七年级竞赛数学培优辅导——数学归纳法(word打印版)
数学归纳法初中数学知识点总结
数学归纳法初中数学知识点总结
数学归纳法初中数学知识点总结
数学归纳法
（—）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
（二）第二数学归纳法：
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：（1）当n=1回时，命题成立;
（2）假设当n≤k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
（三）螺旋归纳法：
螺旋归纳法是归纳法的.一种变式，其结构如下：
Pi和Qi是两组命题，如果：
P1成立
Pi成立=>Qi成立
那么Pi，Qi对所有自然数i成立
利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的。
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
初中数学竞赛辅导资料.doc
初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。
秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。
秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。
清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。
秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。
2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。
聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：经验归纳法
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（ 13）经验归纳法【知识精读】1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。
例如①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），…………归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……③推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例1解：两条直线只有一个交点， 1 2第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4………第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21n, 即2)1(nn个交点。
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。
例如 5！＝1×2×3×4×5。
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除内容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。
4． 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
数学竞赛培训材料——数学归纳法
10、数学归纳法一、运用数学归纳法的关键，是由n =k 成立，推到n =k +1成立．1、引入辅助命题，帮助完成引导例1 设a >0,b >0,n ∈N ,证明nn n b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+22 2、利用形象思维，帮助实现引导例2 设有2n （n ∈N ）个球分成了许多堆，对其中任意两堆，可按以下规则挪动：甲堆的球数p 若不少于乙堆的球数q ，则从甲堆中取出q 个球放入乙堆，这算一次挪动，证明总可经有限次挪动把所有的球并成一堆．(1963年北京市数学竞赛)3、用简单情况总结规律，帮助实现引导例3 n 只容识相同的量杯中盛有n 种互不相同的液体，另外还有一只容积相同的空量杯，若这些液体都能互相混和．证明：可以通过有限次混和手续，使它们成为成份相同的n 杯溶液，另外还余一只空量杯．例4 试证：任意个正方形都可以割开，使由此得到的各块可以拼成一个正方形．二、灵活选取起点与跨度1、 为了方便规纳，适当增多起点例5 证明：任一正方形都可以剖分成n (n >5)个正方形．(1965年波兰数学竞赛)2、 为了便于起步，主动前移起点 例6 试证：对一切n ∈N +，都有2sin 22)12(sin cos 2cos cos 21ααααα+=++++n n ． 例7 试证：对一切n ∈N +，都有2n +2>n 2．例8 证明：任一有限集，都可以把它的全部子集排成一列，使得每两个相邻子集都只相差一个元素． 例9 试证：对一切n ∈N +，方程x 2+y 2=z n 都有正整数解．三、选取合适的假设方式1、以“假设n ≤k 时命题成立”代替“假设n =k 时命题成立”例10 设数列{a n }满足：①a 1=21；②a 1+a 2+…+a n =n 2a n (n ≥1)．试证明此数列的通项公式为a n =)1(1+n n ． 2、以“假设n =k ,k +1时命题成立”代替“假设n =k 时命题成立”例11 设x 1,x 2是方程x 2－6x +1=0的两个根，试证：对于任何自然数n ，x 1n +x 2n 都是正整数，但不是5的倍数．四、改变归纳途径例12 设函数f 对一切自然数n 有定义，且① f (n )是整数；② f (2)=2, f (mn )=f (m )f (n )；③ 当n >m 时，f (n )>f (m )．求证：f (k )=k (k ∈N ).五、主动加强命题例13 设0<a <1,定义a 1=1+a , a n +1=a +na 1(n ≥1)．证明：对一切n ∈N ，有a n >1． 六、数学归纳法并非万能例14 设a 1，a 2，…，a n 是n 个正数，a i 1,a i 2,…,a in 是它们的任何一种排列，试证：n inn i i a a a a a a a a a +++≥+++ 212222121．七、数学归纳法的一些例子例1 设a 0，a 1，a 2，…是一个正数数列，对一切n =0，1，2，…，都有a n 2≤a n -a n +1．证明：对于一切n ∈N +，都有a n <11+n ． 例2 已知a ，b 为正数，且b a 11+=1．试证：对每一个n ∈N ， (a +b )n –a n -b n ≥22n -2n +1．(1988年全国高中数学联赛)证明例3 设A n =333 (共n 重3)，B n =888 (共n 重8)，证明：对一切n ∈N ，(n >0)，有A n +1>B n ．(88年合肥市高中数学竞赛)证明 由A 2=33=27，B 1=8，则A 2>3B 1。
七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优_绝对经典)[1]
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第1讲与有理数有关的概念经典考题赏析【例1】写岀下列各语句的实际意义⑴向前—7米⑵收人—50兀⑶体重增加—3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量•而相反意义的量包合两个要素：是它们的意义相反•二是它们具有数量•而且必须是同类两，如向前与自后、收入与支岀、增加与减少等等”解：⑴向前—7米表示向后7米⑵收入—50元表示支岀50元⑶体重增加—3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01 •如果+ 10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）A. —18%B. —8%C. + 2%D. + 8%02.（金华）如果+ 3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运岀5吨大米表示为（）A. —5 吨B. + 5 吨C. —3 吨D. + 3 吨03.（山西）北京与纽约的时差一13 （负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15: 00,纽约时问是_______【例2】在—227，n 0.0 33 3这四个数中有理数的个数（)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个正有理数正整数正分数【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0;按整数、分数分负有理数负整数负份数正整数整数0类，有理数负整数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为n= ••是无限不循环分数正分数负分数小数，它不能写成分数的形式，所以n不是有理数，——是分数0.0 33 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C.【变式题组】1 101.在7,0.1 5，— -，—，—-,，—3 001 中，负分数为2 802.（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置1 2 13_______ ，整数为_____ ，正整数—，123,15，—1, 125，—6，—，123,1 1-1,1,…，找规律到第2007个数是【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律•击归纳 去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律： ⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为 1, 2, 3, 4, 5, 6, ••⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第 2007个数的 分子也是1 •分母是2007，并且是一个负数，故答案为― 1 2007. 【变式题组】 01 •（湖北宜宾）数学解密：第一个数是 3= 2 +1,第二个数是 5 = 3 +2,第三个数是 9 = 5 + 4，第四十数是17= 9 + 8…观察并精想第六个数是 02 •（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种 馨折形”填数法，如图则填 ______ 03.（茂名）有一组数l , 2, 5, 10, 17 , 26••请观察规律，则第 8个数为 ［例 4 1（ 2008年河北张家口）若 丨+ mm 的相反数是—3，则m 的相反数是 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义， 代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数 几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数, =—4, m = — 8 【变式题组】 01 .（四川宜宾）一5的相反数是（ 1 A . 5 B . 5 C . — 5 D . 02 .已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则 a + b + cd = ___________ 03.如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形 A 、B 、C 内分别填 人适当的数，使得它们折成正方体 .若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正 方形A 、B 、C 内的三个数依次为（ ） 0, 1 D . 2, 1, 0 a 、b 为有理数，且 a >0, bv 0, | b| >a ,贝U a,b 、一 a,— b 的大小顺序是() —v a v — a v b D . -a v a v — b v b a 的点到原点的距离，即 A . — 1 ,2, 0 B . 0,— 2, 1 C . — 2, ［例 51(湖北)A . b v — a v a v — bB . 方＜ b v a v — b C. 【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示 a( a | a|,用式子表示为| a| = 0(a a(a 0）0）.本题注意数形结合思想，画一条数轴 0） 1 _ 1i 一 i J —打6 -a 0 a A标岀a 、b,依相反数的意义标岀一 b,— a,故选A . 【变式题组】01 •推理①若a = b,则| a| =| b| ；②若|a| = | b| ,则a = b ；③若a 和，则| a|工b| ;④若I a|工b| ,则a 和，其中正确的个数为（ ） A.4个 B .3个 C .2个 D .1个03. a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则【例6】（江西课改）已知 |a — 4| + |b — 8| = 0,则巴的值.ab 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数 | a| S0 .所以| a — 4| >0 | b — 8|而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为 | a — 4| >0 | b — 8| >0 又 | a — 4| + | b — 8| = 0，• |a — 4| = 0，| b — 8| = 0 即 a — 4= 0，【变式题组】01 .已知 |a| = 1， | b| = 2，|c| = 3，且 a >b >c ，求 a + b + C . 02.（毕节）若 |m — 3| + | n + 2| = 0,贝U m + 2n 的值为（） A.— 4 B .— 1C.0 D .403.已知 |a| = 8，| b| = 2,且 | a — b| = b — a ，求 a 和 b 的值【例7】（第l8届迎春杯）已知（m + n ）2 + | m| = m ，且|2 m — n — 2| = 0 .求mn 的值. 【解法指导】本例关键是通过分析（m + n ）2+ | m|的符号，挖掘岀 m 的符号特征，从而把问题转化为（m + n 尸=0, |2 m — n — 2| = 0，找到解题途径. 解：■/ （m + n ）2>0 | m| >• （m + n ）2 + | m| >0,而（m + n ）2 + | m| = m• m > 0, （m + n ）2+ m = m ,即（m + n ）2= 0 ••• m + n = O ① 又••• |2m — n — 2| = 0 •- 2m — n — 2= 0 ②2由①②得m = 3, n =3 【变式题组】01 .已知（a + b ）2 + | b + 5| = b + 5 且|2 a — b - = 0,求 a — B . 02.（第 16 届迎春杯）已知 y = | x — a| + | x + 19| + | x — a — 96|，如果 19v a v 96 . a$电6,求 y 的最大值.演练巩固反馈提高11111101•观察下列有规律的数 2,6，?2,2O ,3O ,42"根据其规律可知第9个数是（ ）A .丄56 1 1 1 BCD B. 72 C90D . 11002. （芜湖）—6的绝对值是（）1 1A .6 B. —6 C . 6 D . — 602. a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则a 的绝对值都是非负数，即b — 8 = 0， 4，b = 8.故a+b ab 12= 332= 8 …mn =03 •在—272,n ,8.0.3四个数中，有理数的个数为 （A.1个 B .2个C .3个 D •4个04.若一个数的相反数为 a + b ，则这个数是（）A.a — bB. b — aC.P + b D .^a — b05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是 6，这两个数是（ ）13. 已知 |a| = 4， | b| = 5， | c| = 6，且 a >b >c ，求 a + b — C .14. |a|具有非负性，也有最小值为 0,试讨论：当x 为有理数时，|x — 1| + |x —引有没有最小值,如果有，求岀最小值；如果没有，说明理由15 •点A 、B 在数轴上分别表示实数 a 、b , A 、B 两点之间的距离表示为| AB| •当A 、B 两点中有 一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图1，| AB| = | OB| = |b|=|a — b|当A 、B 两点都不在原 点时有以下三种情况：① 如图 2，点 A 、B 都在原点的右边|AB|=|OB| — | OA| = | b| — | a| = b — a = |a — b| ;② 如图 3，点 A 、B 都在原点的左边，|AB| = |OB| — | OA| = | b| — | a| =— b — (— a)= |a — b| ; ③ 如图 4，点 A 、B 在原点的两边，| AB| =|0B| — | OA| = | b| — | a| =— b —(— a )= |a — b| ;综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB| = |a — b| • 0(A)3 O AfaoxB A OB 0b9bba回答下列问题：⑴数轴上表示 2和5的两点之间的距离是 ____________ ,数轴上表示一2和一5的两点之间的距离A . 0 和 6B . 0 和一6 C. 3 和一3 D . 0 和 3 06 •若—a 不是负数，则 a （ ） A . 是正数 B. 不是负数C . 是负数D . 不是正数07 •下列结论中，正确的是（① 若 a = b,则 | a| = | b| ②若 a = — b,则|a| = | b| ④若| a| = | b|,则 a = b A. ①② B . ③④ C . ①④ D .②③08 •有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示的是（），则a 、b ，— a ，| b|的大小关系正确A . | b| >a >— a >bB . | b| > b >a >— a C. a > | b| > b >— aD .a > | b| >— a > b09. 一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后, 10.已知 |x + 2| + |y + 2| = 0,贝U xy= _____ . 得到它的相反数的对应点,则这个数是11. a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图, ,I abc| 丰［cLabc c12 •若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a + b 可以表示成0、b 、'的形式，试求a 、b 的 a是_______ ,，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是___________ ;⑵数轴上表示x和一1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是_____________ ，如果| AB| = 2,那么x= _________ ;⑶当代数式|x + 1| + |x —2|取最小值时，相应的x的取值范围是___________ •培优升级奥赛检测101 •(重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为1999-的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是()A. 1998B. 1999C. 2000D. 200102 •(第18届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：① abc v 0;② | a —b| + |b —c| = | a —c| ;3( a —b) (b—c)(c—a)> 0 :④ |a| v 1 —be.其中正确的结论有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个a b c abc ”________________03.如果a、b、c是非零有理数，且a+ b + c= 0.那么 ~ +石"+ ~ + 的所有可能的值为I a| | b| | c| |abc|A. —1B. 1 或—1C. 2 或—2D. 0 或—204 .已知|m| =—m，化简| m —l| —| m —2|所得结果()A. —1B. 1C. 2m —3D. 3 —2m05 .如果0V p v 15,那么代数式|x—p| + | x—15| + |x —p —15| 在p< x< 15 的最小值()A. 30B. 0C. 15D. 一个与p有关的代数式06. |x+ 1| + |x —2| + |x —引的最小值为____________ .07.若a> 0, b v 0,使|x —a| + | x—b| = a —b 成立的x 取值范围____________ .08.(武汉市选拔赛试题) 非零整数m、n满足| m| + | n| —5= 0所有这样的整数组(m , n)共有______ 组I m| | n| | p| 2mnp09 •若非零有理数m、n、p 满足 + + = 1•贝U |3 mn p| = _________ .10.( 19届希望杯试题)试求|x—1| + | x—2| + | x—引+…+ |x —1997|的最小值.11 •已知(|x + 1| + |x—2|) (| y—2| + |y + 1| )( |z—3| + | z+ l| )= 36，求x+2y+ 3 的最大值和最小值.12 .电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15 台、7 台、1l 台、3 台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小并求出调出电脑的最少总台数.第02 讲有理数的加减法经典•考题•赏析【例1】(河北唐山)某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了元，下午收盘时又涨了元，则股票 A 这天的收盘价为( )A.元B.元C.元D. 18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18+( — ) +()=,故选C.【变式题组】01 •今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为— 6 C，西安市最低气温2C,这一天延安市的最低气温比西安低( )A. 8 °CB.—8 °CC. 6CD. 2C02.(河南) 飞机的高度为2400 米，上升250 米，又下降了327 米，这是飞机的高度为 _______________11 1【解法指导】依n(n 1)进行裂项，然后邻项相消进行化简求和解：原式=(11) (1 2 2 1) 1111 (3 11) 2 2 3 3 4 1 2008 2008 200903.(浙江)珠穆朗玛峰海拔 8848m ，吐鲁番海拔高度为— 155 m ,则它们的平均海拔高度为【例2】计算(—83) + (+ 26) + (— 17) + (— 26) + (+ 15) 【解法指导】应用加法运算简化运算，—83与—17相加可得整百的数，+ 26与—26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同 分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起解：(—83) + (+ 26) + (— 17) + (— 26) + (+ 15)= [ (— 83) + (— 17) ]+ [ (+ 26) + (— 26) ]+ 15 =(— 100)+ 15 = — 85 【变式题组】 1、 / 3、 / 101 .(— ) + (—3 —)+ (—1 —) + (— 1 )24402.( — ) ++( — ) + ( — )03. + 31 +(- 31 )+ 11? +( — )4 8 3【例3】计算2008 20092009 2009【变式题组】01 •计算1 + (—2)+ 3+(— 4)…+ 99 +(—100)102.如图，把一个面积为 1的正方形等分成两个面积为—的长方形，接2111 着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为 —2441-的长方形，如此进行下去，试利用图形揭8 1111 116 32 64 128 256 — .a +b v 0，那么下列关系中正确的是 ( )B. a >— a >b >一bC. b > a > — b > — aD. — a > b > — b >a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小， 然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示岀来，即可得岀结论解：••• a v 0，b >0，「. a + b 是异号两数之和又a + b v 0,二a 、b 中负数的绝对值较大，二 | a | > | b |将a 、b 、一 a 、— b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是 一a > b > — b > a【变式题组】 ____________ -01 .若 m >0， n v 0，且 | m | > | n a b 0 -b -a|，则 m +n ________ 0.(填>、v 号)02.若 m v 0，n > 0，且 | m | > | n |，贝U m +n __________ 0.(填>、v 号)03 .已知 a v 0， b >0， c v 0，且 |c | > | b | > | a |，试比较 a 、b 、c 、a + b 、a + c 的大小23 8【例 5】4 - —(— 33) — ( — ) — (— 21 -)5 1111【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则， 把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算◎ 2 3 823 8解：4 — —(— 33) — ( — ) — (— 21)= 4— + 33++ 21-511115 111138= + +( 33+ 21)= 6+ 55= 611111【变式题组】的正方形等分成两个面积为1 1 1示的规律计算丄2 4 8【例4】如果a v 0, b >0, A . a >b > — b > — a/ 2、 01. ( 3)(1)( 5) (^) (1丄) 6 3202. 43-( + )-(- 3丄)+ (—)4 4【例6】试看下面一列数： 25、23、21、19… ⑴观察这列数，猜想第 10个数是多少第 n 个数是多少 ⑵这列数中有多少个数是正数从第几个数开始是负数 ⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、 猜想岀第n 个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7,第n 个数为25- 2(n — 1)⑵丁 n = 13 时，25 — 2(13 — 1)= 1，n = 14 时，25 — 2(14 — 1) = — 1 故这列数有13个数为正数，从第 14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为 25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和=(25+ 1) + ( 23 + 3)+ — +( 15+ 11 )+ 13= 26 X 6 + 13= 169【变式题组】01 .(杭州)观察下列等式1 12 8 a27 464 1 — = —， 2—=， 3 — =， 4— =…依你发现的规律，解答下列问题225510 101717⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少02 •观察下列等式的规律9— 1 = 8,16— 4= 12,25 — 9= 16,36 — 16= 20⑴用关于n (n 》1的自然数)的等式表示这个规律; ⑵当这个等式的右边等于 2008时求n.11 2 123 12 3 4 【例7】(第十届希望杯竞赛试题)求丄+ (丄+仝)+ (丄+土 +上)+ (丄+土+上+兰)23 344455 5 5/ 1248 49、 + •••+( + +…+ + )50 5050 50【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成 1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了03. 178—(— 43 ?) 21+ 153 19 -212 501解：设S = +2 1则有S =+(2/ 1 2、 3 2 +34 3+4 )+/ 12 48 49、+ •••+( + +…+ + )50 丄) 5050 / 49 …+( +50 50 48 +…+ 50 502 +50 将原式和倒序再相加得1 12S =+ — +2 2 48 49+ + + 50 50(1 +3 49+ 50 3 48+…+ 50 1) 3 2+ 50 (丄+二4 4丄)50 + (丄50+…49 (49 1) 即 2S = 1 + 2 + 3+4+ …+ 49= = 1225.「 1225 …S= — 2 【变式题组】 01 .计算 2— 22 — 23 — 24 — 25 — 26 — 27 — 28 — 29 + 210 1 02.（第8届希望杯试题）计算（1 —— - 2 1 +2/ 1 1 —(1 — —— 2 3 …-丄) 20031 1 +…+41+ — +…+ 4+2003丄)2004演练巩固•反馈提高01 . m 是有理数，则 m + | m| A .可能是负数) B . D . C.比是正数02•如果 |a| = 3，| b| = 2,那么 | a + b| 为 A . 5 B. 1 C . 1 或 2003) 不可能是负数 可能是正数，也可能是负数 （ ） D .± 1 或士 5 ） 03 •在1，— 1，— 2这三个数中，任意两数之和的最大值是（A . 1 B. 0 C .— 1 D .— 3 04•两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ） A .两数一定都是正数B .两数都不为0 C.至少有一个为负数 D .至少有一个为正数 05•下列等式一定成立的是（ A . | x| — x = 0 B.— x — x06. 一天早晨的气温是— 6C, A .— 4 C B . 4CC . |x| + I — x| = 0 中午又上升了 10C ，午间又下降了 C .— 3CD . | x| — | x| = 0 8 C,则午夜气温是( D .— 5 °C07 •若 a v 0，则 | a — (— a)| 等于( ) A . — a B. 0 C . 2a | X | x|| 08 .设x 是不等于0的有理数，贝U 值为( 2x C. 0 或一1 A . 0 或 1B . 0 或 2 09 .（济南）2+ （— 2）的值为 _________ 10•用含绝对值的式子表示下列各式：D .— 2aD . 0 或一2⑴右a v 0, b > 0,贝0 b —a= ________ , a — b = _________⑵若a> b> 0，贝U | a—b| = ________⑶若 a v b v 0，贝U a — b = _______11 •计算下列各题：⑴ 23 +(—27) + 9 + 5 ⑵一+ —+ ―⑶――31+—71231—10112.计算1 —3+ 5—7+ 9—11+ …+ 97 —9913 •某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从所走的路线（单位：千米）为：+ 10，—3,+ 4，—2，—8,+ 13，—7,+ 12,+ 7,+ 5 ⑴问收工时距离A地多远⑵若每千米耗油千克，问从A地岀发到收工时共耗油多少千克A地岀发到收工时1 114 .将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的2 31直到最后减去余下的，最后的得数是多少1 1—，再减去余下的 -••…以此类推, 4 519971 (115.独特的埃及分数：埃及同中国一样, 也是世界著名的文明古国, 同，他们一般只使用分子为 1的分数，例如-+丄来表示2，用 3 15 5 有90个埃及分数: —,丄，你能从中挑岀 90 91 古代埃及人处理分数与众不111 3 + _+ 表示—等等.现4 7 28710个，加上正、负号，使它们的和等于一1吗 培优升级•奥赛检测1 1A . — B. — 4 4 1 02自然数a 、 b 、c 、 d 满足一2 + a 1 3A . — B. — 816 01.（第16届希望杯邀请赛试题） 03.（第17届希望杯邀请赛试题） c + d 值是( A . 30 )L 28等于)2 4 6 8 3011C.—D .—2211 1 山1 1 1 1… -+ + =1，贝0 -+ + + 等于（b 22 c d 2 ，3 ab 4 5cd 6715C.32D .64a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数, 且 abcd=441，贝U a + b + 1 2 3 4 L 14 15B. 32 3404.（第7届希望杯试题）若 C. 19951995 」，b =19961996D . 361996199619971997 c =19971997，则 a 、b 、c19981998大小关系是（ A . a v b v c 05.(1 1 3）（1B. b v c v a1 1—)(1 —)L 2 4 3 5C. c v b v a1D .1998 2000)(1a v c vb 11999 2001）的值得整数部分为A . 1B .2 C.3 06 . (— 2)2004 + 3 X (— 2)2003 的值为( A . — 22003B . 2 2003D . 4 C .— 22004D . 22004经典•考题•赏析07.(希望杯邀请赛试题)若 I m| = m + 1，则(4m + 1)2004 = ___________1 12 1 23 z 1 2 59、 08 _+(_+_) + (_+_ + _) + •••+(——+ ——+…+ ——)= ___________________________________ 2 3 34 4 4 60 60 60 191919 7676 09. --------------- ---------- = 767676 1919 10.卄 2 - 22- 23 - 24- 25 - 26 - 27 - 28 - 29 + 210= ____________ 11 .求32001 X 72002 X 132003所得数的末位数字为 _____________ 12 .已知(a + b)2+ I b + 5| = b + 5，且 |2 a - b - 1| = 0，求 aB . 13 •计算(丄-1)( 1 1998 -1) - 1)…- 1) - 1) 1997 1996 1001 1000 14•请你从下表归纳岀 严+:彳+彳彳+厶3+…+ n 3的公式并计算岀 13 + 23 + 33 + 43 +…+ 1003的值.第03讲 有理数的乘除、乘方【例1】计算1 1 1⑴一（_）⑵一2423 7 13⑸（一）（-）（1一）（） 5 6 9 7 正确运用法则, ⑷ 2500 0是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、 1 解：⑴- 21 1⑵丄2 41 （ ?） ⑷ 2500 3 层次清楚，1 1 (2 1)4) 40 即先确定积的符号，后计算绝对值的积（丄丄）2 4 1 81 1 （ ）2 4 ⑸（-）（ 5【变式题组】 7(11) ( 3(6 97 5 6 01 •⑴(5) ( 6)1⑵（2）1; 3( 8) (3.76) ( 0.125)11 104. （ 5） 3— 2 3— （ 6） 33 3 3【例2】已知两个有理数 a 、b ，如果ab v 0,且a + b v 0,那么（） A . a >0, b v 0 B . a v 0, b >0C. a 、b 异号D . a 、b 异号且负数的绝对值较大 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故 a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断 .解：由ab v 0知a 、b 异号，又由a + b v 0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对 值较大，选D . 【变式题组】⑷（3) (1) 2 ( 6) 0 ( 2)(影4、50 02. 9 ) 253.12(2 3 I ；4 5)1 ⑵ 1 ( 2—) 1 （弓 1 (3)3 3 3 7 7 …1、 ，3、 “ 1、 “25、 5 3()() 10 25（材6 ⑷ 0 ( 7) 001 .若a + b + c = 0，且b v c v 0，则下列各式中，错误的是( A . a + b >0B . b + c v 0C . ab + ac > 002 .已知 a + b >0，a — b v 0，ab v 0，则 a ___________ 0， b.b 03.(山东烟台)如果a + b v0，- aA . a > 0， b > 0B. a v 0， 04.(广州)下列命题正确的是( )A .若 ab > 0，贝U a >0， b > 0 C.若 ab = 0，贝U a = 0 或 b = 0 【例3】计算)D. a + bc > 0 ______ 0，|a|_ |b|.(1)( 72) ( 18)0,则下列结论成立的是（）b v 0C. a > 0， b v 0D. a v 0， b > 0B . 若 ab v 0，贝U a v 0， b v 0D.若 ab = 0，贝0 a = 0且 b = 0【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除， 符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算 号，再把绝对值相除. 应用法则 2）1,先把除法转化成乘法，再确定.若能整除，应用法则2,可直接确定符⑷ 0 ( 7)解：⑴(72) ( 18) 72 18 4( 16)⑷(13)(8)【变式题组】01 •⑴(32)⑵213⑶ 0 ( 2-)302 .⑴ 29 3 3) (3》11) 3 4⑶ 0 ( 5)-3 51 03.2 (1 0.2 3) (3) 5【例4】 (茂名) 若实数a 、b 满足_a a ab ab 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得岀 b 的取值范围，进一步代入结论得岀结果 解：当ab >0, 2(a 0,b 2(a 0,b 0) 0) 当 ab v 0，—a ••• ab v 0,从而 ab-1. ab 【变式题组】 01 •若k 是有理数，则 A .正数(| k| + k) + k 勺结果是( C.负数 B . 0 02 •若A . b 都是非零有理数，那么 D.非负数 03.如果— x0，试比较 【例5】已知⑴求xy 2008 【解法指导】2 3 2) ,y 的值; ⑵求 a n 表示 - 赳的值是多少abx与xy 的大小.y3 —的值.2008 y n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果 a 为正数，正数的任何次幕都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数解：••• x 2 ( 2)2,y 31⑴当x 2,y 1时，2008xy2( 1)20 08 2当x2, y 1时， 2008xy(2)( 1 )20083^3⑵当x2 v1时x 2 8j y20082008 oy(1)当x2, y 1时，3x2008(2)320088y (1)【变式题组】【例6】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担， 135万用科学记数法表示为（ ）A.X 106B .X 106C .X 107 D.X 107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的 a x 101的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B .【变式题组】[ 型_(49 50)2 502兰](51 50)2502502 (50 50)250201 .（武汉）武汉市今年约有 103000 A .X 105 B .X 105 02.（沈阳）沈阳市计划从 示正确的是（）A .X 105 亩B .X 【例7】（上海竞赛） 2008年到 106亩 12 22 12 100 5000 22 200 5000 【解法指导】找岀 k 2 原式= 12 (1 50) 50 [1__(1 50) 50名学生参加中考， C.X 104 年新增林地面积 2012 C .253 X 104亩 k 2 103000用科学记数法表示为（）D . 103 X 103 253万亩，253万亩用科学记数法表 D . 107亩 k 2 100k 5000 992992 9900 5000 100k 5000的通项公式二（k 50）2 22 (2 50) 50 __](99 50) 50 502 k 2 (k 50) 502 9922 2 (99 50) 50 222 2(2 50)50__98!] (98 50)5001.（北京）若m n (m2)2 0，则的值是02 •已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求（x ）n y n 的值，这里n 是正整数24?2 4 $2+149个 =99 【变式题组】 3 3 3 3 ---------------------- + ---------------------- + ----------------------- + -------------2+4+6+ +1004 2+4+6+ +1006 2+4+6+ +1008 2+4+6++2006 =( 3 3 1 A . B . C.1003 1004 33402. (第10 届希望杯试题） 1 已知 一 1 1 1 1 1 1 2 5 8 11 20 41 110 1 1 1 1 1 1 1 1 求的值. 2 5 8 11 20 41 110 1640 D . 1 1000 1 11演练巩固•反馈提高01 .三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ A . 1个02•两个有理数的和是负数，A .互为相反数C.都是负数03.已知 abc >0， a >0， A . b v 0， c > 0 B . 04 .若 | ab| = 8»则（ A . ab >0 B . B . 2个 C . 3个 积也是负数，那么这两个数（ D . 1个或3个 ） B .其中绝对值大的数是正数, D •其中绝对值大的数是负数, ac v 0,则下列结论正确的是（ b > 0, c v 0 ）C. b v 0 , c v 0 )D. C . a v 0, b v 0 05 .若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数, m 的绝对值为 A . — 3 B . 1 C. 士 3 另一个是负数 另一个是正数 b > 0, c > 0 D . ab v 02,则代数式m cd 的值为 m D .— 3 或 1 卄 1 06.若 a > a A . a > 1 则a 的取值范围（ B. 0 v a v 1 C . a >— 1 D.— 1 v a v 0 或 a > 1 07.已知a 、b 为有理数，给出下列条件: ① a + b = 0; ② a — b = 0 ;③ ab v 0; 其中能判断a 、 A . 1个 b 互为相反数的个数是（ B . 2个 C.D . 08 .若ab 工0 A . 0 B . 1C. 209. ( 2)11 10（2）的值为（）A .— 2B . (— 2)21则n n 的取值不可能为 同b 10.（安徽）2010年一季度，全国城镇新增就业人数C. 0 D .— 210289万人，用科学记数法表示 289万正确的是() A .x 107B .x 106C.x 105D .x 10411. 已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ,它们的积abed = 9，贝U ______________________ a +b +c +d =,12. ______________________________________________________ ( 1)2n 1 ( 1)2n ( 1)2n 1 (n 为自然数)= _________________________________________________________ .|x| |y|亠 x13 .如果2，试比较 与xy 的大小.x yy培优升级•奥赛检测A . 1 B. 3C . 7D . 503.-.23.45已知 ab c d e v 0，下列判断正确的是（)A . abcde v 0B . 2 4ab cd e v 02C . ab cde v 04D. abcd e v 0 04.若有理数x 、y 使得xxy, x y,xy, 这四个数中的三个数相等，则| y| — |x|的值是（y113A .B. 0CD.-22205.若 A = (22 4 81)(2 1)(2 1)(21)(216 1)(232 1)(264 1)，则A - 1996的末位数字是( )A . 0 B. 1C . 7D . 906.如果（a 2001 2002b)1,(a b)1，则 20032003 ,ab 的值是()字规律，猜测 ))2010 /21的个位数字是（a14.若a 、b 、c 为有理数且j a1，求abc 的值.abc15.若a 、b 、c 均为整数，且 a1 .求 c b b a 的值.01•已知有理数y 、z 两两不相等，则中负数的个数是（）A . 1个C . 3个D . 0个或2个102 •计算211,22 1 3,23 17,24 1 15,25 131 归纳各计算结果中的个位数格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13. （第 12届“华杯赛”试题）已知m 、n 都是正整数，并且A (1 1)(1 2)(1 1)(1 1) (1 -)(1 丄）；2 23 3m m B (1 2)(1 2)(1 3)(1 1) (1 -)(1 -)■2 23 3n nm 1 n 1证明 :⑴ A ,B72m ' 2n⑵A B —，求m 、n 的值.26A . 2B. 1C . 055443307.已知 a 22 ,b 33 ,c 55 ,d2266 ，贝U a 、b 、c 、d 大小关系是（A . a >b >c >d B. a > b >d > cC. b >a >c >dD . a >d >b >ca b08 •已知a 、b 、c 都不等于 0,且一 —iabiabc2005a©。
初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现_0
初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训第十八讲归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．(2)这n 个圆共有多少个交点？(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．S2-S1=2，第一层有点数：1；S3-S2＝3，第二层有点数：1×6；S4-S3＝4，第三层有点数：2×6；S5-S4＝5，第四层有点数：3×6；由此，不难推测第n层有点数：(n-1)×6.Sn-Sn-1＝n．因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为由表18．1易知把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到Sn-S1＝2＋3＋4＋＋n，因为S1=2，所以例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D 第1页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承：以人为本，质量第一，突出特色，服务家长下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．分析与解我们先来研究一些特殊情况：因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．例3设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？由表18．2容易发现这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．a1＝1，(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．n个式子相加这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k 个(n，n＋1，n＋2，，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：总数为：例4设1×2×3××n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：注意请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．1！×1＋2！×2＋3！×3＋＋n！×n.分析与解先观察特殊情况：◆以鲜明的教育理念启发人◆以浓厚的学习氛围影响人第2页◆以不倦的育人精神感染人◆以优良的学风学纪严律人◆鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3++n！×n)=1！×2＋2！×2＋3！×3++n！×n=2！+2！×2＋3！×3＋+n！×n=2！×3+3！×3+＋n！×n=3！+3！×3++n！×n＝=n！+n！×n=(n ＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x 等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有x3＜x2+x+2．①设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以x＞x+x+2．②设x=100，则有x＞x+x+2．观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则x-x-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D 第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）323232 (x-2)(x2+x+1)=0．因为x＞0，所以x+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样(1)当x=2时，x=x+x+2；(2)当0＜x＜2时，因为x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即x3-(x2＋x+2)＜0，所以x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即x3-(x2＋x＋2)＞0，所以x3＞x2＋x＋2．综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．322 分析先由特例入手，注意到例7已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2101)．鼎吉教育遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承：以人为本，质量第一，突出特色，服务家长练习十八1．试证明例7中：2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：(1)这n条直线共有多少个交点？(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？(2)当上述条件中比值为3，4，，n时(n为自然数)，那S 么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少？引GM∥AC交DA于M点．由平行截割定理易知G (2)设然后做出证明.)当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18．5.4．求适合x5=656356768的整数x．(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝观察表18．5中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有以上推测是完全正确的，证明留给读者．◆以鲜明的教育理念启发人◆以浓厚的学习氛围影响人第4页◆以不倦的育人精神感染人◆以优良的学风学纪严律人◆扩展阅读：初中数学竞赛专题培训数学思维的教育第一讲：因式分解(一).................................................. ....1第二讲：因式分解(二).................................................. ....4第三讲实数的若干性质和应用.......................................7第四讲分式的化简与求值.............................................10第五讲恒等式的证明.................................................... .13第六讲代数式的求值.................................................... .16第七讲根式及其运算.................................................... .18第八讲非负数.................................................... .............22第九讲一元二次方程.................................................... .26第十讲三角形的全等及其应用.....................................29第十一讲勾股定理与应用.............................................33第十二讲平行四边形.................................................... .36第十三讲梯形.................................................... .............39第十四讲中位线及其应用.............................................42第十五讲相似三角形(一). (45)第十六讲相似三角形(二) (48)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2 -b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2 +b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2++abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；第十七讲*集合与简易逻辑 (51)第十八讲归纳与发现.................................................... .56第十九讲特殊化与一般化.............................................59第二十讲类比与联想.................................................... .63第二十一讲分类与讨论. (67)第二十二讲面积问题与面积方法.................................70第二十三讲几何不等式. (73)第二十四讲*整数的整除性...........................................77第二十五讲*同余式.................................................... ...80第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题.....83第二十七讲列方程解应用问题中的量.........................86第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题.................90第二十九讲生活中的数学(三)镜子中的世界.....94第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲：因式分解(一)(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2--abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn (x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2 +4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2 -2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2) 数学思维的教育=(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3 +b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3分解因式：x15+x14+x13++x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2 +x-8)．解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．2 数学思维的教育说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2 -1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2 -1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3 b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2 +1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)3 数学思维的教育=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1原式=6(x4 +1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10分解因式：(x2 +xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；4 数学思维的教育(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字22222 原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如ann-1nx+an-1x++a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-422+62-4=0，5 数学思维的教育即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，223222 可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2 +3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．数学思维的教育分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2 +ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．第三讲实数的若干性质和应用分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；数学思维的教育有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，8 数学思维的教育说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4 +12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4 +12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得数学思维的教育例10设a2222 n是1+2+3++n的个位数字，n=1，2，3，，求证：0.a1a2a3an是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3an 是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］0.a1a2an是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明ak+20=ak．令f(n)=12+22++n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2++(n+20)2=10(2n2+42n)+(12+22++202)．由前面计算的若干值可知：12+22++202是10的倍数，故a12k+20=ak成立，所以0.aaan是一个有理数．第四讲分式的化简与求值说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．10 数学思维的教育例3若abc=1，求互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零．例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2 +v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．11 数学思维的教育例7化简分式：说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2。
七年级下数学培优4-容斥原理于归纳思维.doc
七年级下数学培优4:容斥原理于归纳思维在我们解决数学问题时，经常遇到探索规律或者方案确定问题。
这是一类非常重要的问题，无论是在平时考试中还是在数学竞赛中，都是一个重点内容。
它涉及到统筹法的应用、容斥原理和归纳的数学思想方法，本篇文章就分类来讲解这类问题的思路和方法：一、核心知识1．统筹法的应用——生活中会遇到这样一些问题：完成一件事怎样合理安排，才能做到所用的时间最少；把一批货物从一个地方运到另一个地方去，选择什么样的运输方案，才能运费最省；车站设在什么地方，才最方便附近工作的乘客等．此类问题都涉及到如何统筹，目标是选择最佳．2．容斥原理的应用：（1）数集：把若干个数聚在一起叫数的集合，简称数集．例如0，1，2三个数，可写成集合{0，1，2}，其中0，1，2叫做这个集合的元素，一般集合用A、B、C等表示，用a、b、c等表示集合的元素，用|A|、|B|分别表示集合A、B元素的个数，用A∩B表示A和B的公共部分（即交集），用A∪B表示A或B的部分（即并集）．如设集合A={0,1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则|A|=5，|B|=4，A∩B={2,3,4}，A∪B={0,1,2,3,4,5}．（2）容斥原理公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|；|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|；解决原理公式有关问题的图形，通常使用“韦恩图”的方法．如图，其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合，而A、B的公共部分表示具有A、B两种性质的集合，A、B、C的公共部分具有A、B、C性质的集合．3．归纳思维——通过特例的观察、实验、抽象概括，引起直觉上的共鸣，发现事物的共性，这种规律性的思维过程称为归纳思维（即不完全归纳法）．二、例题讲解（一）统筹法的初步应用【例1】车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟，每台机床停产一分钟造成经济损失5元，问：应怎样安排修复顺序使经济损失最少？最少损失是多少元？【点拔】关注分析等待修理时间长的机床数的多少，哪一种更有利？【解答】7x5+8x4+10x3+15x2+29x1=156(分钟）156x5=780（元）【反思与小结】一般地，哪一个修理的时间最短，下修理哪一个.从整体上来说，先修理用时最短的，其他等待的总时间最短，从整体的经济效益来说，损失最小。
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第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
m n 0,,n m n ≠4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① ② 非负性 (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？||||||0,a b ab ab a b ab+- 则 2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ）m m A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求a b c d x的值。
220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图a b 所示，那么化简的结果等于（||||a b a b -++ A. B. C.0 D.2a 2a -2b5、已知，求的值是（ ）2(3)|2|0a b -+-=b a A.2 B.3 C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么中有几个负数？,,a b b c c a b c c a a b------ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示,a b a +为0，，的形式，求。
b ab 20062007a b +8、三个有理数的积为负数，和为正数，且,,a b c 则的值是多少？||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++321ax bx cx +++9、若为整数，且，试求的,,a b c 20072007||||1a b c a -+-=||||||c a a b b c -+-+-值。
初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
七年级数学知识点归纳打印
七年级数学知识点归纳打印随着七年级数学的学习深入，学生需要掌握各种数学知识点。
为方便学习和复习，这里将七年级数学知识点进行了归纳总结，并提供了可供打印的资料。
一、整数1. 整数的概念2. 整数的绝对值3. 整数的加法4. 整数的减法5. 整数的乘法6. 整数的除法7. 用整数解决实际问题二、小数1. 小数的概念2. 小数的读法和写法3. 小数的大小比较4. 小数的加法5. 小数的减法6. 小数的乘法7. 小数的除法8. 用小数解决实际问题三、分数1. 分数的概念2. 分数的读法和写法3. 分数的大小比较4. 分数的加法5. 分数的减法6. 分数的乘法7. 分数的除法8. 带分数与假分数的互换9. 用分数解决实际问题四、代数式和方程1. 代数式的概念2. 代数式的计算3. 一次方程的概念4. 一次方程的解法5. 一元一次方程的应用五、图形1. 图形的基本概念2. 平面图形的分类3. 点、线、面的认识4. 角的概念5. 直线与平面的关系6. 直线与角的关系7. 一次函数的概念和图像8. 用图形解决实际问题六、数据和概率1. 统计图形的认识2. 平均数的概念及应用3. 概率的基本概念4. 事件的概念5. 用概率解决实际问题以上是七年级数学知识点的简要归纳总结，通过打印这些资料，学生可以更好地掌握和复习数学知识。
同时，老师们也可以利用这些资料进行教学和辅导。
希望这些资料能够对七年级的数学学习有所帮助。
(含答案)2020-2021学年数学初一培优竞赛二合一专讲(13)经验归纳法
2020-2021学年人教版数学初二培优和竞赛二合一讲练教程（13）经验归纳法【知识精读】1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。
例如①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），…………归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……③推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例1解：两条直线只有一个交点， 1 2第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4………第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21n, 即2)1(nn个交点。
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。
例如 5！＝1×2×3×4×5。
初一数学资料培优汇总精华(K12教育文档)
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第一讲 数系扩张—-有理数(一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义,能表成m n （0,,n m n ≠互质）.4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的（ )A.相反数 B 。
倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2a B 。
2a - C.0 D 。
2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是( )A.2 B 。
(完整版)竞赛中的数学归纳法
竞赛中的数学归纳法（一）数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果: ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整 数0n n ≥时，)(n P 成立．例1 （07江西理22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项n a ．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =．（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明: 1o当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2o假设(2)n k k =≥成立，2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭, 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+-22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-,因为2k ≥时， 22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1011k ∈-，．又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤,故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1o ，2o 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即1n =和2n =。
（完整版）竞赛中的数学归纳法
（完整版）竞赛中的数学归纳法竞赛中的数学归纳法（⼀）数学归纳法的基本形式（1）第⼀数学归纳法设)(n P 是⼀个与正整数有关的命题，如果: ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成⽴；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成⽴，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成⽴，那么，根据①②对⼀切正整数0n n ≥时，)(n P 成⽴．例1 （07江西理22）设正整数数列{}n a 满⾜：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++??+<++<+①当1n =时，由21211111222a a a a ??+<+<+，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ??+<+<+，解得3810a <<，所以39a =．（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下⾯⽤数学归纳法证明: 1o当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成⽴；2o假设(2)n k k =≥成⽴，2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++??+<++<+ ??, 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-<<-+-22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++?+-<<+++-,因为2k ≥时， 2k ∈-，．⼜1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤,故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成⽴．由1o ，2o 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值⼜两个，即1n =和2n =。
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七年级竞赛数学培优辅导——数学归纳法
甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。
例如
①由( －1)2＝1 ，（－1 ）3＝－1 ，（－1 ）4＝1 ，……，
归纳出－1 的奇次幂是－1，而－1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到99共90 个（9 ×10 ），
三位数从100 到999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n 位数共有9×10n-1(个)
③由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归纳法证明）
乙例题
例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×
21
+
n
,即
2)1
(-
n
n
个交点。
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。
例如
5！＝1×2×3×4×5。
试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3n＝3,（n＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3n＝9，（n＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时，3n＝27,（n＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n＝81,（n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3n＝243,（n＋1）！＝6！＝720……
猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。
例3求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
解：x 1+x 2=x 1x 2的正整数解是x 1=x 2=2
x 1+x 2+x 3=x 1x 2x 3的正整数解是x 1=1,x 2=2,x 3=3
x 1+x 2+x 3+x 4=x 1x 2x 3x 4的正整数解是x 1=x 2=1,x 3=2,x 4=4
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5的正整数解是x 1=x 2=x 3=1,x 4=2,x 5=5
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=x 1x 2x 3x 4x 5x 6的正整数解是x 1=x 2=x 3=x 4=1,x 5=2,x 6=6
…………
由此猜想结论是：适合等式x 1+x 2+x 3＋…+x 2003=x 1x 2x 3…x 2003的正整数解为x 1=x 2=x 3＝……=x 2001=1, x 2002=2， x 2003=2003。
针对性练习
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n 位数
有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数21a a 可记作10a 1＋a 2,三位数321a a a 记作100a 1+10a 2+a 3,四位数
4321a a a a 记作＿＿＿＿，n 位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n 3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①－个 1101111 252222个＝（＿＿＿）2；
； 121111n 个－ 2
2222n 个＝（ ＿＿）2。
② 位91111 位95655＝（＿＿＿＿）2；
n 位
n 位56551111＝（＿＿＿）2
5． 把自然数1到100一个个地排下去：123......91011 (99100)
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算12111⨯＋13121⨯＋14131⨯＋…＋20
191⨯＝ （提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a 是正整数，试比较a a+1和(a+1)a 的大小.
8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m 等分,长n 等分(m,n 都是大于1的自然数)那么这mn 个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m 等分,宽n 等分,高p 等分，（m,n,p 都是大于2的自然数）那么这mnp 个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。