k1
+
k2 ) A2
由 Tmax = Vmax ，解得 ω0 =
通解：
ccr = 2 mk ——临界阻尼系数