现代控制理论
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A BK 和 A BFC 闭环系统矩阵的特征值决定了系统的稳定性。 系统极点决定系统的过渡过程特性。 结论：反馈可以改变系统的动态特性。
精品PPT
定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。
已知 ( A, B) 是能控的，要证明对任意的矩阵 K ， (A BK , B) 也是能控的。
[B, ( A BK )B, ( A BK )2 B, ( A BK )n1 B] [B, AB BKB, A2B (AB)KB B(KAB) B(KBKB),
u
B
_
用输出信号
x
A F
y C
v表示系统的参考输入，若 v Fyr
用输出误差来校正系统
u F ( y yr ) Fe
在 x (A BK )x Bv 中取 K FC ，
y Cx
状态反馈变为输出反馈。一精品类PPT特殊的状态反馈！
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
xT ( AT P PA 2kPBBT P) x
若矩阵P满足 ATP PA 2kPBBTP I
那么，
dV (x) dt xT x 0
精品PPT
控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题： ATP PA 2kPBBTP I 0（黎卡提矩阵方程）
性质：若对给定的常数 k0 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 k k0, u kBT Px 都是系统的稳定化控制律。 意义：正无穷大的稳定增益裕度！
能控！
C C(A
BK )
0 0
1 0
不能观！状态反馈可 能改变能观性
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
C[sI ( A BK )]1 B [0
1]
s 0
11 0 s 1
s
1 s2 s
精品PPT
定理5.1.2 输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理5.1.3 对能控的单输入单输出系统，状态反馈不能
问题：给出确定矩阵 K 的方法，使得闭环系统渐近稳定
稳定性分析方法： ✓ 特征值方法 ✓ 劳斯判据 ✓ 李雅普诺夫稳定性理论
精品PPT
线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法 线性时不变系统 x Ax 渐近稳定的充分必要条件是存 在一个对称正定矩阵P，使得以下矩阵不等式成立：
ATP PA 0
V (x) xT Px 是系统的一个李雅普诺夫函数。 针对闭环系统 x (A BK)x
dV (x) dt xT Px xT Px
(Ax Bu)T Px xT P(Ax Bu) xT AT Px (Bu)T Px xT PAx xT PBu xT (AT P PA)x uT BT Px xT PBu
是负定的。矩阵P是对称的，xT PBu ( xT PBu)T uTBT Px
I KB KAB (KB)2
0 I
KB
[B, AB, A2B, An1B] 0 0
I
0 0
0
I
精品PPT
例 分析系统
x
0 1
1 0 0 x 1u,
y [0 1]x
在状态反馈 u [1 0]x
下的闭环系统能控能观性。
A
BK
0 1
1 0
10[1
0]
0 0
1 0
[B
(
A
BK
)B]
0 1
1 0
AT P PA 2k0 PBBT P I 0
Step 2 若存在对称正定解矩阵P，则构造控制律
dV ( x) dt xT ( A精T品PPPTPA) x 2xT PBu
5.2.1 黎卡提方程处理方法
dV (x) dt xT (AT P PA)x 2xT PBu
若选取 u kBTPx 其中，k 0是待定参数，P是待定的对称正定矩阵。 限制了反馈增益矩阵的结构。以性能换方便！
dV ( x) dt xT ( AT P PA) x 2kxT PBBT Px
相应的李雅普诺夫不等式：( A BK )T P P( A BK ) 0 进一步简化： ATP PA K TBTP PBK 0 是一个关于变量P、K 的矩阵不等式，非线性。 稳定化控制器设计问题转化成了矩阵不等式求解问题！ 关键的问题：如何确定以上精品的PPT 矩阵K 和 P。
5.2.1 黎卡提方程处理方法 V (x) xTPx 如何才能成为闭环系统的李雅普诺夫函数？ 1。V(x)是正定的； 2。沿闭环系统轨线，
被控对象 y
v+ _
被控对象
y
闭环控制
控制器
信息：状态反馈 v
u
B
_
v
输出反馈
u
B
_
精品PPT
x
A
K
x
A F
y C
y C
形式：静态反馈 动态反馈
反馈方式：线性反馈 非线性反馈
最简单的形式：线性静态（定常）状态反馈
u Kx v
精品PPT
5.1 线性反馈控制系统
外部输入
v+ _
被控对象
控制系统结构
dV ( x) dt xT ( AT P PA 2kPBBT P) x xT ( AT P PA 2k0 PBBT P 2(k k0 )PBBT P) x xT (I 2(k k0 )PBBT P) x 0
即闭环系统是渐近稳定的。精品PPT
设计算法
Step 1 对某个 k0，求解黎卡提矩阵方程
控制器
状态反馈控制器：u Kx v
K 称为是状态反馈增益矩阵。
导出的闭环系统： v
x (A BK )x Bv y Cx
u
B
_
精品PPT
x Ax Bu y Cx
y
动态补偿器 静态输出反馈控制器
x
A K
y C
静态线性输出反馈控制：u Fy v
xБайду номын сангаас Ax Bu
y Cx
v
x ( A BFC )x Bv y Cx
现代控制理论
Modern Control Theory (12)
精品PPT
第5章 状态反馈控制器设计
✓ 建立了状态空间模型 ✓ 提出了基于状态空间模型的运动分析 ✓ 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 认识世界 如何来改变世界？！ 设计控制系统！
精品PPT
控制方式 结构：开环控制
v
控制器
改变系统的零点 反馈形式的讨论： ➢ 静态反馈不增加系统动态特性； ➢ 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； ➢ 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； ➢ 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
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5.2 稳定化状态反馈控制器设计
系统模型：x Ax Bu 控制律：u Kx 闭环系统：x (A BK)x
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定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。
已知 ( A, B) 是能控的，要证明对任意的矩阵 K ， (A BK , B) 也是能控的。
[B, ( A BK )B, ( A BK )2 B, ( A BK )n1 B] [B, AB BKB, A2B (AB)KB B(KAB) B(KBKB),
u
B
_
用输出信号
x
A F
y C
v表示系统的参考输入，若 v Fyr
用输出误差来校正系统
u F ( y yr ) Fe
在 x (A BK )x Bv 中取 K FC ，
y Cx
状态反馈变为输出反馈。一精品类PPT特殊的状态反馈！
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
xT ( AT P PA 2kPBBT P) x
若矩阵P满足 ATP PA 2kPBBTP I
那么，
dV (x) dt xT x 0
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控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题： ATP PA 2kPBBTP I 0（黎卡提矩阵方程）
性质：若对给定的常数 k0 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 k k0, u kBT Px 都是系统的稳定化控制律。 意义：正无穷大的稳定增益裕度！
能控！
C C(A
BK )
0 0
1 0
不能观！状态反馈可 能改变能观性
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
C[sI ( A BK )]1 B [0
1]
s 0
11 0 s 1
s
1 s2 s
精品PPT
定理5.1.2 输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理5.1.3 对能控的单输入单输出系统，状态反馈不能
问题：给出确定矩阵 K 的方法，使得闭环系统渐近稳定
稳定性分析方法： ✓ 特征值方法 ✓ 劳斯判据 ✓ 李雅普诺夫稳定性理论
精品PPT
线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法 线性时不变系统 x Ax 渐近稳定的充分必要条件是存 在一个对称正定矩阵P，使得以下矩阵不等式成立：
ATP PA 0
V (x) xT Px 是系统的一个李雅普诺夫函数。 针对闭环系统 x (A BK)x
dV (x) dt xT Px xT Px
(Ax Bu)T Px xT P(Ax Bu) xT AT Px (Bu)T Px xT PAx xT PBu xT (AT P PA)x uT BT Px xT PBu
是负定的。矩阵P是对称的，xT PBu ( xT PBu)T uTBT Px
I KB KAB (KB)2
0 I
KB
[B, AB, A2B, An1B] 0 0
I
0 0
0
I
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例 分析系统
x
0 1
1 0 0 x 1u,
y [0 1]x
在状态反馈 u [1 0]x
下的闭环系统能控能观性。
A
BK
0 1
1 0
10[1
0]
0 0
1 0
[B
(
A
BK
)B]
0 1
1 0
AT P PA 2k0 PBBT P I 0
Step 2 若存在对称正定解矩阵P，则构造控制律
dV ( x) dt xT ( A精T品PPPTPA) x 2xT PBu
5.2.1 黎卡提方程处理方法
dV (x) dt xT (AT P PA)x 2xT PBu
若选取 u kBTPx 其中，k 0是待定参数，P是待定的对称正定矩阵。 限制了反馈增益矩阵的结构。以性能换方便！
dV ( x) dt xT ( AT P PA) x 2kxT PBBT Px
相应的李雅普诺夫不等式：( A BK )T P P( A BK ) 0 进一步简化： ATP PA K TBTP PBK 0 是一个关于变量P、K 的矩阵不等式，非线性。 稳定化控制器设计问题转化成了矩阵不等式求解问题！ 关键的问题：如何确定以上精品的PPT 矩阵K 和 P。
5.2.1 黎卡提方程处理方法 V (x) xTPx 如何才能成为闭环系统的李雅普诺夫函数？ 1。V(x)是正定的； 2。沿闭环系统轨线，
被控对象 y
v+ _
被控对象
y
闭环控制
控制器
信息：状态反馈 v
u
B
_
v
输出反馈
u
B
_
精品PPT
x
A
K
x
A F
y C
y C
形式：静态反馈 动态反馈
反馈方式：线性反馈 非线性反馈
最简单的形式：线性静态（定常）状态反馈
u Kx v
精品PPT
5.1 线性反馈控制系统
外部输入
v+ _
被控对象
控制系统结构
dV ( x) dt xT ( AT P PA 2kPBBT P) x xT ( AT P PA 2k0 PBBT P 2(k k0 )PBBT P) x xT (I 2(k k0 )PBBT P) x 0
即闭环系统是渐近稳定的。精品PPT
设计算法
Step 1 对某个 k0，求解黎卡提矩阵方程
控制器
状态反馈控制器：u Kx v
K 称为是状态反馈增益矩阵。
导出的闭环系统： v
x (A BK )x Bv y Cx
u
B
_
精品PPT
x Ax Bu y Cx
y
动态补偿器 静态输出反馈控制器
x
A K
y C
静态线性输出反馈控制：u Fy v
xБайду номын сангаас Ax Bu
y Cx
v
x ( A BFC )x Bv y Cx
现代控制理论
Modern Control Theory (12)
精品PPT
第5章 状态反馈控制器设计
✓ 建立了状态空间模型 ✓ 提出了基于状态空间模型的运动分析 ✓ 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 认识世界 如何来改变世界？！ 设计控制系统！
精品PPT
控制方式 结构：开环控制
v
控制器
改变系统的零点 反馈形式的讨论： ➢ 静态反馈不增加系统动态特性； ➢ 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； ➢ 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； ➢ 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
精品PPT
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
系统模型：x Ax Bu 控制律：u Kx 闭环系统：x (A BK)x