空间几何体表面积与体积讲义

空间几何体表面积与体积讲义

课前双击巩固

1.多面体的结构特征 名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

结构

特征 ①有两个面互

相 ,其余各个面都是 ; ②每相邻两个四边形的公共边都互相 有一个面是 ,其余各面是有一个公共顶点的 的多面体

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 和 之间的部分 侧棱

相交于 ,但不一定相等

延长线交于 侧面 形状

2.旋转体的结构特征 名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等, 于底面 相交于

延长线交于

轴截面 全等的 全等的

全等的

侧面

展 开图

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

名称 圆柱 圆锥 圆台

侧面

展开图

侧面积 公式 S 圆柱侧= S 圆锥侧=

S 圆台侧=

4.空间几何体的表面积与体积公式 名称

几何体 表面积

体积

柱体 (棱柱和圆柱)

S 表面积=S 侧+2S 底

V= 锥体 (棱锥和圆锥)

S 表面积=S 侧+S 底 V=

台体 (棱台和圆台)

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

V=1

3(S 上+S 下+

√S 上S 下)h

球 S=

V=

常用结论

1.多面体的内切球与外接球常用的结论.

(1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=a

2,外接球半径R=√3

2a. (2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=

√a 2+b 2+c 2

2

.

(3)设正四面体的棱长为a, 则它的高为√6

3a,内切球半径r=√6

12a,外接球半径R=√6

4a. 2.正方体的截面情况: 三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形.

题组一常识题

1.[教材改编]一个几何体由5个面围成,其中两个面是互相平行且全等的三角形,其他面都是全等的矩形,则该几何体是;一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体是.

2.给出下列说法:

①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱;

②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;

④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

其中正确说法的序号是.

课堂考点探究

探究点空间几何体与球的切﹑接问题

考向1几何体的外接球

1 (1)已知三棱锥S - ABC中,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A.64π

B.68π

C.72π

D.100π

(2)已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.

[总结反思]一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题,解决这类问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

考向2几何体的内切球

2 (1)在三棱锥P-ABC中,侧棱PA=PB=2,PC=√6,则当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积和最大时,三棱锥P-ABC的内切球的表面积是( )

A.(32-8√6)π

B.(32-16√6)π

C.(40-8√6)π

D.(40-16√6)π

(2)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S

1S 2

= .

[总结反思] 求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 强化演练

1.【考向1】正四棱锥P - ABCD 的侧棱和底面边长都等于2√2,则它的外接球的表面积是( ) A.16π B.12π C.8π

D.4π

2.【考向2】在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,BC ⊥AC ,AC=12,BC=5,若一个球和该三棱柱的各个面都相切,则该三棱柱的表面积为 ( ) A.60

B.180

C.240

D.360

3.【考向2】如图7-40-16,已知球O 是棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的内切球,则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ( ) A.√6

6π B.π

3 C.π

6 D.√33π

图7-40-16

4.【考向1】在三棱锥S - ABC 中,侧棱SA ⊥底面ABC ,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,SA=2√5,则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )

A.643

π B.2563

π C.4363

π D.

204827

√3π

课时作业

1.[2020哈尔滨模拟]如图8 - 1 - 1,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA 1=8.若侧面AA 1B 1B 水平

放置时,液面恰好过AC ,BC ,A 1C 1,B 1C 1的中点,当底面ABC 水平放置时,液面高为

( )